高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 第52講 橢圓課件 理

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1、20221212192.5.1xyFFABFABF橢圓的焦點(diǎn)為 、 ，是橢圓過焦點(diǎn) 的弦，則的周長是V222121222420.ABFlABAFBFAFAFBFBFaaaV解析的周長：23kk或22.3.212xykkk若表示橢圓，則 的取值范圍是2212320113023.2223xykkkkkkkk因?yàn)楸硎緳E圓，或解所以，即析：22143xy2221503.xCxyx已知焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于圓 ：的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是222221501422.1.21.43xyxcraaecaxy由，知又，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為解析：544或221184.92.xykk如果

2、橢圓的離心率是 ，那么實(shí)數(shù)的值為 222222222222221809101114.8229801018195.4xakbcabkkecckkaakyabkcabkcckkeaak 當(dāng)焦點(diǎn)在 軸上時(shí)， 所以，所以，且，解得當(dāng)焦點(diǎn)在 軸上時(shí)， 所以，且， 解得解析：522145.xyymmm橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，則5.4mymmm焦點(diǎn)在 軸上，解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 12( 61)(32)1PP已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，求該橢【例】圓的方程2212221(00)( 61)(32)1619,321131.93mxnymnPPmmnmnnxy設(shè)所求的橢圓方程為，

3、因?yàn)闄E圓經(jīng)過兩點(diǎn)，所以解得，故所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為【】解析 已知兩點(diǎn)，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式不確定，可以根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行分類討論，用待定系數(shù)法求出a，b的值，但若設(shè)為mx2ny21，則包含了焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上的兩種情況，是一個(gè)好的選擇，避免討論，簡化解題過程 【變式練習(xí)1】求中心在原點(diǎn)，并與橢圓9x24y236有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)Q(2，3)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 222222222222(05)10515,9411011510yyxabababababyx由題設(shè)知，所求橢圓的焦點(diǎn)在 軸上，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，故設(shè)所求橢圓的方程為，則解得故所求橢圓【的方程為析】解橢圓的幾何性質(zhì)橢圓

4、的幾何性質(zhì) 224,022,212591524xyABMMAMBMBMA已知，是橢圓 內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，是橢圓上的動點(diǎn)求：的最大【例 】值和最小值；的最小值 222211259534.4,0(4,0)21010|( 42)(02)2 10,2 102 10,2 10102 10,102 10,102 10 xyabcAFMAMFaMAMBMFMBMBMFBFMBMFMAMBMAMB 如圖，由 ，知 ， ，所以 所以點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)為又因?yàn)?，所以 ，因?yàn)樗怨?0即的最大值為 最小值為解【析】 252,4|4,|555.4425172,445(5 2)3xMMNMAeMNMAMNMBMAMB

5、MNBMNMBNMBMNBNM由題意橢圓的右準(zhǔn)線為 設(shè)到右準(zhǔn)線的距離為，由橢圓的第二定義知 所以，所以由圖易知當(dāng) 、 共線且在點(diǎn) 、 之間時(shí)，最小為 此時(shí)坐標(biāo)為， 當(dāng)圓錐曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離建立聯(lián)系時(shí)，?？紤]第一定義；當(dāng)圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線的距離建立聯(lián)系時(shí)，常考慮第二定義，并注意利用平面幾何、三角知識來解題問題(1)是用橢圓第一定義中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使問題化歸為幾何中求最大(小)值的基本模式，主要是利用三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等結(jié)論；問題(2)利用第二定義實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化，利用了三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小 221212194()21223xyFFP xyPF

6、PFxy已知 、是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)， 為橢圓上一點(diǎn)求的最大值；求 的最大值【變式練習(xí) 】和最小值 12212121212136|()9239.aPFPFPFPFPFPFPFPFPFPF因?yàn)?，故由橢圓的定義知 ，所以【解析，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立所以的最大值為】 minmax3cos22sin236cos6sin6 2sin()4sin()1(23 )6 2;4sin() 1(23 )6 24xyxyxyxy易知橢圓的參數(shù)方程為，則 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 說明：此題還有其他解法，上面方法較簡捷利用橢圓的參數(shù)方程，直接將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的最值求解 橢圓的綜合應(yīng)用橢圓的綜合應(yīng)用 2

7、22212122121(0)2 .an .3txyEababFFPEFPFPFFSb【例 】如圖，設(shè)橢圓 ： 的焦點(diǎn)為 與 ，且，求證：的面積 11221 212222111 222121 21 21 22221 221 2221sin2 .2222cos2()22cos222(1cos2 )2(1cos2 )44421212sin22 1222PFr PFrSrrFFccrrrrrrrrrrarrrracbbrrcosbScossin cosb設(shè) ， ，則 又 ，由余弦定理有 ，于是所【以這樣即有 證明】22tanbcos 用定義去解決圓錐曲線問題比較方便如本例，設(shè)|PF1|r1，|PF2|

8、r2，則S1/2r1r2sin2.若能消去r1r2，再借助余弦定理即可解決問題 2213621230.xyABFPxPAPFPMABMAPMBMd已知點(diǎn) 、 分別是橢圓 長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn) 是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn) 是橢圓上的點(diǎn)，位于 軸的上方，且求點(diǎn) 的坐標(biāo)；設(shè)為橢圓長軸上的一點(diǎn)，到直線的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距【變離 的式練習(xí) 】最小值 22221(6,0)4,0()(6)(4)13620(6)(4)03291806.23503,223 5( ,3)2 2AFPxyAPxyFPxyxyxxyxxxxyxyP由已知可得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ，則 ， ， ， 由已知得，則 ，解得 或 由于

9、 ，故 ，于是 所以點(diǎn)【析】的坐標(biāo)是解uuu ruur 2222222360.,0|6|2|6|6|662.2()549(2)4420()15.992966152APxyMmmMAPmmmmxyMddxyxxxxxxd直線的方程為 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離是由于，又，故解得 故橢圓上的點(diǎn) ， 到點(diǎn)的距離 滿足 因?yàn)椋援?dāng) 時(shí)， 取得最小值22221.1xyyaaa若方程 表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，則 的取值范圍是_(1,0) 222221010.xyaaaaa方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得依題意得，解得【解析】22.321GxGGG已知橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在 軸上，離心率為，且 上一點(diǎn)到 的

10、兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，則橢圓 的方程為_22= 13 69xy22223212623 33=1369eaacbacxy題意 ， ，得 ，則 ， ，則所求橢圓方程為【解析】2 552222220103.xyxyabab直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率等于 2202,00,11252 55xxyxybcacea由題意知橢圓的焦點(diǎn)在 軸上，又直線與 軸、 軸的交點(diǎn)分別為、，它們分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，所以，從而，解析：22121=195).14(6xyCCC已知橢圓與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，橢圓過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程22222221222111122112211222211221122

11、112211=19595224.=1(61)4(6)1=11()4448=184xyCabcacCCCcabxyCCbbbbbbabxyCC在橢圓：中， ， ，所以 又因?yàn)橐阎獧E圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)，所以在橢圓 中， ，設(shè)橢圓 ：，又橢圓過點(diǎn) ，所以，解得 舍去 或 ，則所以橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方析：【解】程為 22221212=10(1)23 245.xyababFFBPQFPF QBx設(shè)橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 、 ，短軸的上端點(diǎn)為 ，短軸上的兩個(gè)三等分點(diǎn)為 、 ，且四邊形為正方形求橢圓的離心率；若過點(diǎn) 作此正方形的外接圓的切線在 軸上的一個(gè)截距為，求此橢圓的方程 1122222221(0)3(

12、,0)331910101010bPFcFPF Qbcbccbcacae由題意知， 設(shè)因?yàn)樗倪呅巍窘鉃檎叫危?，即 ，所以 ，即 ，所以，所以離心率 析】 2220,32 22 23 .3 21.4=1.109Bcyxcxcxy因?yàn)?，故由幾何關(guān)系可求得一條切線的斜率為，所以切線方程為 因?yàn)榍芯€在 軸上的截距為，所以 故所求橢圓的方程為 1橢圓的兩個(gè)定義的靈活運(yùn)用：橢圓的兩個(gè)定義都是用橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來刻畫的第二定義將到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離(平行于坐標(biāo)軸的線)建立了等量關(guān)系由此可對一些距離進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化因此，在解題中凡涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，應(yīng)先想到利用定義進(jìn)行求解，會有事半功倍之效222 2(0)abceabcacbea橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，在解題時(shí)要防止遺漏，要深刻理解橢圓中的幾何量 ， ， ， 等之間的關(guān)系 如 ， ， 及每一個(gè)量的本質(zhì)含義，并能熟練地應(yīng)用于解題 3求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系數(shù)法)如若不能確定焦點(diǎn)的位置，則兩種情況都要考慮，這一點(diǎn)一定要注意，不要遺漏，此時(shí)設(shè)所求的橢圓方程為一般形式：Ax2By21(A0，B0且AB)；若 AB，則焦點(diǎn)在y軸上