【備戰(zhàn)】北京版高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編 專題14 推理與證明、新定義含解析理

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1、專題14 推理與證明、新定義 1. 【2006高考北京理第8題】下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過路段的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)（假設(shè)：單位時(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則20，30；35，30；55，50 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 2. 【2009高考北京理第8題】點(diǎn)在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是 （ ） A．直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”

2、 B．直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)” C．直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” D．直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)” 【答案】A 考點(diǎn)：創(chuàng)新題型. 3. 【2014高考北京理第8題】學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評(píng)為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有（ ） A．2人 B．3人

3、 C．4人 D．5人 【答案】B 考點(diǎn)：合情推理，中等題. 4. 【2005高考北京理第14題】已知n次式項(xiàng)式. 如果在一種算法中，計(jì)算的值需要k－1次乘法，計(jì)算P3（x0）的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算P10（x0）的值共需要 次運(yùn)算. 下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用該算法，計(jì)算P3（x0）的值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算P10（x0）的值共需要 次運(yùn)算. 【答案】 考點(diǎn)

4、：信息題。 5. 【2007高考北京理第20題】（本小題共13分）已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：，．其中是有序數(shù)對(duì)，集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和．若對(duì)于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì)． （I）檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和； （II）對(duì)任何具有性質(zhì)的集合，證明：； （III）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 6. 【2008高考北京理第20題】（本小題共13分） 對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列 ． 對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)

5、，得到數(shù)列； 又定義． 設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令． （Ⅰ）如果數(shù)列為5，3，2，寫出數(shù)列； （Ⅱ）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明； （Ⅲ）證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，． 7. 【2010高考北京理第20題】(13分)已知集合Sn＝{X|X＝(x1，x2，…，xn)，xi∈{0,1}，i＝1,2，…，n}(n≥2)．對(duì)于A＝(a1，a2，…，an)，B＝(b1，b2，…，bn)∈Sn，定義A與B的差為A－B＝(|a1－b1|，|a2－b2|，…，|an－bn|)；A與B之間的距離為d(A，B)＝ (1)證明：A，B，C

6、∈Sn，有A－B∈Sn，且d(A－C，B－C)＝d(A，B)； (2)證明：A，B，C∈Sn，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)； (3)設(shè)PSn，P中有m(m≥2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為 (P)，證明：. 8. 【2011高考北京理第20題】若數(shù)列：，，…，滿足（，2，…，），則稱為E數(shù)列。記.（1）寫出一個(gè)滿足，且的E數(shù)列；（2）若，，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是；（3）對(duì)任意給定的整數(shù)，是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。 9. 【2012高考北京

7、理第20題】（本小題共13分） 設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于，且所有數(shù)的和為零. 記為所有這樣的數(shù)表組成的集合. 對(duì)于，記為的第行各數(shù)之和（），為的第列各數(shù)之和（）；記為，，…，，，，…，中的最小值. （1）對(duì)如下數(shù)表，求的值； （2）設(shè)數(shù)表形如 求的最大值； （3）給定正整數(shù)，對(duì)于所有的，求的最大值. 10. 【2014高考北京理第20題】（本小

8、題滿分13分） 對(duì)于數(shù)對(duì)序列，記，，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù). （1）對(duì)于數(shù)對(duì)序列，求的值； （2）記為，，，四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)組成的數(shù)對(duì)序列和，試分別對(duì)和兩種情況比較和的大??； （3）在由五個(gè)數(shù)對(duì)組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列使最小，并寫出的值.(只需寫出結(jié)論). 考點(diǎn)：新定義題型. 11. 【2015高考北京，理8】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是（ ） A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米 B．以相同速度行駛

9、相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多 C．甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油 D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí). 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油 【答案】D 考點(diǎn)：本題考點(diǎn)定位為函數(shù)應(yīng)用問題，考查學(xué)生對(duì)新定義“燃油效率”的理解和對(duì)函數(shù)圖象的理解. 12. 【2015高考北京，理20】已知數(shù)列滿足：，，且． 記集合． （Ⅰ）若，寫出集合的所有元素； （Ⅱ）若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)； （Ⅲ）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值． 【答案】（1），（2）證明見解析，（3）8 考點(diǎn)定位：1.分段函數(shù)形數(shù)列通項(xiàng)公式求值；2.歸納法證明；3.數(shù)列元素分析.