《【教學(xué)設(shè)計(jì)】《基本不等式及其應(yīng)用》(上教版)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【教學(xué)設(shè)計(jì)】《基本不等式及其應(yīng)用》(上教版)(5頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、《基本不等式及其應(yīng)用》
教學(xué)目標(biāo)
【知識(shí)與能力目標(biāo)】
1、掌握兩個(gè)基本不等式:(、)、(、為任意正數(shù)),并能用于解決一些簡(jiǎn)單問題.
2、理解兩個(gè)基本不等式相應(yīng)的幾何解釋.初步理解代換的數(shù)學(xué)方法.
3、在公式的探求過程中,領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,進(jìn)一步體會(huì)事物之間互相聯(lián)系及一定條件下互相 轉(zhuǎn)化等辨證唯物主義觀點(diǎn).
【過程與方法目標(biāo)】
1 '掌握兩個(gè)基本不等式:(、)、(、為任意正數(shù)),并能用于解決一些簡(jiǎn)單問題.
2、理解兩個(gè)基本不等式相應(yīng)的幾何解釋.初步理解代換的數(shù)學(xué)方法.
【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】
在公式的探求過程中,領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,進(jìn)一步體會(huì)事物之間互相聯(lián)系及一定條
2、件下互相轉(zhuǎn) 化等辨證唯物主義觀點(diǎn).
教學(xué)重難點(diǎn)
【教學(xué)重點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)基本不等式的知識(shí)發(fā)生過程和證明;基本不等式的應(yīng)用.
【教學(xué)難點(diǎn)】基本不等式的應(yīng)用
教學(xué)過程
新課引入
基本不等式J及其證明
基本不等式1的圖形解釋
匚二?圖形引入基本不等式2 I二,
基本不等式2的證明
=基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用(探索)
二課堂小結(jié)
作業(yè)布置(含課外思考)
一、新課引入
在客觀世界中,有些量的大小關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的
例如,、()、三角形任意兩邊之和大于第三邊、三角形任意兩邊之差小于第三邊等等
二、新課講授
1 '基本不等式1
基本不等式1對(duì)于任意實(shí)數(shù)和,有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
3、
(1 ) 基本不等式1的證明
證明:因?yàn)椋?
當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),?
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的等號(hào)成立?
(2) 基本不等式1的幾何解釋
①解釋1
邊長(zhǎng)為的正方形面積與邊長(zhǎng)為的正方形面積之和大于等于以 、為鄰邊長(zhǎng)的矩形面積的2
倍(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)?
已知正方形,分別在邊、邊上取點(diǎn)、 ,使得?分別過點(diǎn)、作、,垂足為、?和交于點(diǎn)?
由幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)計(jì)算演示,得到陰影部分的面積 剩余部分的面積,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)移
至中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立?
②解釋2
某屆數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽怎樣的?
三國時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為:
如圖所示,以、、分別表示勾、股、弦
4、,那么,表示“弦圖”中兩塊“朱實(shí)”的面積,表示“中黃 實(shí)”的面積.于是,從圖中可明顯看出,四塊“朱實(shí)”的面積加上一個(gè)“中黃實(shí)”的面積就等于以為邊長(zhǎng)的 正方形“弦實(shí)”的面積,即
這就是勾股定理的一般表達(dá)式. .
由圖可知:以為邊長(zhǎng)的正方形“弦實(shí)”的面積四塊“朱實(shí)”的面積即,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)
2、基本不等式2
觀察下面這個(gè)幾何圖形.已知半圓,是半圓上任一點(diǎn),是直徑.
過作,垂足為.顯然有線段的長(zhǎng)度大于等于垂線段的長(zhǎng)度.設(shè),,請(qǐng)用、來表示上述這個(gè)不等關(guān)系.(即,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.)基本不等式2對(duì)于任意正數(shù)、,有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
我們把和分別叫做正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平
5、均數(shù).因此基本不等式2也可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算 術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
(1 )基本不等式2的證明證明:因?yàn)椋?
當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的等號(hào)成立.另證:因?yàn)?、為正?shù),所以、均存在.
由基本不等式1,得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
2)基本不等式2的擴(kuò)充
對(duì)于任意非負(fù)數(shù)、,有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立例1已知,求證:,并指出等號(hào)成立的條件.證 明:因?yàn)?,所以、同?hào),并有,.
所以,.當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.
[說明]
1、體會(huì)代換的方法.
2、用語言表述上述結(jié)論.
3、思考:若,則代數(shù)式的取值范圍是什么?(,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 .)
6、3、兩個(gè)基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用
(1 )幾何問題 例2在周長(zhǎng)保持不變的條件下,何時(shí)矩形的面積最大?猜想:由幾何畫板電腦演示得出.
解:設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為、(、)且(定值),則同樣周長(zhǎng)的正方形的邊長(zhǎng)為.矩形面積,正方形面積 由基本不等式2,得,又由不等式的性質(zhì)得,即.由題意,(定值),所以(定值).當(dāng)且僅當(dāng),即矩
形為正方形時(shí),矩形的面積最大.
[說明]當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí),它們的積有最大值.例如,若時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.(事實(shí)
上,由(),得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.)思考題
(1 )通過查閱資料,了解這兩個(gè)基本不等式其它的幾何解釋
(2)在面積保持不變的條件下,正方形的周長(zhǎng)
7、與矩形的周長(zhǎng)之間有什么大小關(guān)系?
(3)整理一些基本不等式的常用變式并給出證明
教學(xué)反思
本堂課是《基本不等式及其應(yīng)用》的第一節(jié)課,在學(xué)生熟練掌握不等式性質(zhì)的前提下,介紹了兩個(gè)基本 不等式及其初步應(yīng)用.盡管對(duì)于基本不等式而言證明不困難,但它卻是今后學(xué)習(xí)諸如不等式證明、求函數(shù) 最值等時(shí)的有力工具,因此牢固掌握這兩個(gè)基本不等式是十分重要的.
為了避免單純地講授基本不等式.,本堂課借助計(jì)算機(jī)軟件,采用以幾何圖形輔助代數(shù)知識(shí)講授,由數(shù) 到形,再由形到數(shù)的設(shè)計(jì)思路,將兩個(gè)基本不等式的證明、解釋及其在應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)穿插其中,并通過 幾何解釋加強(qiáng)對(duì)基本不等式的感性認(rèn)識(shí),從而達(dá)到較好的教學(xué)效果.整堂課
8、主要采用“觀察一一猜測(cè)一 -歸納一一證明”的探索流程,讓學(xué)生通過觀察兩式的大小關(guān)系、幾何圖形中線段的長(zhǎng)度來猜測(cè)相應(yīng)的 結(jié)論,最后再由討論、歸納得出兩個(gè)基本不等式.
在教學(xué)過程中始終“關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展” .例如,將教科書上例1的證明題改成了一道探索題,通 過對(duì)有關(guān)過程的設(shè)計(jì),進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生自行探索、解決問題的能力.此外,為了培養(yǎng)學(xué)生“觀察一一猜測(cè)” 的能力,借用了幾何畫板的有關(guān)功能,幫助學(xué)生進(jìn)行有關(guān)的猜想與驗(yàn)證,使學(xué)生始終處于自我發(fā)現(xiàn)、自我探 索的過程中.
通過整堂課的教學(xué),不僅要求學(xué)生對(duì)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握,此外還對(duì)應(yīng)初步理解代換的數(shù)學(xué)方法有一定
要求,并在公式的探求過程中,繼續(xù)領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.