高考數(shù)學復(fù)習：第八章 ：第五節(jié)橢圓突破熱點題型

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1、 精品資料 第五節(jié)　橢　圓 考點一 橢圓的定義和標準方程 　 [例1]　(1)(2013廣東高考)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)(2014岳陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交橢圓C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為________． [自主解答]　(1)由右焦點為

2、F(1,0)，可知c＝1，因為離心率為，即＝，故a＝2，由a2＝b2＋c2，知b2＝a2－c2＝3，因此橢圓C的方程為＋＝1. (2)由△ABF2的周長為4a＝16，得a＝4，又知離心率為，即＝，c＝a＝2，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以橢圓C的方程為＋＝1. [答案]　(1)D　(2)＋＝1 【互動探究】[來源:] 在本例(2)中若將條件“焦點在x軸上”去掉，結(jié)果如何？ 解：由例1(2)知：當焦點在x軸上時，橢圓的方程為＋＝1；當焦點在y軸上時，橢圓的方程為＋＝1. 綜上可知C的方程為＋＝1或＋＝1.　　　　 【方法規(guī)律】[來源:] 用待定系數(shù)法求橢

3、圓方程的一般步驟[來源:] (1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能； (2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程＋＝1(a>b>0)，＋＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)． (3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，c或m，n的方程組； (4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求． 注意：用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量”，不能確定焦點的位置時，可進行分類討論或把橢圓的方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)． 1．已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另

4、外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是(　　) A．2 B．6 C．4 D．12 解析：選C　根據(jù)橢圓定義，△ABC的周長等于橢圓長軸長的2倍，即4. 2．(2012山東高考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：選D　∵橢圓的離心率為， ∴＝＝，∴a＝2b. ∴橢圓的方程為x2＋4y2＝4b2. ∵雙曲線x2－y

5、2＝1的漸近線方程為xy＝0， ∴漸近線xy＝0與橢圓x2＋4y2＝4b2在第一象限的交點為， ∴由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為bb＝4， ∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20. ∴橢圓C的方程為＋＝1. 考點二 橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 　 [例2]　(1)已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2＋2y2＝2的左、右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|＋|的最小值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．2 (2)(2013遼寧高考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，

6、BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為　　(　　) A. B. C. D. [自主解答]　(1)設(shè)P(x0，y0)， 則＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)， ∴＋＝(－2x0，－2y0)， ∴|＋|＝＝2＝2. ∵點P在橢圓上，∴0≤y≤1， ∴當y＝1時，|＋|取最小值為2. (2) 如圖，設(shè)|AF|＝x， 則cos∠ABF＝＝. 解得x＝6，∴∠AFB＝90，由橢圓及直線關(guān)于原點對稱可知|AF1|＝8，且∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90，△FAF1是直角三角形，

7、所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴C的離心率e＝＝. 答案：(1)C　(2)B 【方法規(guī)律】 1．利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點及技巧 (1)注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系 在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經(jīng)常用到橢圓標準方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系． (2)利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時，要結(jié)合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系． 2．求橢圓的離心率問題的一般思路 求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a

8、2＝b2＋c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍． 如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2＝60. (1)求橢圓C的離心率； (2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值． 解：(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c， 所以e＝＝. (2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2， 直線AB的方程為y＝－(x－c)． 將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2， 得B.又A(0，c)， 所以|AB|＝ ＝c. 由S△AF1B＝|AF1||AB|sin ∠F1AB

9、 ＝ac ＝a2＝40， 解得a＝10，c＝5，則b2＝75，即b＝5. 法二：設(shè)|AB|＝t. 因為|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a，可知|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60，可得 t＝a. 由S△AF1B＝|AF1||AB|sin∠F1AB ＝aa＝a2＝40， 解得a＝10，則c＝5，b＝5. 高頻考點 考點三 直線與橢圓的綜合問題　　 1．直線與橢圓的綜合問題，是近年來高考命題的熱點，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較高，多為中檔題． 2．高考

10、對直線與橢圓的綜合問題的考查主要有以下幾個命題角度： (1)已知某條件，求直線的方程； (2)求三角形(或其他幾何圖形)的面積； (3)判斷幾何圖形的形狀； (4)弦長問題； (5)中點弦或弦的中點問題． [例3]　(2013陜西高考)已知動點M(x，y)到直線l：x＝4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍． (1)求動點M的軌跡C的方程； (2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點，若A是PB的中點，求直線m的斜率． [自主解答]　 (1)設(shè)M到直線l的距離為d，根據(jù)題意，d＝2|MN|. 由此得 |4－x|＝2， 化簡得＋＝1， 所以，動點M的軌

11、跡C的方程為＋＝1. (2)法一：由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 將y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0， 其中，Δ＝(24k)2－424(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0， 即k2>. x1＋x2＝－，① x1x2＝.② 又因A是PB的中點，故x2＝2x1，③ 將③代入①②，得x1＝－，x＝， 可得2＝，且k2＞， 解得k＝－或k＝， 所以直線m的斜率為－或. 法二：由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因為A是PB的中點， 所以x1＝，① y

12、1＝.② 又＋＝1，③ ＋＝1，④ 聯(lián)立①②③④解得或 即點B的坐標為(2,0)或(－2,0)， 所以直線m的斜率為－或. 直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略 (1)求直線方程．可依題條件，尋找確定該直線的兩個條件，進而得到直線方程． (2)求面積．先確定圖形的形狀，再利用條件尋找確定面積的條件，進而得出面積的值． (3)判斷圖形的形狀．可依據(jù)平行、垂直的條件判斷邊角關(guān)系，再依據(jù)距離公式得出邊之間的關(guān)系． (4)弦長問題．利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式求解． (5)中點弦或弦的中點．一般利用點差法求解，注意判斷直線與方程是否相交． (2013重慶高考)

13、如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e＝，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A，A′兩點，|AA′|＝4. (1)求該橢圓的標準方程； (2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P，P′，過P，P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．求△PP′Q的面積S的最大值，并寫出對應(yīng)的圓Q 的標準方程． 解：(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意知點A(－c,2)在橢圓上，則＋＝1.從而e2＋＝1.[來源:] 由e＝，得b2＝＝8，從而a2＝＝16. 故該橢圓的標準方程為＋＝1. (2)由橢圓的對稱性，可設(shè)Q(x0,0)． 又設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一

14、點，則 |QM|2＝(x－x0)2＋y2 ＝x2－2x0x＋x＋8 ＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4,4])． 設(shè)P(x1，y1)，由題意知，點P是橢圓上到點Q的距離最小的點，因此，上式當x＝x1時取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式當x＝2x0時取最小值，從而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x. 由對稱性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以 S＝|2y1||x1－x0|＝2 |x0|＝ ＝ 當x0＝時，△PP′Q的面積S取到最大值2. 此時對應(yīng)的圓Q的圓心坐標為Q(，0)，半徑|QP|＝＝， 因此，這樣的圓有兩個，其標準方程分別為(x＋)

15、2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個規(guī)律——橢圓焦點位置與x2，y2系數(shù)之間的關(guān)系 　給出橢圓方程＋＝1時，橢圓的焦點在x軸上?a>b>0；橢圓的焦點在y軸上?0

16、，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程． (2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出橢圓的標準方程． 3種技巧——與橢圓性質(zhì)、方程相關(guān)的三種技巧 　(1)橢圓上任意一點M到焦點F的所有距離中，長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為a＋c，最小距離為a－c. (2)求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結(jié)合b2＝a2－c2就可求得e(0