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課時(shí)作業(yè)(十二) 直線與平面垂直的判定
A組 基礎(chǔ)鞏固
1.空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對(duì)角線AC、BD的關(guān)系是( )
A.垂直且相交
B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交
D.不垂直也不相交
解析:
取BD的中點(diǎn)E,連接AE,CE.
可證BD⊥AE,BD⊥CE,而AE∩CE=E,
即得BD⊥平面AEC.
得BD⊥AC.
故選C.
答案:C
2.正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總保持AP⊥BD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )
A.線段B1C
B.線段BC1
C.
2、BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段
D.BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段
解析:如圖,由于BD1⊥平面AB1C,故點(diǎn)P一定位于B1C上.
答案:A
3.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,M是棱PC上一點(diǎn).若PA=AC=a,則當(dāng)△MBD的面積為最小值時(shí),直線AC與平面MBD所成的角為( )
A. B.
C. D.
解析:因?yàn)镻A⊥底面ABCD,則PA⊥AC,又PA=AC,∴∠PCA=45,因△PAB≌△PAD?PB=PD,又△PBM≌△PDM?BM=DM,設(shè)AC與BD交于0,則OM⊥BD,S△MCD=BDOM最小,只
3、需OM最短,過O作OM′⊥PC,垂足為M′,連接M′B、M′A,此時(shí)直線AC與平面M′BD所成的角為∠CM′O=.
答案:B
4.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,則PD與平面ABCD所成的角為圖中的( )
A.∠PAD
B.∠PDA
C.∠PDB
D.∠PDC
解析:∵PA⊥平面ABCD,∴AD是PD在平面ABCD上的射影,故∠PDA是PD與平面ABCD所成的角.
答案:B
5.若斜線段AB是它在平面α內(nèi)的射影長的2倍,則AB與平面α所成角為( )
A.30 B.45
C.60 D.120
解析:設(shè)AB與平面α所成的角為θ,由題意可知cosθ
4、=,∴θ=60.
答案:C
6.已知三條相交于點(diǎn)P的線段PA,PB,PC兩兩垂直,P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于H,則垂足H是三角形ABC的( )
A.外心 B.內(nèi)心
C.垂心 D.重心
解析:如圖,∵PA、PB、PC兩兩垂直,∴PA⊥平面PBC,
∴PA⊥BC.
又BC⊥PH,PA∩PH=P,
∴BC⊥平面PAH,∴BC⊥AH.
同理AB⊥CH,AC⊥BH.
∴點(diǎn)H為△ABC的垂心.
答案:C
7.如圖,△ADB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60,則直線AD⊥平面________;直線BD⊥平面______
5、__;直線CD⊥平面________.
解析:∵△ADB、△ADC都是直角三角形,
∴AD⊥BD,AD⊥DC,
又BD∩DC=D,
∴AD⊥平面BDC.
又AD=BD=CD,∴AB=AC,
又∠BAC=60,
∴△ABC為正三角形,
∴BC=AB=AC,
∴∠BDC=90,
由直線和平面垂直的判定定理,
得BD⊥平面ADC,CD⊥平面ABD.
答案:BDC ADC ABD
8.在Rt△ABC中,D是斜邊AB的中點(diǎn),AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,則ED=________.
解析:
如圖所示,在Rt△ABC中,CD=AB.
∵AC=6,BC=8
6、,
∴AB==10.
∴CD=5.
∵EC⊥平面ABC,CD?平面ABC,
∴EC⊥CD.
∴ED===13.
答案:13
9.如圖所示:直角△ABC所在的平面外一點(diǎn)S,SA=SB=SC,點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).則直線SD與平面ABC的位置關(guān)系為________.
解析:∵SA=SC,點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn),
∴SD⊥AC.
則在Rt△ABC中,AD=DC=BD,
∴△ADS≌△BDS,
∴SD⊥BD.又AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.
答案:垂直
10.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC=.
求證:PD⊥平面AB
7、CD.
證明:∵PD=DC=1,PC=,
∴PD2+DC2=PC2,
∴△PDC是直角三角形.
∴PD⊥CD.
又∵PD⊥BC,BC∩CD=C,且BC?平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD.
B組 能力提升
11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AA1,A1D1的中點(diǎn),求:
(1)D1B與平面ABCD所成角的余弦值;
(2)EF與平面A1B1C1D1所成的角.
解析:(1)如圖所示,連接DB,
∵D1D⊥平面ABCD,
∴DB是D1B在平面ABCD內(nèi)的射影.
則∠D1BD即為D1B與平面ABCD所成的角.
∵DB=AB,D
8、1B=AB,
∴cos∠D1BD==,
即D1B與平面ABCD所成角的余弦值為.
(2)∵E是A1A的中點(diǎn),A1A⊥平面A1B1C1D1,
∴∠EFA1是EF與平面A1B1C1D1所成的角.
在Rt△EA1F中,∵F是A1D1的中點(diǎn),
∴∠EFA1=45.
12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠ADC=45,AD=AC=1,O為AC的中點(diǎn),PO⊥平面ABCD,PO=2,M為PD的中點(diǎn).
(1)證明:PB∥平面ACM;
(2)證明:AD⊥平面PAC;
(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.
解析:
(1)證明:如圖連接BD,MO.
9、在平行四邊形ABCD中,
∵O為AC的中點(diǎn),
∴O為BD的中點(diǎn),
又M為PD的中點(diǎn),
∴PB∥MO.
∵PB?平面ACM,MO?平面ACM,
∴PB∥平面ACM.
(2)證明:∵∠ADC=45,且AD=AC=1,
∴∠DAC=90,即AD⊥AC.
又PO⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,
∴PO⊥AD,而AC∩PO=O,∴AD⊥平面PAC.
(3)解:取DO的中點(diǎn)N,連接MN,AN.
∵M(jìn)為PD的中點(diǎn),
∴MN∥PO,且MN=PO=1.
由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,
∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角.
在Rt△DAO中,AD=1,AO=,∴DO=,
從而AN=DO=.
在Rt△ANM中,tan∠MAN===,
即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為.
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