2019高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù) 3.2.3 復數(shù)的除法學案 新人教B版選修2-2.doc

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3.2.3　復數(shù)的除法 1．掌握復數(shù)的除法法則，并能運用復數(shù)的除法法則進行計算. 復數(shù)的除法 (1)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，如果存在一個復數(shù)z′，使zz′＝1，則z′叫做z的______， 記作. (2)我們規(guī)定兩個復數(shù)除法的運算法則如下： (a＋bi)(c＋di)＝== == 其中a，b，c，d∈R. 上述復數(shù)除法的運算法則不必死記.在實際運算時，我們把商看作分數(shù)，分子、分母同乘以分母的____________，把分母變?yōu)閷崝?shù)，化簡后，就可以得到運算結(jié)果. 【做一做】復數(shù)(m∈R)在復平面內(nèi)對應的點不可能位于(　　). A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 復數(shù)的模有哪些性質(zhì)？ 剖析：(1) (2)|z1z2|＝|z1||z2| (3) (4)|zn|＝|z|n 題型一 復數(shù)的除法 【例題1】計算下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4). 分析：直接利用復數(shù)除法的運算法則，分子、分母同時乘分母的共軛復數(shù)來計算． 反思：在復數(shù)的除法中，除直接利用分子、分母同時乘分母的共軛復數(shù)外，形如或的復數(shù)，還可以直接化簡，即＝＝i，＝＝－i. 題型二 復數(shù)運算的綜合應用 【例題2】設z是虛數(shù)，ω＝z＋是實數(shù)，且－1＜ω＜2. (1)求|z|的值及z的實部的取值范圍； (2)設u＝，求證：u為純虛數(shù)； (3)求ω－u2的最小值． 分析：(1)按常規(guī)解法，設z＝a＋bi(a，b∈R)，化簡ω＝z＋，找出實部、虛部列出等量關(guān)系式求解； (2)證明u為純虛數(shù)，可按定義證明實部為零，虛部不為零．或證明u＋＝0，且u≠0； (3)要求ω－u2的最小值，由(1)，(2)，知ω與u2均為實數(shù)，所以可先建立ω－u2的函數(shù)關(guān)系，再設法求出最小值． 反思：該題涉及到復數(shù)的基本概念和四則運算以及均值不等式等知識．只要概念清楚，運算熟練，按常規(guī)思路順其自然不難求解．注意：解決后面的問題時，可以使用前面已經(jīng)得到的結(jié)論． 題型三 易錯辨析 易錯點：在求解過程中因忽視有關(guān)條件而導致錯誤． 【例題3】已知是純虛數(shù)，求z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡． 錯解：設z＝x＋yi(x，y∈R)， 則＝＝＝－i. ∵是純虛數(shù)， ∴x2＋y2－x＝0，即2＋y2＝， ∴z在復平面上對應點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓． 1復數(shù)＋的虛部是(　　)． A．i B． C．－i D．－ 2復數(shù)3等于(　　)． A．8 B．－8 C．8i D．－8i 3已知復數(shù)z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若為實數(shù)，則實數(shù)m的值為(　　)． A． B． C．－ D．－ 4設i為虛數(shù)單位，則復數(shù)＝________. 5設復數(shù)z1＝2－i，z2＝1－3i，則復數(shù)＋的虛部等于__________． 答案： 基礎知識梳理 (1)倒數(shù)　(2)共軛復數(shù)c－di 【做一做】A　z＝＝[(m－2i)(1－2i)]＝[(m－4)－2(m＋1)i]，在復平面上對應的點若在第一象限內(nèi)，則無解，即該點不可能在第一象限． 典型例題領悟 【例題1】解：(1)＝＝i(1＋i)＝－1＋i. (2)＝＝＝＝－i. (3)＝＝＝－i. (4)方法一：＝＝＝＝i. 方法二：＝＝＝i. 【例題2】(1)解：∵z是虛數(shù)， ∴可設z＝x＋yi，x，yR，且y≠0. ∴ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋i. ∵ω是實數(shù)，且y≠0，∴y－＝0， ∴x2＋y2＝1，即|z|＝1.此時ω＝2x. ∵－1＜ω＜2，∴－1＜2x＜2，從而有－＜x＜1. 即z的實部的取值范圍是. (2)證明：u＝＝＝＝＝－i. ∵x(－，1)，y≠0， ∴≠0. ∴u為純虛數(shù)． (3)解：ω－u2＝2x－2＝2x＋2＝2x＋＝2x＋＝2x－1＋＝2(x＋1)＋－3. ∵－＜x＜1，∴1＋x＞0. 于是ω－u2＝2(x＋1)＋－3≥2－3＝1. 當且僅當2(x＋1)＝，即x＝0時等號成立． ∴ω－u2的最小值為1，此時z＝i. 【例題3】錯因分析：由為純虛數(shù)，得x2＋y2－x＝0，且y≠0，錯解中忽略了y≠0. 正解：設z＝x＋yi(x，yR)， 則＝＝＝. ∵是純虛數(shù)， ∴ 即2＋y2＝(y≠0)． ∴z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，并去掉點(0,0)和點(1,0)． 隨堂練習鞏固 1．B?。剑? ＝－＋i.故選B. 2．D　3＝(i＋i)3＝(2i)3＝－8i.故選D. 3．D　＝＝R， ∴6＋4m＝0，∴m＝－. 4．－1＋i?。剑剑?＋i. 5．i　∵＋＝＋＝＋＋i＝－＋i＋＋i＝i.