精校版高中數學 第四章 圓與方程質量評估檢測 人教A版必修2

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 高中數學 第四章 圓與方程質量評估檢測 新人教A版必修2 時間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知空間兩點P1(－1,3,5)，P2(2,4，－3)，則|P1P2|等于(　　) A.　　　　　　B．3 C. D. 解析：|P1P2|＝＝. 答案：A 2．直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　) A．1 B．2 C．4 D．4 解析：由(x－1)2＋(y－2)2＝

2、5得圓心(1,2)，半徑r＝，圓心到直線x＋2y－5＋＝0的距離d＝＝1，在半徑、圓心距、半弦長組成的直角三角形中，弦長l＝2＝2＝4. 答案：C 3．已知過點P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a＝(　　) A．－ B．1 C．2 D. 解析：因為點P(2,2)為圓(x－1)2＋y2＝5上的點，由圓的切線性質可知，圓心(1,0)與點P(2,2)的連線與過點P(2,2)的切線垂直．因為圓心(1,0)與點P(2,2)的連線的斜率k＝2，故過點P(2,2)的切線斜率為－，所以直線ax－y＋1＝0的斜率為2，因此a＝2. 答案：C

3、4.若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N兩點，且M，N關于直線x＋2y＝0對稱，則實數k＋m＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 解析：由題意知MN的中垂線為直線x＋2y＝0，所以k＝2，此時圓的方程為x2＋y2＋2x＋my－4＝0，所以圓心坐標為，代入x＋2y＝0，得m＝－1，所以k＋m＝1. 答案：B 5．過P(5,4)作圓C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積是(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：∵圓C的圓心為(1,1)，半徑為. ∴|PC|＝＝5， ∴|PA

4、|＝|PB|＝＝2， ∴S＝22＝10. 答案：B 6.設實數x，y滿足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是(　　) A. B. C. D. 解析：如圖所示，設過原點的直線方程為y＝kx，則與圓有交點的直線中，kmax＝，∴的最大值為，故選D. 答案：D 7．垂直于直線y＝x＋1且與圓x2＋y2＝1相切于第一象限的直線方程是(　　) A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0 解析：由題意知直線方程可設為x＋y－c＝0(c＞0)，則圓心到直線的距離等于半徑1，即＝1，c＝，所求方程為 x＋y－＝0. 答案：A 8．

5、已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分別是圓C1、C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5－4 B.－1 C．6－2 D. 解析：由題意知，圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圓心分別為C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4，點C1(2,3)關于x軸的對稱點為C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5， 即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4. 答案

6、：A 9．過點P(－2,4)作圓O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切線l，直線m：ax－3y＝0與直線l平行，則直線l與m的距離為(　　) A．4 B．2 C. D. 解析：∵點P在圓上， ∴切線l的斜率k＝－＝－＝. ∴直線l的方程為y－4＝(x＋2)， 即4x－3y＋20＝0. 又直線m與l平行， ∴直線m的方程為4x－3y＝0. 故兩平行直線的距離為d＝＝4. 答案：A 10．方程＝k(x－3)＋4有兩個不同的解時，實數k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：令y＝，顯然y2＝9－x2(y≥0)，表示半圓，直線y＝k(x－3)

7、＋4過定點(3,4)，如圖所示，當直線y＝k(x－3)＋4與半圓y＝有兩個交點時，kMD＜k≤kMA，因為直線kx－y－3k＋4＝0，圓心到直線的距離d＝，所以由d＝3，解得kMD＝，又kMA＝，所以＜k≤，故應選D. 答案：D 11．已知集合A＝{(x，y)|x，y為實數，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y為實數，且x＋y＝1}，則A∩B的元素個數為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：解法一：(直接法)集合A表示圓，集合B表示一條直線，又圓心(0,0)到直線x＋y＝1的距離d＝＝<1＝r，所以直線與圓相交，故選C. 解法二：(數形結合法)畫圖可得，故

8、選C. 答案：C 12．若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長，則a，b滿足的關系是(　　) A．a2＋2a＋2b－3＝0 B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2a＋2b＋5＝0 D．a2－2a－2b＋5＝0 解析：即兩圓的公共弦必過(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圓心，兩圓相減得相交弦的方程為－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0， 將圓心坐標(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0. 答案：C 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．若圓C經過坐標原點和點(4,0)，且與直線

9、y＝1相切，則圓C的方程是__________． 解析：設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因為圓C經過點(0,0)和點(4,0)，所以a＝2，又圓與直線y＝1相切，可得1－b＝r，故圓的方程為(x－2)2＋(y－b)2＝(1－b)2，將(0,0)代入解得b＝－，r＝，所以圓的方程為(x－2)2＋2＝. 答案：(x－2)2＋2＝ 14．若點P(－4，－2,3)關于坐標平面xOy及y軸的對稱點的坐標分別是(a，b，c)，(e，f，d)，則c＋e＝__________. 解析：點P關于坐標平面xOy的對稱點坐標是(－4，－2，－3)，關于y軸的對稱點坐標是(4，－2，－3)，從而

10、c＋e＝1. 答案：1 15．從原點向圓x2＋y2－12y＋27＝0作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為________． 解析：(數形結合法)如圖， 圓x2＋y2－12y＋27＝0可化為x2＋(y－6)2＝9，圓心坐標為(0,6)，半徑為3. 在Rt△OBC中可得：∠OCB＝，∴∠ACB＝， ∴所求劣弧長為2π. 答案：2π 16．由動點P向圓x2＋y2＝1引兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，∠APB＝60，則動點P的軌跡方程是__________． 解析：設動點P的坐標為(x，y)，依題意有|PO|＝＝＝2， ∴x2＋y2＝4，即所求的軌跡方程為x2＋y2＝4

11、. 答案：x2＋y2＝4 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分10分)求下列各圓的標準方程． (1)圓心在y＝0上且過兩點A(1,4)，B(3,2)； (2)圓心在直線2x＋y＝0上且與直線x＋y－1＝0切于點M(2，－1)． 解析：(1)設圓心坐標為(a，b)，半徑為r， 則所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ∵圓心在y＝0上，故b＝0， ∴圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2. 又∵該圓過A(1,4)，B(3,2)兩點， ∴ 解得a＝－1，r2＝20. ∴所求圓的方程為(x＋1)2＋y2＝2

12、0.(5分) (2)已知圓與直線x＋y－1＝0相切，并且切點為M(2，－1)， 則圓心必在過點M(2，－1)且垂直于x＋y－1＝0的直線l上， l的方程為y＋1＝x－2，即y＝x－3. 由解得 即圓心為O1(1，－2)． r＝＝. ∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(10分) 18．(本小題滿分12分)如圖，已知圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，點A(0,6)． (1)求圓心在直線y＝x上，經過點A，且與圓C相外切的圓N的方程； (2)若過點A的直線m與圓C 交于P，Q兩點，且圓弧PQ恰為圓C周長的，求直線m的方程． 解析：(1)由x2＋y2＋10x＋1

13、0y＝0，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50. 所以圓C的圓心坐標為C(－5，－5)． 又圓N的圓心在直線y＝x上， 當兩圓外切于O點時，設圓N的圓心坐標為(a，a)， 則有＝，解得a＝3. 所以圓N的圓心坐標為(3,3)，半徑r＝3， 故圓N的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝18. 綜上可知，圓N的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝18.(5分) (2)因為圓弧PQ恰為圓C周長的，所以CP⊥CQ. 所以點C到直線m的距離為5. 當直線m的斜率不存在時，點C到y(tǒng)軸的距離為5，直線m即為y軸，所以此時直線m的方程為x＝0. 當直線m的斜率存在時，設直線m的方程為y＝kx＋

14、6，即kx－y＋6＝0， 所以＝5， 解得k＝. 所以此時直線m的方程為x－y＋6＝0， 故所求直線m的方程為x＝0或x－y＋6＝0. (12分) 19．(本小題滿分12分)已知點M(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上運動，N(4,0)，點P(x，y)為線段MN的中點． (1)求點P(x，y)的軌跡方程； (2)求點P(x，y)到直線3x＋4y－86＝0的距離的最大值和最小值． 解析：(1)∵點P(x，y)是MN的中點，∴ 故將用x，y表示的x0，y0代入到x＋y＝4中得(x－2)2＋y2＝1.此式即為所求軌跡方程．(6分) (2)由(1)知點P的軌跡是以Q(2,0)為圓心

15、，以1為半徑的圓． 點Q到直線3x＋4y－86＝0的距離d＝＝16. 故點P到直線3x＋4y－86＝0的距離的最大值為16＋1＝17，最小值為16－1＝15.(12分) 20. (本小題滿分12分)如圖所示，圓O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2＝4，過動點P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN(M，N為切點)，使PM＝PN，試建立平面直角坐標系，并求動點P的軌跡方程． 解析：如圖所示，以O1O2中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系， 則O1(－2,0)，O2(2,0)．(2分) 已知PM＝PN，得PM2＝2PN2， 由兩圓半徑均為1得PO－1＝2(PO－

16、1)． 設點P(x，y)，則(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，(8分) 即(x－6)2＋y2＝33. 所以所求點P軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33.(12分) 21．(本小題滿分12分)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解析：假設存在斜率為1的直線l，滿足題意， 且OA⊥OB. 設直線l的方程是y＝x＋b，其與圓C的交點A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＝－1， 即x1x2＋y1y2＝0?、?2分) 由消去y

17、得：2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， ∴x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝(b2＋4b－4)，?、? (4分) y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝(b2＋4b－4)－b2－b＋b2＝(b2＋2b－4)．　③ (6分) 把②③式代入①式，得b2＋3b－4＝0， 解得b＝1或b＝－4，且b＝1或b＝－4都使得Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0成立，(10分) 故存在直線l滿足題意，其方程為y＝x＋1或y＝x－4.(12分) 22．(本小題滿分12分)已知與圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直線l交x軸，y軸于A，B兩

18、點，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)． (1)求證：(a－2)(b－2)＝2； (2)求線段AB中點的軌跡方程； (3)求△AOB面積的最小值． 解析：(1)證明：圓的標準方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，設直線方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圓心到該直線的距離d＝＝1， 即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2， 即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0， 即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.(4分) (2)設AB中點M(x，y)，則a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2， 得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1)．(8分) (3)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4， 解得≥2＋(舍去≤2－)， 當且僅當a＝b時，ab取最小值6＋4， 所以△AOB面積的最小值是3＋2.(12分) 最新精品資料