《點集拓撲學》第二章拓撲空間與連續(xù)映射學習筆記

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1、1 第 2 章度量空間與連續(xù)映射 從數(shù)學分析中已經(jīng)熟知單變量和多變量的連續(xù)函數(shù)，它們的定義域和值域 都是歐氏空間（直線，平面或空間等等）或是其中的一部分“在這一章中我們 首先將連續(xù)函數(shù)的定義域和值域主要特征抽象出來用以定義度量空間， 將連續(xù) 函數(shù)的主要特征抽象出來用以定義度量空間之間的連續(xù)映射 （參見 2.1 ） “然 后將兩者再度抽象，給出拓撲空間和拓撲空間之間的連續(xù)映射 （參見 2.2 ） “隨 后再逐步提出拓撲空間中的一些基本問題如鄰域，閉包，內部，邊界，基和子 基，序列等等. 2.1 度量空間與連續(xù)映射 本節(jié)重點：掌握拓撲學中度量的概念及度量空間中的連續(xù)映射的概念. 注意區(qū)別：數(shù)學分析

2、中度量、連續(xù)映射的概念與本節(jié)中度量、連續(xù)映射的 概念. 注意，在本節(jié)的證明中，應細細體會證明的方法. 首先讓我們回憶一下在數(shù)學分析中學習過的連續(xù)函數(shù)的定義. 函數(shù)f : FHR 稱為在點R處是連續(xù)的，如果對于任意實數(shù) & 0,存在實數(shù)S 0,使 得對于任何x R,當|x-| S時,有|f（x）-f（ ）| .在這個定義中只涉及 兩個實數(shù)之間的距離（即兩個實數(shù)之差的絕對值）這個概念；為了驗證一個函 數(shù)在某點處的連續(xù)性往往只要用到關于上述距離的最基本的性質， 而與實數(shù)的 其它性質無關，關于多元函數(shù)的連續(xù)性情形也完全類似“以下，我們從這一考 察出發(fā)，抽象出度量和度量空間的概念. 定義2.1.1 設X

3、是一個集合，p : XXX-R如果對于任何x, y, z X, 有 (1) (正定性)，p (x,y)0并且p (x,y) = 0當且僅當x=y; (2) (對稱性)p (x,y)= p (y,x); (3) (三角不等式)p (x,z) p (x,y)+ p (y,z) 則稱p是集合X的一個度量. 如果p是集合X的一個度量，稱(X, p )是一個度量空間，或稱X是一 個對于p而言的度量空間“有時，或者度量 p早有約定，或者在行文中已作 交代，不提它不至于引起混淆，這時我們稱 X是一個度量空間“此外，對于任 意兩點x，y X，實數(shù)p (x，y)稱為從點x到點y的距離. 著重理解：度量的本質是什

4、么？ 例2.1.1 實數(shù)空間R. 對于實數(shù)集合R,定義p : RX FHR如下：對于任意x，y R,令 p (x, y) =|x-y| “容易驗證p是R的一個度量，因此偶對(R, p )是一個 度量空間.這個度量空間特別地稱為實數(shù)空間或直線. 這里定義的度量p ,稱 為R的通常度量，并且常常略而不提，逕稱 R為實數(shù)空間“(今后我們說實數(shù) 空間，均指具有通常度量的實數(shù)空間“) 例2.1.2 n維歐氏空間丁 . 對于實數(shù)集合R的n重笛卡兒積 / = RX RX-XR3 定義p : 如下：對于任意X= （I ；）， 鳥=: 、 . - -b 令 p （X, y ）= 容易驗證（詳見課本本節(jié)最后部分的

5、附錄） p是J的一個度量，因此偶 對（T, p）是一個度量空間.這個度量空間特別地稱為n維歐氏空間.這里定 義的度量p，稱為J的通常度量，并且常常略而不提，逕稱 J為n維歐氏空 間.2維歐氏空間通常稱為歐氏平面或平面“（今后說通常度量，均指滿足這 種公式的度量） 例 2.1.3 Hilbert 空間 H. 記H為平方收斂的所有實數(shù)序列構成的集合，即 0 Y Y 盂逹應化矢,# H= x=（ - 一 ）| 二 vx 定義p如下：對于任意 x=（一一），y =（八丿:）H 令 P (x,y)= 0使得p (x, y) 亠對于任何y X, XM y,成立. 例如我們假定X是一個集合，定義p : XX

6、 XR使得對于任何 x, y X, 有 jo x P (x,y)= I- 容易驗證p是X的一個離散的度量，因此度量空間(X, p)是離散的. 通過這幾個例子，可知，度量也是一種映射，但它的象空間是實數(shù). 離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過的一類空間， 但今后會發(fā)現(xiàn)它 的性質是簡單的. 定義2.1.2 設(X, p)是一個度量空間，x X.對于任意給定的實數(shù) & 0,集合 y X| p (x, y) 0, B (x, Q 是x的一個球形 鄰域，所以x5 至少有一個球形鄰域；由于 p (x, x) =0,所以x屬于它的每一 個球形鄰域. (2) 如果B (x, -J和B (x, L )是xX的

7、兩個球形鄰域，任意選取實 數(shù) 0,使得 V min H，則易見有 B (x, & ) _B (x, )n B (x,) 即B (x, & )滿足要求. (3) 設 y B (x, & ).令 t = &- p (x, y).顯然.0.如果 zB (y,-),則 g p (Z, x) 0使得B( a, & )匚 A,則稱A是度量空間X中的一個開集. 注意：此處的開集僅是度量空間的開集. 例2.1.5 實數(shù)空間R中的開區(qū)間都是開集. 設a, b R, avb.我們說開區(qū)間 (a, b) =x R|av xv b 是R中的一個開集.這是因為如果x( a, b),若令 & = minx-a , b-x

8、, 則有B (x, )_ (a, b) “也同樣容易證明無限的開區(qū)間 (a,x)= x R|x a, (- , b) =x R|x v b (-g, x)= R 都是R中的開集“然而閉區(qū)間 a , b=x R|ax0, B (x, & ) a,b都不成立“類似地，半開半閉的區(qū)間 (a, b=x R|avx b, a , b) = x R|a a, ( g , b=x R|x b 都不是R中的開集. 定理2.1.2 度量空間X中的開集具有以下性質： (1) 集合X本身和空集0都是開集； (2) 任意兩個開集的交是一個開集； (3) 任意一個開集族(即由開集構成的族)的并是一個開集. 證明根據(jù)定理

9、2.1.1 (1) X中的每一個元素x都有一個球形鄰域，這個球形鄰域當然包含在 X 中，所以X滿足開集的條件；空集二中不包含任何一個點，也自然地可以認為 它滿足開集的條件. (2) 設U和V是X中的兩個開集.如果x un V,則存在x的一個球形鄰 域B (x, -)包含于U,也存在x的一個球形鄰域B (x,二)包含于V.根據(jù) 定理,x有一個球形鄰域B (x, )同時包含于B (x, )和B (x,二), 因此 B (x, )_ B (x, 0,存在實數(shù)30使得對于任何xX只要p (x, )V S (即 x B C. , S)便有 L(f(x),f( ) V .(即 f(x) B (f( ：)

10、, ). 下面的這個定理是把度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為 拓撲空間和拓撲空間之間的連續(xù)映射的出發(fā)點. 定理2.1.4 設X和Y是兩個度量空間，f : X-Y以及心 X.貝U下述條件 (1) 和(2)分別等價于條件(1) *和(2) * : (1) f在點九處是連續(xù)的； (1) *f(陽)的每一個鄰域的原象是九的一個鄰域； (2) f是連續(xù)的； (2) *Y中的每一個開集的原象是 X中的一個開集. 證明 條件(1)蘊涵(1) * :設(1)成立.令U為f ()的一個鄰域.根 據(jù)定理2.1.3 , f ( T )有一個球形鄰域 B (f ( ), & )包含于U.由于f 在點處是連

11、續(xù)的，所以有一個球形鄰域 B ( , S )使得 f (B ( , S) B (f ()， ).然而，(B (f （, ）“（ U）,所以 9 B （ , $）_“（ U）,這證明 （U）是的一個鄰域. 條件（1） *蘊涵（1）.設條件（1） *成立“任意給定f）的一個鄰 域B（ f（ ：i）, ），則（B（ f（），）是的一個鄰域.根據(jù)定理2.1.3 , 有一個球形鄰域B （ , S）包含于 1 （B （f），）. 因此f （B c I , S） _ B （f （）， ）.這證明f在點處連續(xù). 條件（2）蘊涵（2） * .設條件（2）成立.令V為丫中的一個開集， 1 （V） .對于每一個x

12、U,我們有f （x） V由于V是一個開集， 所 以V是f （x）的一個鄰域“由于f在每一點處都連續(xù)，故根據(jù)（1） * , U是x 的一個鄰域.于是有包含x的某一個開集Ux使得Ux_ U.易見U=U x UUx由 于每一個Ux都是開集，根據(jù)定理2.1.2 , U是一個開集. 條件（2） *蘊涵（2）.設（2） *成立，對于任意x X,設U是f （x）的 一個鄰域，即存在包含f （x）的一個開集V _U“從而x （V） _（ U） “根 據(jù)條件（2） * , / （V）是一個開集，所以 （U）是x的一個鄰域，對于x 而言，條件（1） *成立，于是f在點x處連續(xù).由于點x是任意選取的，所以 f是一個

13、連續(xù)映射. 從這個定理可以看出：度量空間之間的一個映射是否是連續(xù)的，或者在某 一點處是否是連續(xù)的，本質上只與度量空間中的開集有關（注意，鄰域是通過 開集定義的）.這就導致我們甩開度量這個概念，參照度量空間中開集的基本 性質（定理 作業(yè)： P47 2.2 拓撲空間與連續(xù)映射 本節(jié)重點： 拓撲與拓撲空間的概念，并在此空間上建立起來的連續(xù)映射的概念 注意區(qū)別： 拓撲空間的開集與度量空間開集的異同；連續(xù)映射概念的異同 . 現(xiàn)在我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，即從開集及其基本性質（定理 定義2.2.1 設X是一個集合，T是X的一個子集族“如果 T滿足如下 條件： （l ） X, 0T ； （2） 若 A,

14、 B T ，則 AH BT ; （3） 若匚丁戶u的矢T 則稱T是X的一個拓撲. 如果T是集合X的一個拓撲，則稱偶對（X, T ）是一個拓撲空間，或 稱集合X是一個相對于拓撲T而言的拓撲空間；此外T的每一個元素都叫做 拓撲空間（X，T ）或（X）中的一個開集“即：A T ： A是開集 （此定義與度量空間的開集的性質一樣嗎？留給大家思考） 經(jīng)過簡單的歸納立即可見，以上定義中的條件（2）蘊涵著：有限多個開 集的交仍是開集，條件（3）蘊涵著：任意多個開集的并仍是開集.11 現(xiàn)在首先將度量空間納入拓撲空間的范疇. 定義2.2.2 設（X, p）是一個度量空間“令 耳為由X中的所有開集構 度量p誘導出來

15、的拓撲“此外我們約定： 如果沒有另外的說明， 我們提到度 量空間 （X, p ）的拓撲時， 指的就是拓撲幾； 在稱度量空間 （x,p）為拓撲 空間時， 指的就是拓撲空間 （X,幾） 因此，實數(shù)空間R, n維歐氏空間（特別，歐氏平面：/）, Hilbert空 間H都可以叫做拓撲空間，它們各自的拓撲便是由例 2.1.1 ,例 例2.2.1 平庸空間. 設X是一個集合“令T=X,二 “容易驗證，T是X的一個拓撲，稱之為 X的平庸拓撲;并且我們稱拓撲空間（X, T）為一個平庸空間“在平庸空間（X, T）中，有且僅有兩個開集，即 X本身和空集二. 例2.2.2 離散空間. 設X是一個集合.令T=P （X

16、）,即由X的所有子集構成的族.容易驗證， T是X的一個拓撲，稱之為X的離散拓撲；并且我們稱拓撲空間（X, T）為一 個離散空間.在離散空間（X, T）中，X的每一個子集都是開集. 例 2.2.3 設 X=a , b, c.令 T =二,a , a , b, a , b, c. 容易驗證，T是X的一個拓撲，因此（X, T）是一個拓撲空間.這個拓撲 空間既不是平庸空間又不是離散空間. 成的集族“根據(jù)定理2.1.2， （X,幾）是X的一個拓撲“我們稱 例2.2.4 有限補空間. 設X是一個集合“首先我們重申：當我們考慮的問題中的基礎集自明時， 我們并不每次提起.因此在后文中對于X的每一個子集A，它的

17、補集X A我們 寫為-“令 T =U _ X|是X的一個有限子集 U 先驗證T是X的一個拓撲： （1） X T （因為一=二）；另外，根據(jù)定義便有 二 T. （2） 設A, B T如果A和B之中有一個是空集，則 AH B T,假定A和B 都不是空集“這時 是X的一個有限子集，所以AH B T . （3） 設：令： ：,顯然有 U的/ =。刪/ 如果:，則 設二 r 任意選取二二- 一.這時“ 八、1 1 =門2 J H 是X 的一個有限子集，所以 根據(jù)上述（1），（2）和（3），P是X的一個拓撲，稱之為X的有限補拓 撲.拓撲空間（X，P）稱為一個有限補空間. 例2.2.5 可數(shù)補空間. 設X

18、是- -個集合.令 T =U X|是X的一個可數(shù)子集 U 通過與例是X的一個拓撲，稱之為X的可數(shù)補拓撲.拓撲空間（X，T ） 稱為一個可數(shù)補空間. 13 一個令人關心的問題是拓撲空間是否真的要比度量空間的范圍更廣一 點？換句話就是問：是否每一個拓撲空間的拓撲都可以由某一個度量誘導出 來？ 定義223 設（X，P）是一個拓撲空間“如果存在 X的一個度量p使 得拓撲P即是由度量p誘導出來的拓撲 &，則稱（X, P）是一個可度量化空 根據(jù)這個定義，前述問題即是：是否每一個拓撲空間都是可度量化空間？ 從 2. 1中的習題2和3可以看出，每一個只含有限個點的度量空間作為拓撲 空間都是離散空間“然而一個平

19、庸空間如果含有多于一個點的話，它肯定不是 離散空間，因此它不是可度量化的；例，但不是離散空間，也不是可度量化的.由 此可見，拓撲空間是比可度量空間的范圍要廣泛“進一步的問題是滿足一些什 么條件的拓撲空間是可度量化的？這是點集拓撲學中的重要問題之一， 以后我 們將專門討論. 現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓撲空間之間的連 續(xù)映射. 定義2.2.4 設X和Y是兩個拓撲空間，f:X f Y.如果Y中每一個開集U 的原象廠（U）是X中的一個開集，則稱f是X到丫的一個連續(xù)映射，或簡稱 映射f連續(xù). 按這種方式定義拓撲空間之間的連續(xù)映射，明顯是受到了 2. 1中的定理, 如果f:X fY是

20、從度量空間X到度量空間Y的一個連續(xù)映射，那么它也是從拓 撲空間X到拓撲空間丫的一個連續(xù)映射，反之亦然.（按照約定，涉及的拓撲 當然都是指誘導拓撲） 下面的這個定理盡管證明十分容易， 但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的 性質. 定理2.2.1 設X, 丫和Z都是拓撲空間“則 (1) 恒同映射：L :X X是一個連續(xù)映射； (2) 如果f:X Y和g:YZ都是連續(xù)映射，則 gof:X Z也是連續(xù)映射. 證明(I )丸，所以 連續(xù). (2) 設f:X Y,g:Y Z都是連續(xù)映射 匸壯爲北叮尸娜廠(尹( E耳 這證明gof連續(xù). 在數(shù)學科學的許多學科中都要涉及兩類基本對象. 如在線性代數(shù)中我們考 慮線性

21、空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集 合和映射，在不同的幾何學中考慮各自的圖形和各自的變換等等. 并且對于后 者都要提出一類來予以重視，例如線性代數(shù)中的(線性)同構，群論中的同構, 集合論中的一一映射，以及初等幾何學中的剛體運動(即平移加旋轉)等等. 我們現(xiàn)在已經(jīng)提出了兩類基本對象， 即拓撲空間和連續(xù)映射.下面將從連 續(xù)映射中挑出重要的一類來給予特別的關注. 定義2.2.5 設X和丫是兩個拓撲空間.如果f : XY是一個一一映射, 并且f和廣：YX都是連續(xù)的，則稱f是一個同胚映射或同胚. 定理2.2.2 設X, 丫和Z都是拓撲空間.則 (1) 恒同映射L : XX是一

22、個同胚； (2) 如果f : XY是一個同胚，貝1 : YX也是一個同胚; (3) 如果f : XY和g : YZ都是同胚，貝U gof : XZ也是一個同胚. 證明 以下證明中所涉及的根據(jù)，可參見定理 2.2.1 ,定理 I . 5. 3和定理 1. 5. 4. (I ) I是一個一一映射，并且 v t ，都是連續(xù)的，從而 是同胚. 15 (2) 設f : XY是一個同胚.因此f是一個一一映射，并且f和1都 是連續(xù)的.于是： 也是一個一一映射并且和一也都是連續(xù)的， 所以也是一個同胚. (3) 設f : XY和g: Y-Z都是同胚.因此f和g都是一一映射，并且f， 1，g和J都是連續(xù)的.因此g

23、of也是一一映射，并且gof和 :廠廠 ：丁都是連續(xù)的.所以gof是一個同胚. 定義2.2.6 設X和Y是兩個拓撲空間.如果存在一個同胚 f : X-Y,則 稱拓撲空間X與拓撲空間丫是同胚的，或稱X與丫同胚，或稱X同胚于丫. 粗略地說，同胚的兩個空間實際上便是兩個具有相同拓撲結構的空間. 定理2.2.3 設X, 丫和Z都是拓撲空間.則 (1) X與X同胚； (2) 如來X與丫同胚，貝U 丫與X同胚； (3) 如果X與丫同胚，丫與Z同胚，貝U X與Z同胚. 證明從定理 根據(jù)定理2.2.3，我們可以說：在任意給定的一個由拓撲空間組成的族中， 兩個拓撲空間是否同胚這一關系是一個等價關系. 因而同胚關

24、系將這個拓撲空 間族分為互不相交的等價類，使得屬于同一類的拓撲空間彼此同胚，屬于不同 類的拓撲空間彼此不同胚. 拓撲空間的某種性質P,如果為某一個拓撲空間所具有，則必為與其同胚 的任何一個拓撲空間所具有，則稱此性質 P是一個拓撲不變性質“換言之，拓 撲不變性質即為同胚的拓撲空間所共有的性質. 拓撲學的中心任務便是研究拓撲不變性質. 至此我們已經(jīng)做完了將數(shù)學分析中我們熟知的歐氏空間和歐氏空間之間 的連續(xù)函數(shù) 的概念，經(jīng)由度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射，一直抽象為拓 撲空間和拓撲空間之間的連續(xù)映射這樣一個在數(shù)學的歷史上經(jīng)過了很長的一 段時期才完成的工作.在數(shù)學的發(fā)展過程中對所研究的問題不斷地加以

25、抽象這 種做法是屢見不鮮的，但每一次的抽象都是把握住舊的研究對象（或其中的某 一個方面）的精粹而進行的一次提升，是一個去粗取精的過程.也正因為如此, 新的概念和理論往往有更多的包容. 拓撲學無疑也是如此，一方面它使我們對空間和連續(xù)有更為純正 的認識，另一方面也包含了無法列入以往的理論中的新的研究對象（特別是許 多無法作為度量空間處理的映射空間）“這一切讀者在學習的過程中必然會不 斷地加深體會. 作業(yè)： P55 2,5,6,8,9,10 2.3 鄰域與鄰域系 本節(jié)重點： 掌握鄰域的概念及鄰域的性質； 掌握連續(xù)映射的兩種定義； 掌握證明開集與鄰域的證明方法（今后證明開集常用定理 我們在數(shù)學分析中定

26、義映射的連續(xù)性是從局部到整體的， 也就是 說先定義映射在某一點處的連續(xù)性， 然后再定義這個映射本身的連續(xù)性. 然而 對于拓撲空間的映射而言，先定義映射本身的連續(xù)性更為方便， 所以我們先在 2.2中做好了；現(xiàn)在輪到給出映射在某一點處的連續(xù)性的定義了 .在定理， 為此只要有一個適當?shù)姆Q之為鄰域的概念，而在 2.1中定義度量空間的 鄰域時又只用到開集.因此我們先在拓撲空間中建立鄰域的概念然后再給 出映射在某一點處的連續(xù)性的概念，這些概念的給出一點也不會使我們感到突 然. 17 定義2.3.1 設（X，P）是一個拓撲空間，x X.如果U是X的一個子集， 滿足條件：存在一個開集 V P使得xV _ U,

27、則稱U是點x的一個鄰域.點x 的所有鄰域構成的x的子集族稱為點x的鄰域系.易見，如果U是包含著點x 的一個開集，那么它一定是x的一個鄰域，于是我們稱U是點x的一個開鄰域. 首先注意，當我們把一個度量空間看作拓撲空間時（這時，空間的拓撲是 由度量誘導出來的拓撲），一個集合是否是某一個點的鄰域，無論是按 2.1 中的定義或者是按這里的定義，都是一回事. 定理2.3.1 拓撲空間X的一個子集U是開集的充分必要條件是U是它的 每一點的鄰域，即只要x U, U便是x的一個鄰域. 證明 定理中條件的必要性是明顯的.以下證明充分性.如果U是空集二， 當然U是一個開集.下設UM二.根據(jù)定理中的條件， 故：，根

28、據(jù)拓撲的定義，U是一個開集. 定理 定理232 設X是一個拓撲空間“記x為點xX的鄰域系“貝 （1）對于任何x X, S 工0 ;并且如果U，則x U; (2)如果U, V S，貝U UP V S ； (3)如果U 6 并且 UU V,貝U V ； （4）如果U S，則存在V S 滿足條件：（a）V匚U和（b）對于任何 y V,有 V S . 證明（1） 丄X,X P,二X厶，“厶 工二且由定義,如果 U 二，貝U xU （2） 設U,VJ則存在U. - P和 X P使得 -和i.- 成立.從而我們有 - - . - L -=“ UP V （3） 設u上，并且：-二二一二一 I仁 （4） 設U

29、厶.令V P滿足條件/ - ? . V已經(jīng)滿足條件（a）,根 據(jù)定理2.3.1，它也滿足條件（b）. 以下定理表明，我們完全可以從鄰域系的概念出發(fā)來建立拓撲空間理論， 這種做法在點集拓撲發(fā)展的早期常被采用.這種做法也許顯得自然一點，但不 如現(xiàn)在流行的從開集概念出發(fā)定義拓撲來得簡潔. 定理2.3.3 設X是一個集合.又設對于每一點 xX指定了 x的一個子 集族5，并且它們滿足定理，子集族 x恰是點x在拓撲空間（X，P）中的鄰 域系.（證明略） 現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射在一點處的連續(xù)性的概念推廣到 拓撲空間之間的映射中去. 定義232 設X和Y是兩個拓撲空間，f:X -Y, x X.如果

30、 f (x )Y的每一個鄰域U的原象(U)是xX的一個鄰域，則稱映射f 是一個在點x處連續(xù)的映射，或簡稱映射f在點x處連續(xù). 與連續(xù)映射的情形一樣，按這種方式定義拓撲空間之間的映射在某一點處 的連續(xù)性也明顯地是受到了 2.1中的定理，如果f: X -Y是從度量空間X到 度量空間丫的一個映射，它在某一點 xX處連續(xù)，那么它也是從拓撲空間 X 到拓撲空間丫的一個在點x處連續(xù)的映射；反之亦然. 這里我們也有與定理 定理234 設X, 丫和Z都是拓撲空間.則 19 (1) 恒同映射L : X-X在每一點xX處連續(xù)； (2) 如果f : X-Y在點xX處連續(xù)，g: Y-Z在點f (x)處連續(xù)，則 gof

31、 : X-Z在x處連續(xù). 證明請讀者自己補上. 以下定理則建立了局部的連續(xù)性概念和整體的連續(xù)性概念之間 的聯(lián)系. 定理235 設X和丫是兩個拓撲空間，f : X-Y.貝U映射f連續(xù)當且僅 當對于每一點x X,映射f在點x處連續(xù). 證明必要性：設映射f連續(xù)， 這證明f在點X處連續(xù). 充分性：設對于每一點x X,映射f在點x處連續(xù). VETeTiVze 廣(UU e Uf滬氏)叫于 e Tx 這就證明了 f連續(xù). 作業(yè)： 掌握證明一個子集是鄰域的方法，掌握證明一個映射是否連續(xù)的方法. 2.4 導集，閉集，閉包 本節(jié)重點： 熟練掌握凝聚點、導集、閉集、閉包的概念； 區(qū)別一個點屬于導集或閉包的概念上的

32、不同； 掌握一個點屬于導集或閉集或閉包的充要條件; 掌握用閉集敘述的連 續(xù)映射的充要條件. 如果在一個拓撲空間中給定了一個子集， 那么拓撲空間中的每一個點相對 于這個子集而言處境各自不同，因此可以對它們進行分類處理. 定義2.4.1 設X是一個拓撲空間，ACX.如果點xX的每一個鄰域U 中都有A中異于x的點，即Un（ A-x）工0，則稱點x是集合A的一個凝 聚點或極限點.集合A的所有凝聚點構成的集合稱為 A的導集，記作d（ A） “如 果xA并且x不是A的凝聚點，即存在x的一個鄰域U使得Un（ A-x）= 0，則稱x為A的一個孤立點. 即:（牢記） 0目亡6刀門（乂 X）H0 群曲&0血總久門

33、（/-何）=0 在上述定義之中，凝聚點、導集、以及孤立點的定義無一例外地都依賴于 它所在的拓撲空間的那個給定的拓撲“因此，當你在討論問題時涉及了多個拓 撲而又談到某個凝聚點時，你必須明確你所談的凝聚點是相對于哪個拓撲而 言，不容許產(chǎn)生任何混淆“由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于 給定拓撲的，因此類似于這里談到的問題今后幾乎時時都會發(fā)生，我們不每次 都作類似的注釋，而請讀者自己留心. 某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念， 但絕不 要以為對歐氏空間有效的性質，例如歐氏空間中凝聚點的性質，對一般的拓撲 空間都有效“以下兩個例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象. 例

34、241 離散空間中集合的凝聚點和導集. 設X是一個離散空間，A是X中的一個任意子集.由于 X中的每一個單點 集都是開集，因此如果xX,則X有一個鄰域X，使得 上二匸.二皿丄，以上論證說明，集合 A沒有任何一個凝聚點， 從而A的導集是空集，即d (A)=二. 21 例2.4.2 平庸空間中集合的凝聚點和導集. 設X是一個平庸空間，A是X中的一個任意子集.我們分三種情形討論： 第1種情形：A二二.這時A顯然沒有任何一個凝聚點，亦即 d (A)二.(可以參見定理 第2種情形：A是一個單點集，令A = 如果x X, XM ，點x只有 惟一的一個鄰域 X,這時.二上二 ，所以第.丁 ;因此x 是A的一個

35、凝聚點，即x d ( A).然而對于 T 的惟一鄰域X有： .“所以 d (A) =X-A. 第3種情形：A包含點多于一個“請讀者自己證明這時 X中的每一個點都 是A的凝聚點，即d( A)= X. 定理241 設X是一個拓撲空間，A_X.貝U (I ) d (二)二二; (2) A_B蘊涵 d (A) _ d ( B); (3) d (AU B)= d (A)U d ( B); (4) d (d (A) _ AU d (A). 證明 (1)由于對于任何一點xX和點x的任何一個鄰域U, 有 un；二7二 一： (2) 設A_B.如果；門二二匚七= - - _ 二-這證明了 d (A) _ d (

36、B). (3) 根據(jù)(2),因為 A, B_AU B,所以有 d (A) , d (B) _ d (AU B), 從而 d (A)U d ( B) _ d (AU B) 另一方面，如果 3 Dn(ilu5-(x) -Dn(jl-x) u(B -() u(Pn(3-(x) uc(d-國)u(Fn(5-(x)y) =0 .- x) = 0 n x毎 = d(占uE) crf(j4)urf(5) 綜上所述，可見(3)成立.(這是證明一個集合包含于另一個集合的另一 方法:要證_ -,只要證-即可.) (4) 設:3UeUKsUn(A-(x) = 0 =D 23 心皿 g :; 嚴心d)=0 y7yry

37、(A-) = 0eTt：.yeUy：.yd(A)f =VcdA) = 00 c(N(& -)=0 .；x 毎 d(d(/4) n d(d(y4) aAjd(A) 成立. 定義2.4.2 設X是一個拓撲空間，A_X.如果A的每一個凝聚點都屬于 A,即d（A） _ A,則稱A是拓撲空間X中的一個閉集. 例如，根據(jù)例，離散空間中的任何一個子集都是閉集，而平庸空間中的任 何一個非空的真子集都不是閉集. 定理2.4.2 設X是一個拓撲空間，A_X.則A是一個閉集，當且僅當 A 的補集二是一個開集. 證明必要性：設 A是一 一個閉集 PXE 開隹 A/:d（A）匚 A xd（A）,3UeUUn（iA-x）

38、 = 0 :,UnA = 0U cAAfeT 充分性：設： AriA = Zt An（A -x） = 0= x 隹 d（& “:禮4）匚蟲 即A是一個閉集. 例2.4.3 實數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間. 設a，b R, avb.閉區(qū)間a，b是實數(shù)空間R中的一個閉集，因為a， b的補集I丄討=（-%，a）n（ b,x）是一個開集. 即（4） 同理，(-g, a , b ,x)都是閉集，(-8,s)= R顯然更是一個閉 集“然而開區(qū)間(a, b)卻不是閉集，因為a是(a, b)的一個凝聚點，但aA (a，b).同理區(qū)間(a, b , a , b),( -g, &)和(b,g)都不是閉集. 定理243

39、 設X是一個拓撲空間“記F為所有閉集構成的族“貝 (1) X,二 F (2) 如果 A, B F,則 AUBE F (從而如果 -亠-.- ) (3) 如果二工二 在此定理的第(3)條中，我們特別要求 二Mi的原因在于當 =二時所涉及的交運算沒有定義. 證明 根據(jù)定理2.4.2，我們有T=_ |U F其中，T為X的拓撲. (1) v X,二 “ - 廠工二廠 ( 2 ) 若 A 、 B F , 則 ABieTl=AirB,eTfAuB = AuB(A/nBTEF (3) 令： n Hjkjj = =(U軸 Ay E F 定理證明完成. 總結：(1)有限個開集的交是開集，任意個開集的并是開集“其

40、余情形 不一定. (2) 有限個閉集的并是閉集，任意個閉集的交是閉集“其余情形不一定.25 定義243 設X是一個拓撲空間，A _X,集合A與A的導集d(A)的并 AU d(A)稱為集合A的閉包,記作一或二 容易看出， “八 ：(注意：與x d(A)的區(qū)別) 定理244 拓撲空間X的子集A是閉集的充要條件是A=/l 證明：定理成立是因為：集合A為閉集當且僅當d(A) _ A而這又當且僅當 A=AJ d(A) 定理2.4.5 設X是一個拓撲空間,則對于任意A,B X,有: (3) 成立是因為 (4) 成立是因為 =AJ d (A)J d (d (A) =AJ d ( A)= 在第(3)條和第(4

41、)條的證明過程中我們分別用到了定理 (2)成立是根據(jù)閉包的定義. AuB 5(A)Q (丄5(&23 AuB 定理246 拓撲空間X的任何一個子集A的閉包都是閉集. 證明根據(jù)定理 定理247 設X是一個拓撲空間，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構成的族， 則對于X的每一個子集A,有 刁叩ieFJb 即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交. 證明 因為A包含于 T 壬一:丄，而后者是一個閉集，由定理 有r 另一方面，由于是一個閉集，并且二一：，所以 -I交包含于形成交的任一個成員） 綜合這兩個包含關系，即得所求證的等式. 由定理，X是一個包含著A的閉集，它又包含于任何一個包含 A的閉集之 中，在這種意義

42、下我們說：一個集合的閉包乃是包含著這個集合的最小的閉集. 在度量空間中，集合的凝聚點，導集和閉包都可以通過度量來刻畫. 定義245 設（X，p ） 一個度量空間.X中的點x到X的非空子集A的 距離p （x，A）定義為 p （x，A）= inf p （x，y） |y A 根據(jù)下確界的性質以及鄰域的定義易見： p （x, A） 二0當且僅當對于任 意實數(shù)& 0,存在yA使得p （x，y） M時有xi U,則稱點x是序列；：， 的一個極限點(或極限)，也稱為序列 ；:.收斂于X,記作 r r lim ； = x 或；x(i x) 如果序列至少有一個極限，則稱這個序列是一個收斂序列. 拓撲空間中序列的

43、收斂性質與以前我們在數(shù)學分析中熟悉的有很大的差 別.例如，容易驗證平庸空間中任何一個序列都收斂，并且收斂于這個空間中 的任何一個點.這時極限的惟一性當然無法保證了. 定義2.7.3 設X是一個拓撲空間，S, X是X中的兩個序列.女口 果存在一個嚴格遞增的映射 N:； (即對于任意；，如果I ：;j， 則有N (l)v N (旳)， 使得1 = SoN則稱序列$是序列S的一個子序列. 假如我們將此定義中的序列 S記作；那么序列丨自然可以記作 :-，也就是說，序列第i個點恰是序列第N(i )個點. 我們已經(jīng)看到，我們以前熟悉的序列的性質有許多對于拓撲空間中的序列 是不適合的.但總有一些性質還保留著

44、，其中最主要的可見于以下三個定理中. 定理2.7.1 設；：是拓撲空間X中的一個序列.則 37 (1) 如果二.是一個常值序列，即對于某一個x X,有I =x,i ， 貝U lim : =x； (2) 如果序列收斂于x X,則序列：二的每一個子序列也 收斂于x. 證明(略). 定理2.7.2 設X是一個拓撲空間，A _X,x X.如果有一個序列 J :- 在A-x中(此意即，對于每一個i 有I A-x)，并且收斂于x，則x 是集合A的一個凝聚點. 證明設序列 二,在A-x中并且收斂于x.如果U是x的一個鄰域，則 存在 M 使得 J/ .L-J _U，因此 J/ .L-J - UP (A-x)，

45、從而 UP (A - x)工-.這證明x是A的一個凝聚點. 例2.7.1 定理 設X是一個不可數(shù)集，考慮它的拓撲為可數(shù)補拓撲，這時 X的一個子集是 閉集當且僅當或者它是X本身或者它是一個可數(shù)集.我們先指出可數(shù)補空間 X 的兩個特征： (1) X中的一個序列 收斂于xX的充分必要條件是存在 M 使 得當i M時，I =x. 條件的充分性是顯然的.以下證明必要性.設lim =x由于集合 -一一二二是一個可數(shù)集，因此D的補集：是x的一個鄰域，從而 存在M .使得當i M時有廠匚，此時必有.:=x. (2)如果A是X的一個不可數(shù)子集，則集合 A的導集d (A)= X. 這是因為X中任何一個點的任何一個

46、鄰域中都包含著某一個非空開集， 而 拓撲空間X中的每一個非空開集都是一個可數(shù)集的補集， 所以任何一個點的任 何一個鄰域都是某一個可數(shù)集的補集.由于 A是一個不可數(shù)集，它將與任何一 個點的任何一個鄰域有非空的交，因此 X中任何一個點都是集合A的凝聚點， 即 d (A)= X. 現(xiàn)在我們來指出， 在這個拓撲空間X中， 定理：， 它是一個不可數(shù)集.根 據(jù)(2)，我們有 d (A),也就是說，是A的一個凝聚點；然而根據(jù) (1)，在A (=X-)中不可能有序列收斂于 這個例子表明，在一般的拓撲空間中不能像在數(shù)學分析中那樣通過序列收 斂的性質來刻畫凝聚點. 定理2.7.3 設X和Y是兩個拓撲空間，f:X

47、f Y.貝U (1) 如果f在點X處連續(xù)，則X中的一個序列收斂于蘊涵 著Y中的序列- |收斂于f (-)； (2) 如果f連續(xù)，則X中的一個序列 收斂于xX蘊涵著Y中的序 列人收斂于f(x). 證明(1)設f在點處連續(xù)，二是X中的一個收斂于的序列“如 果U是f()的一個鄰域，貝U / (U)是的一個鄰域“這時存在 M使得 當i M時有 m (2)成立是因為連續(xù)即在每一點處連續(xù)(參見定理 2. 3. 5). 例2.7.2 定理 現(xiàn)在設X是實數(shù)集合，并且考慮它的拓撲為可數(shù)補拓撲“考慮從拓撲空間 X到實數(shù)空間R的恒同映射i : X R由于如果拓撲空間 X中的序列收 斂于x X,則有：存在M ： “使

48、得當i M時有二x,因此此時序列J 在實 數(shù)空間R中也收斂于x “這就是說映射i滿足定理 39 ，只要不是R本身，那么(U)=U在拓撲空間X中不能包含任何一個開集(因 為U的補集一不是可數(shù)集)，也就不能作為任何一個點的鄰域. 上述例子表明，在一般的拓撲空間中不能像在數(shù)學分析中那樣通過序列收 斂的性質來刻畫映射的連續(xù)性. 至于在什么樣的條件下，定理，也就是說可以用序列收斂的性質來刻畫凝 聚點和映射的連續(xù)性，我們今后還要進行進一步的研究. 此外，在度量空間中，序列的收斂可以通過度量來加以描述. 定理2.7.4 設(X，p )是一個度量空間，“：是X中的一個序列， x X.則以下條件等價： (1)

49、序列：收斂于x； (2) 對于任意給定的實數(shù)& 0,存在N使得當i N時 川、 P ( L ,X) ； （3） lim p （ ；,x）=O（i 證明（略） 作業(yè)： P. 88 1,3（記住習題3的結論） 本章總結： 1. 本章的研究對象是一個任意的集合，在其上定義了一個開集族結 構（為了能夠運算，所定義的開集必須滿足 P. 48定義2. 2. 1）.這個集合就 成了拓撲空間.（注意它與通常的實數(shù)空間不同） 2. 在拓撲空間中由開集衍生定義出鄰域 ，閉集，閉包，導集，序列等概 念.（要掌握這些概念的等價命題） 3. 為了進一步研究開集的結構，又引進了基與子基的概念.（要掌握基與 開集的關系） 4. 此時拓撲空間的序列有哪些性質？與實數(shù)空間的序列有哪些不同？ 5. 兩個空間的關系用一個映射來聯(lián)系，怎樣的映射是連續(xù)的？有幾種方法 可以判斷映射是連續(xù)的？ 6. 為了向實數(shù)空間看齊，可以在集合中引進度量這個概念.度量空間 有哪些性質？ 按以上這些要點復習一遍.然后記住以下幾個常見的空間的性質 ： 實數(shù)空間,平庸空間，離散空間，有限補空間，可數(shù)補空間； 開集，閉集,鄰域是怎樣的？