高一數(shù)學(xué)《第一講 函數(shù)》課件

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1、 第一講第一講 函數(shù)函數(shù)函數(shù)的高考要求函數(shù)的高考要求：2 2掌握函數(shù)關(guān)系的建立，在此基礎(chǔ)上理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握互為反函掌握函數(shù)關(guān)系的建立，在此基礎(chǔ)上理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握互為反函 數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系3 3理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)的最大值、最小值的概念，理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)的最大值、最小值的概念， 并能判定簡(jiǎn)單函數(shù)的這些性質(zhì)，能利用函數(shù)的奇偶性、周期性與圖象的對(duì)稱性并能判定簡(jiǎn)單函數(shù)的這些性質(zhì)，能利用函數(shù)的奇偶性、周期性與圖象的對(duì)稱性 的關(guān)系描繪函數(shù)的圖象的關(guān)系描繪函數(shù)的圖象4 4掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象

2、與性質(zhì)，并會(huì)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，并會(huì)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方 程和對(duì)數(shù)方程程和對(duì)數(shù)方程5 5掌握二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式三者之間的關(guān)系，并能綜合解掌握二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式三者之間的關(guān)系，并能綜合解 決相關(guān)問(wèn)題決相關(guān)問(wèn)題1 1理解和掌握集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集、命題的四種形式與等價(jià)理解和掌握集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集、命題的四種形式與等價(jià) 命題、充要條件等概念，能掌握集合與命題的有關(guān)述語(yǔ)和符號(hào)，以集命題、充要條件等概念，能掌握集合與命題的有關(guān)述語(yǔ)和符號(hào)，以集 合語(yǔ)言和集合思想為工具，能正確的表示函數(shù)的定義域、值域、方程合語(yǔ)言

3、和集合思想為工具，能正確的表示函數(shù)的定義域、值域、方程 與不等式的解集、曲線的軌跡方程及其交點(diǎn)等問(wèn)題與不等式的解集、曲線的軌跡方程及其交點(diǎn)等問(wèn)題 一、函數(shù)的概念及性質(zhì)一、函數(shù)的概念及性質(zhì)例例1已知函數(shù)已知函數(shù)y = f（x） （定義域?yàn)槎x域?yàn)镈，值域?yàn)?，值域?yàn)锳）有反函數(shù)）有反函數(shù)y= f -1-1（x）， 則方程則方程 f（x）=0有解有解x=a，且，且f（x）x（xD）的充要條件是）的充要條件是y= f - -1（x） 滿足滿足 答：函數(shù)答：函數(shù)f - -1（x）的圖象在直線的圖象在直線y= x的下方且過(guò)點(diǎn)（的下方且過(guò)點(diǎn)（0，a） 例例2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）= sin2x，若，若f（x+

4、t）是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，則t的一個(gè)可能值是的一個(gè)可能值是 答：答：t的一個(gè)可能值是，的一個(gè)可能值是，kZ 41k2 分析分析:24或或: f - -1（0）=a 且且f - -1（x） x（ x ）f（x+t）=sin2（x+t）sin2（x+ ） =sin（2x+ ）=cos2x , ，sin2（x+ ） =sin（2x+ ）= - -cos2x ,4323 例例3. 已知函數(shù)已知函數(shù)f（x）= x2- -2ax- -b （xR），給出下列命題：），給出下列命題：f（x）必是偶函數(shù)；必是偶函數(shù)；當(dāng)當(dāng)f（0）=f（2）時(shí)，時(shí)，f（x）的圖象必關(guān)于直線的圖象必關(guān)于直線x=1對(duì)稱；對(duì)稱；若若a2

5、+b0，則，則f（x）在區(qū)間在區(qū)間 a，+ 上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；f（x）有最大值有最大值 a2+b 其中正確命題的序號(hào)是其中正確命題的序號(hào)是 分析：分析： 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，xR，f（x）是非奇非偶函數(shù)是非奇非偶函數(shù) 由由f（0）=f（2）得得 - -b = 4- -4a- -b ，此時(shí)，此時(shí)，a=1或或a=1- - b， 212對(duì)后者，當(dāng)對(duì)后者，當(dāng)b0時(shí)，其圖象不關(guān)于直線時(shí)，其圖象不關(guān)于直線x=1對(duì)稱對(duì)稱 若若a2+b0，則，則 = 4（a2+b）0，f（x）=x2- -2ax- -b =（x- -a）- -a2- -b ， 可知：命題可知：命題是正確是正確 雖然當(dāng)雖然當(dāng)x=a時(shí)，時(shí)，（x

6、- -a）- -a2- -b有最小值有最小值- -a2- -b， 2但不能確定但不能確定f（x） x2- -2ax- -b （xR）有最大值）有最大值 a2+b ， 因此正確命題的序號(hào)應(yīng)為因此正確命題的序號(hào)應(yīng)為 例例4已知函數(shù)已知函數(shù)y=f（x）是定義在是定義在R上的周期函數(shù)，周期上的周期函數(shù)，周期T=5 ，函數(shù)，函數(shù) y = f（x） （- -1x1）是奇函數(shù)又知）是奇函數(shù)又知y=f（x）在在0，1上是一次函數(shù)，在上是一次函數(shù)，在1，4上上 是二次函數(shù)，且在是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值時(shí)函數(shù)取得最小值- -5 （）證明：）證明：f（1）+ f（4）= 0； （）試求）試求y=f（x

7、）分別在分別在1，4、4，9上的解析式上的解析式分析（分析（）函數(shù)函數(shù)y=f（x）是以是以5為周期的周期函數(shù)，且在為周期的周期函數(shù)，且在x- -1，1上是奇函數(shù)，上是奇函數(shù)， f（4）= 從而從而 f（1）+ f（4）= 0 （）當(dāng)）當(dāng)x1，4時(shí)，由題意可設(shè)：時(shí)，由題意可設(shè)：f（x）= a（x- -2）- -5 （a0），），由由f（1）+ f（4）= 0得得 f（x）= 2（x- -2）- -5 （1x4） f（x）在在x- -1，1上是奇函數(shù)，上是奇函數(shù)，222a（1- -2）- -5+ a（4- -2）- -5 = 0，解得解得a=2 ，2f（4- -5）= f（- -1）= - - f

8、（1）， 當(dāng)當(dāng)x - -1，0)時(shí)，時(shí)， 又又f（1）= k1= k， k= - -3， f（0）= - - f（0），f（0）= 0又又y=f（x）在在x0，1上是一次函數(shù)上是一次函數(shù)， 可設(shè)可設(shè)f（x）= kx，x0，1， f（1）=2（1- -2） - -5= - -3， 當(dāng)當(dāng)x0，1時(shí)，時(shí)，f（x）= - -3x 2 當(dāng)當(dāng)x4，6時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)x- -1，1時(shí)，時(shí)，f（x）= - -3x 當(dāng)當(dāng)x（6，9時(shí)，時(shí)，x- -5(1，4 ， x- -5- -1，1， f（x）= f（x- -5）= - -3（x- -5）= - -3x+15f（x）= f（x- -5）= 2（x- -5）- -

9、2 - - 5 = 2（x- -7） - - 5 22 f（x）= - -3x+15 , x4，62( (x- -7）- - 5 , x（6，920- -x1，f（x）= - - f（- -x）= - -3x，例例4已知函數(shù)已知函數(shù)y=f（x）是定義在是定義在R上的周期函數(shù)，周期上的周期函數(shù)，周期T=5 ，函數(shù)，函數(shù) y = f（x） （- -1x1）是奇函數(shù)又知）是奇函數(shù)又知y=f（x）在在0，1上是一次函數(shù)，在上是一次函數(shù)，在1，4上上 是二次函數(shù)，且在是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值時(shí)函數(shù)取得最小值- -5 （）證明：）證明：f（1）+ f（4）= 0； （）試求）試求y=f（x）

10、分別在分別在1，4、4，9上的解析式上的解析式回顧回顧:1,40,1-1,0)-1,14,61,46,94,9（）f（1） = - - f（- -1）= - - f（- -1+5）= - -f（4）f（1）+ f（4）= 0（）例例5已知集合已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零的全體：存在非零常數(shù)常數(shù)T，對(duì)任意，對(duì)任意xR，有，有f（x+T）=T f（x）成立成立（1）函數(shù)）函數(shù)f（x）= x是否屬于集合是否屬于集合M？說(shuō)明理由；？說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)）設(shè)函數(shù)f（x）=ax（a0且且a1）的圖象與）的圖象與y= x的圖象有公共點(diǎn)的圖象有公共點(diǎn)證明：證明：

11、f（x）= ax M；（3）若函數(shù)）若函數(shù) f（x）=sinKxM，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)K的取值范圍的取值范圍分析：分析：（）（）任取非零實(shí)數(shù)任取非零實(shí)數(shù)TR， 當(dāng)當(dāng)x = - - T時(shí)，時(shí)，f（x+T）= f（ - - T +T）= f（0）=0， Tf（x）= Tf（ - - T ）= T（- -T）= - - T2， 而而T0， Tf（x）0，從而從而f（x+T）Tf（x）不存在非零常數(shù)不存在非零常數(shù)T，對(duì)任意，對(duì)任意xR，有，有f（x+T）=T f（x）成立成立f（x）= x M（2） 由題意可知：公共點(diǎn)在第一象限由題意可知：公共點(diǎn)在第一象限 設(shè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為設(shè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為T(mén)（T0），

12、）， 于是（于是（T， aT）與（）與（T，T）重合，）重合，aT=T， 任取任取xR，f（x+T）= ax+T = ax aT= axT= Tf（x）， f（x）= axM （3） 當(dāng)當(dāng)K=0時(shí)，時(shí)，f（x）=0，顯然，顯然f（x）=0M當(dāng)當(dāng)K0時(shí)，時(shí)， f（x）=sinKxM， 存在非零常數(shù)存在非零常數(shù)T，對(duì)任意，對(duì)任意xR，有，有f（x+T）= Tf（x）成立成立 即即 sin（Kx+KT）=T sinKx恒成立恒成立 K0且且xR， KxR，Kx+KTR， sin（Kx+KT）- -1，1， 而而TsinKx- - T ， T ， sin（Kx+KT）=T sinKx恒成立，恒成立，

13、- -1，1= - - T ， T ， T =1，T=1 當(dāng)當(dāng)T=1時(shí)，時(shí)，sin（Kx+K）= sinKx恒成立，恒成立， K=2m （mZ） 當(dāng)當(dāng)T= - -1時(shí)，時(shí)，sin（Kx+K）= - -sinKx恒成立，恒成立， K =（2m- -1） ，（，（mZ）綜上所述，綜上所述，K的取值范圍是的取值范圍是K K= m ，mZ二、函數(shù)的思想方法及應(yīng)用二、函數(shù)的思想方法及應(yīng)用 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)思想和普遍使用的方法提煉數(shù)學(xué)思想方法，把握數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)思想和普遍使用的方法提煉數(shù)學(xué)思想方法

14、，把握數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，是學(xué)會(huì)學(xué)科特點(diǎn)，是學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的”提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題、把數(shù)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題、把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與培養(yǎng)能力和發(fā)展智力結(jié)合起來(lái)的關(guān)鍵近幾年的數(shù)學(xué)高考試學(xué)學(xué)習(xí)與培養(yǎng)能力和發(fā)展智力結(jié)合起來(lái)的關(guān)鍵近幾年的數(shù)學(xué)高考試卷十分重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，并貫穿于整個(gè)試卷之中卷十分重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，并貫穿于整個(gè)試卷之中 例例1設(shè)奇函數(shù)設(shè)奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)槎x域?yàn)? -5，5 ，若當(dāng)，若當(dāng)x0，5 時(shí)，時(shí)， f（x）的圖象如下圖所示，的圖象如下圖所示，則不等式則不等式f（x）0的解集是的解集是 分析：分析：由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，作出由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

15、作出f（x）在定義域內(nèi)的圖象，在定義域內(nèi)的圖象， 再由再由f（x）0找出使找出使f（x）的圖象在的圖象在x軸下方的區(qū)域，從而得到軸下方的區(qū)域，從而得到 不等式不等式f（x）0的解集為（的解集為（- -2，0） 2，5 例例2. 若函數(shù)若函數(shù)f（x）= a x b + 2在在 0，+）上為）上為 增函數(shù)，則實(shí)數(shù)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a、b的取值范圍是的取值范圍是 ； a0且且b0 考慮考慮y = x 當(dāng)當(dāng)b0時(shí)時(shí), ,向右平移向右平移b個(gè)單位個(gè)單位 當(dāng)當(dāng)b0時(shí)時(shí), 向左平移向左平移 b 個(gè)單位個(gè)單位分析分析: :y = x- - b y = a x- b y = a x b + 2例例3一棱錐被平行于底

16、面的平面截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，一棱錐被平行于底面的平面截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，若小棱錐及棱臺(tái)的體積分別是若小棱錐及棱臺(tái)的體積分別是y和和x，則，則y和和x的函數(shù)圖象大致形狀為（的函數(shù)圖象大致形狀為（ ） 分析：分析：y + x = V（定值），（定值），y = V- - x對(duì)應(yīng)的函數(shù)簡(jiǎn)圖應(yīng)是（對(duì)應(yīng)的函數(shù)簡(jiǎn)圖應(yīng)是（B） 例例4等腰等腰 ABC中中C=90，AB=4，P、Q分別在線段分別在線段AB、AC上，且上，且PQ平分平分 ABC的面積，設(shè)的面積，設(shè)AP=x，PQ=y，求，求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)，并求其最值的函數(shù)，并求其最值A(chǔ)CBQP分析：分析： S APQ = S ABC ， x AQ

17、sin45= （ ），212124221 AQ =， x24 y2=x2+ AQ 2 - -2x AQ cos45= x2 +- -8， 232x y= （2x4）82322xx x2 + 232x2 = 8 ， 322當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x= 2 2，4時(shí)，等號(hào)成立，時(shí)，等號(hào)成立， 42當(dāng)當(dāng)x= 2 時(shí)時(shí) 42ymin= ， 828令令t = x2，2當(dāng)當(dāng)t4，4 時(shí)時(shí) t + - -8是減函數(shù)，是減函數(shù)，t + - -84+8- -8=4； t32t32 當(dāng)當(dāng)t4 ，16時(shí)，時(shí)，t + - -8是增函數(shù)，是增函數(shù)， 2t32t32t + - -816+2- -8=10； y ，10當(dāng)當(dāng)t=16

18、，即，即x=4時(shí)，時(shí)，y max = 1021ACBQPxy則則832ttyt4，16， y2解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟是：解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟是：（2）將涉及到的其他變量用自變量的解析式表示；）將涉及到的其他變量用自變量的解析式表示；（3）建立目標(biāo)函數(shù)，確定函數(shù)的定義域；）建立目標(biāo)函數(shù)，確定函數(shù)的定義域；（4）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)解析式的特征用相應(yīng)的方法求解）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)解析式的特征用相應(yīng)的方法求解 （1）設(shè)計(jì)自變量；）設(shè)計(jì)自變量；例例5已知不等式已知不等式 （1- - x2） （p x2 - - x + 1）+ 1 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)p（0，3） 恒成立，求恒成立，求x的取值范圍的取值范圍31lo

19、g31log分析分析:原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于:1- -x20px2- -x+103( 1- -x2) px2- -x+1即即px2- -x+10(p+3)x2- -x- -20p（0，3）令令 f（p）= x2 p + （1 x） ， g（p）= x2 p +（3x2 - - x - -2）， 則原不等式等價(jià)于：則原不等式等價(jià)于： ，對(duì)，對(duì)p（0，3）恒成立，）恒成立， f（p）0g（p）0現(xiàn)將現(xiàn)將f（p）及及g（p）看成關(guān)于看成關(guān)于p的一次函數(shù)，的一次函數(shù)， 則當(dāng)則當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)p（0，3）顯然成立；）顯然成立； 當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)，只須時(shí)，只須 f（0）0g（3）0即

20、即1- -x06x2- -x- -2 0 ,解得：解得：- - x0或或0 x 213221綜上所述，綜上所述，x的取值范圍是的取值范圍是- - ， 32例例6 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y= f1（x）的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn) 且過(guò)點(diǎn)（且過(guò)點(diǎn)（1，1）,反比例函數(shù)反比例函數(shù)y = f2（x）的圖象與的圖象與 直線直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，f（x）=f1（x）+f2（x） 1）求函數(shù)）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；的表達(dá)式； 2）證明：當(dāng)）證明：當(dāng)a3 時(shí)，關(guān)于時(shí)，關(guān)于 x 的方程的方程f（x）= f（a）有三個(gè)實(shí)數(shù)解有三個(gè)實(shí)數(shù)解分析分析:1）由已知，設(shè)由已知，

21、設(shè) f1（x）=ax2， 再由再由 f1（1）=1，得，得 a=1， f1（x）= x2 再設(shè)再設(shè)f2（x） = （k0），）， xkkk它的圖象與直線它的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)分別為的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（ ， ），），B（- - ，- - ），）， kk由由 AB =8，得，得k=8， f2（x）= ，故，故 f（x）= x2 + x8x82）由由f（x）= f（a）得得 x2 + = a2 + x8a8即即 = - - x2 + a2 + a8x8在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2（x）= 和和f3（x）= - - x2 + a2 + 的大致圖象，的大致圖象，x8a8當(dāng)當(dāng)a3時(shí)，時(shí)

22、，f3（2）- - f2（2）= a2 + - -80， a8或這樣或這樣: 由由f（x）= f（a）得得 x2 + = a2 + ， x8a8ax8即即 （x- -a）（x + a - - ）= 0 ， 得方程的一個(gè)解為得方程的一個(gè)解為x1= a 方程方程x +a - - = 0化為化為ax2+a2x- -8=0 ， ax8 由由a3得得 =a4+32a0，且，且x2= aaaa23242, x3= aaaa23242 顯然顯然 x20，x30 x2x3 且且x2x1 若若 x1 =x3 ，即，即 a = aaaa23242, 則則,解得解得a=0或或a= 314這與這與a3矛盾，矛盾，x1

23、 x3，故原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，故原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解 例例7已知函數(shù)已知函數(shù)f（x）= 2x+a的反函數(shù)是的反函數(shù)是y= f - -1（x），設(shè)，設(shè)P（x +a，y1），）， Q（x，y2），），R（2+a，y3）是）是y= f - -1（x）圖象上不同的點(diǎn)圖象上不同的點(diǎn)（1）如果存在正實(shí)數(shù)）如果存在正實(shí)數(shù)x，使得，使得y1，y2，y3成等差數(shù)列，試用成等差數(shù)列，試用x表示實(shí)數(shù)表示實(shí)數(shù)a；（2）在（）在（1）的條件下，如果實(shí)數(shù)）的條件下，如果實(shí)數(shù)x是唯一的，試求實(shí)數(shù)是唯一的，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍分析分析:(1)由由f（x）= 2x+a，易得，易得，f - -1（x）=log2（x -

24、- a）（xa） P、Q、R是是y= f - -1（x）圖象上不同的三點(diǎn)，圖象上不同的三點(diǎn)， y1= log2x ，y2= log2（x - - a），），y3=1，且，且a0（即（即x 2） 又又y1，y2，y3成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即2y2=y1+y3， 2 log2（x - -a）=log2x + 1 ， 即即log2= log2（x - -a）；x - - a= ，x0 x2x2x2a = x - -（x0且且x2）（）（）令令y1= a，y2= x - -= t2 - -t，x221其中其中t = （t0且且t2） x22121 y2 = t 2 t = （t -1-1）2 -

25、- （t0且且t2） 21在同一直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象在同一直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,便知：便知：當(dāng)當(dāng)a 0或或a = - - 時(shí)，兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，時(shí)，兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)， 2121即在即在（1）的條件下，實(shí)數(shù)的條件下，實(shí)數(shù)x的值唯一的值唯一 因此，實(shí)數(shù)因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是a a 0或或a = - - 例例8. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，若存在，若存在x0D，使，使f（x0）= x0成立成立 ，則稱，則稱以（以（x0，y0）（這里）（這里y0= f（x0）為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)）為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)f（x）的圖象上的的圖象上的“穩(wěn)定穩(wěn)定點(diǎn)點(diǎn)”（）若函數(shù)）若

26、函數(shù) f（x） = 的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”， 試求實(shí)數(shù)試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；的取值范圍；（）已知定義在實(shí)數(shù)集）已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f（x）存在有限個(gè)存在有限個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”， 求證：求證：f（x）必有奇數(shù)個(gè)必有奇數(shù)個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”axx13axx13axx1113 設(shè)設(shè)P（x1，x1），），Q（x2， x2）（）（x1x2）是函數(shù)）是函數(shù)f（x）= 的圖象上兩個(gè)的的圖象上兩個(gè)的“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”， 分析分析:則有則有 = x1及及 = x2， axx2213即即 x12+ax1=3x1- -1（x1 - -a）及）及 x22+a

27、x2=3x2- -1（x2 - -a），）， （）亦即亦即 x12+（a- -3）x1+1=0（x1 - -a）及）及x22+（a- -3）x2+1=0（x2 - -a） x1， x2是方程是方程x2 +（a- -3）x+1=0的兩根，的兩根， x1 - -a，x2 - -a 方程方程x2 +（a- -3）x+1=0有兩個(gè)相異實(shí)根且不等于有兩個(gè)相異實(shí)根且不等于- -a ， =（a- -3） - -410且且（- -a）+（a- -3）（）（- -a）+10， 2231解得解得: a的取值范圍為（的取值范圍為（- -，- - ）（- - ，1）（5，+）31（） f（x）是是R上的奇函數(shù)上的奇函

28、數(shù) ， f（- -0）= - - f（0），即，即f（0）=0 ， 故故,原點(diǎn)（原點(diǎn)（0，0）是函數(shù)）是函數(shù)f（x）的的“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)” 若若f（x）還有還有“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”（x0 ，x0），這里），這里 x00則由則由f（x）為奇函數(shù)可知：為奇函數(shù)可知：f（- -x0）= - - f（x0）= - - x0 ， 這說(shuō)明（這說(shuō)明（- -x0 ，- -x0）也是）也是f（x）的的“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”， 由題意知，它為有限個(gè)由題意知，它為有限個(gè) 因此，因此，f（x）的圖象上的的圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”除了原點(diǎn)除了原點(diǎn)外外且原點(diǎn)也為其且原點(diǎn)也為其“穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)”，故，它的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，故，它的個(gè)數(shù)是奇數(shù)是

29、有限個(gè)成對(duì)出現(xiàn)的，是有限個(gè)成對(duì)出現(xiàn)的， 注注: : 學(xué)習(xí)能力學(xué)習(xí)能力（即學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的能力）（即學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的能力） 它是通過(guò)閱讀，理解以前沒(méi)有學(xué)過(guò)的新的數(shù)學(xué)知識(shí)（包括它是通過(guò)閱讀，理解以前沒(méi)有學(xué)過(guò)的新的數(shù)學(xué)知識(shí)（包括新的概念、定理、公式、法則和方法等），并能運(yùn)用它們作新的概念、定理、公式、法則和方法等），并能運(yùn)用它們作進(jìn)一步的運(yùn)算推理，解決有關(guān)問(wèn)題的能力進(jìn)一步的運(yùn)算推理，解決有關(guān)問(wèn)題的能力.學(xué)習(xí)能力型問(wèn)題常見(jiàn)的有以下幾種情況：學(xué)習(xí)能力型問(wèn)題常見(jiàn)的有以下幾種情況：（1）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念；）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念；（2）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)定理、公式和法則；）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)定理、公式和法則；（3）學(xué)習(xí)新

30、的數(shù)學(xué)方法）學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)方法.例例9. 甲、乙兩大型公司生產(chǎn)同一種商品，但由于設(shè)備陳舊，需要更甲、乙兩大型公司生產(chǎn)同一種商品，但由于設(shè)備陳舊，需要更新經(jīng)測(cè)算，對(duì)于函數(shù)新經(jīng)測(cè)算，對(duì)于函數(shù)f（x）、g（x）及任意的及任意的x0，當(dāng)甲公司投入，當(dāng)甲公司投入x百萬(wàn)元百萬(wàn)元改造設(shè)備時(shí)，若乙公司投入改造設(shè)備費(fèi)用小于改造設(shè)備時(shí)，若乙公司投入改造設(shè)備費(fèi)用小于f（x）百萬(wàn)元，則乙公司有百萬(wàn)元，則乙公司有倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，否則無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)乙公司投入倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，否則無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)乙公司投入x百萬(wàn)元改造設(shè)備時(shí)，若甲百萬(wàn)元改造設(shè)備時(shí)，若甲公司投入改造設(shè)備費(fèi)用小于公司投入改造設(shè)備費(fèi)用小于g（x）百萬(wàn)元，則甲公司有倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，

31、否則百萬(wàn)元，則甲公司有倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，否則無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)（1）請(qǐng)解釋）請(qǐng)解釋f（0）、g（0）的實(shí)際意義；的實(shí)際意義；（2）設(shè)直線）設(shè)直線y= x 與與y= f（x）的圖象交于點(diǎn)（的圖象交于點(diǎn)（x0 ，y0），），x0 0， 請(qǐng)解釋請(qǐng)解釋x0 ，y0的實(shí)際意義；的實(shí)際意義；（3）當(dāng)）當(dāng)f（x）= x+5，g（x）=2 +10時(shí)，甲、乙兩公司為了避免惡性競(jìng)時(shí)，甲、乙兩公司為了避免惡性競(jìng) 爭(zhēng)，經(jīng)過(guò)協(xié)商，同意在雙方均無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的情況下盡可能地減少改爭(zhēng)，經(jīng)過(guò)協(xié)商，同意在雙方均無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的情況下盡可能地減少改 造設(shè)備資金，問(wèn)：此時(shí)甲造設(shè)備資金，問(wèn)：此時(shí)甲、乙兩公司各投入多少百萬(wàn)元？乙兩公司各投入多少百

32、萬(wàn)元？201x分析：分析： （1） f（0）表示當(dāng)甲公司不投入資金改造設(shè)備時(shí)，乙公司要避免倒閉的風(fēng)表示當(dāng)甲公司不投入資金改造設(shè)備時(shí)，乙公司要避免倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，至少要投入險(xiǎn)，至少要投入f（0）百萬(wàn)元進(jìn)行設(shè)備改造；百萬(wàn)元進(jìn)行設(shè)備改造； g（0）表示當(dāng)乙公司不投入資金改造設(shè)備時(shí)，甲公司要避免倒閉的風(fēng)表示當(dāng)乙公司不投入資金改造設(shè)備時(shí)，甲公司要避免倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，至少要投入險(xiǎn)，至少要投入g（0）百萬(wàn)元進(jìn)行設(shè)備改造百萬(wàn)元進(jìn)行設(shè)備改造（2）由題意可知由題意可知 y0= x0，且，且y0= f（x0）， f（x0）= x0 201201201 當(dāng)甲投入當(dāng)甲投入x0百萬(wàn)元時(shí)，乙公司要避免倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，要投入的資金百萬(wàn)元

33、時(shí)，乙公司要避免倒閉的風(fēng)險(xiǎn)，要投入的資金至少是甲投入的至少是甲投入的 （3）設(shè)甲公司投入的資金是設(shè)甲公司投入的資金是x百萬(wàn)元，乙公司投入的資金是百萬(wàn)元，乙公司投入的資金是y百萬(wàn)元，百萬(wàn)元， 由題意可知：由題意可知： 當(dāng)當(dāng)yf（x）= x+5時(shí)，乙公司無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)；時(shí)，乙公司無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)當(dāng)xg（y）=2 +10時(shí)，甲公司無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，甲公司無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn) y 由圖可知，雙方無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的區(qū)域由圖可知，雙方無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的區(qū)域是圖中的陰影部分是圖中的陰影部分 現(xiàn)由現(xiàn)由y=x+5102yx得得x=20y=25 在雙方均無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的情況下，在雙方均無(wú)倒閉風(fēng)險(xiǎn)的情況下， 甲公司至少投入甲公司至少投入20百萬(wàn)元、乙

34、公司至少百萬(wàn)元、乙公司至少投入投入25百萬(wàn)元，進(jìn)行設(shè)備改造百萬(wàn)元，進(jìn)行設(shè)備改造練習(xí)（一）練習(xí)（一）1函數(shù)函數(shù)f（x）=tgx+ 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?；2函數(shù)函數(shù)y=log（6+2x- -x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ； 3定義在定義在R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f（x），對(duì)任何實(shí)數(shù)，對(duì)任何實(shí)數(shù)x，總有，總有f（x+2）= - -f（x），）， 當(dāng)當(dāng)x0，1時(shí)時(shí), f（x）= x，則，則f（x）在在2，3上，上，f（x）= ；4已知關(guān)于已知關(guān)于x的方程（的方程（ ） = 有正根，則實(shí)數(shù)有正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍 是是 ；5記函數(shù)記函數(shù)f（x）= 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)锳，g（x）

35、= lg（x a - -1）（）（2 a- - x） （a1） 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)锽 （1）求）求A；（；（2）若）若B A；求實(shí)數(shù)；求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍6已知函數(shù)已知函數(shù)f（x）= （a0， x0） （1）求證：）求證：f（x）在（在（0，+）上是遞增函數(shù)；）上是遞增函數(shù)； （2）若）若f（x）在在m，n上的值域是上的值域是m，n （mn），求），求a的取值的取值 范圍，并求相應(yīng)的范圍，并求相應(yīng)的m，n的值；的值； （3）若）若f（x）2x在（在（0，+）上恒成立，求）上恒成立，求a的取值范圍的取值范圍 xsin2121xaalg1lg1132xxxa11練習(xí)（二）練習(xí)（二）1對(duì)任

36、意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)a- -1，1，函數(shù)，函數(shù)f（x）= x2 +（a- -4）x+ 4- -2a的值總大的值總大 于零，則于零，則a的取值范圍是的取值范圍是 ；2如圖，已知如圖，已知ABCD是長(zhǎng)方形紙片，是長(zhǎng)方形紙片，AB=2，AD=4，在，在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)邊上有一動(dòng)點(diǎn) P，把紙片的左下角折起，使點(diǎn)，把紙片的左下角折起，使點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)P重合，且折痕線段重合，且折痕線段MN的端點(diǎn)的端點(diǎn) M在在AB上，上，N在在AD上，設(shè)上，設(shè)PAB= （1）用）用 表示線段表示線段MN的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度f(wàn)（ ）； （2）求）求f（ ）的定義域的定義域 K D C A B P N M3等腰直角等腰直角 ABC，C=90

37、，AB = 4，P、Q分別在線分別在線 段段AB、AC上，且上，且PQ平分平分 ABC的面積，設(shè)的面積，設(shè) AP=x， PQ=y求求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)，并求最大值的函數(shù)，并求最大值4a取何值時(shí)，方程取何值時(shí)，方程lg（x- -1）+ lg（3- -x）= lg（1- -ax） 有一解，兩解，無(wú)解？有一解，兩解，無(wú)解？5某單位用木料制作如圖所示的框架，某單位用木料制作如圖所示的框架， 框架的下部是邊長(zhǎng)分別為框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x，y（單位：（單位：m）的矩形，）的矩形， 上部是等腰三角形要求框架圍成的總面積為上部是等腰三角形要求框架圍成的總面積為8m2， 問(wèn)問(wèn)x，y分別為多少（精確到分別為多少

38、（精確到0001m）時(shí)，用料最?。浚r(shí)，用料最?。?定義在定義在R上的函數(shù)上的函數(shù)f（x）滿足：如果對(duì)任意滿足：如果對(duì)任意x1，x2R， 都有都有f（ ） f（x1）+f（x2），則稱，則稱f（x）是是R上的上的 凹函數(shù)已知二次函數(shù)凹函數(shù)已知二次函數(shù)f（x）= ax2+x（aR，且，且a0） （1）求證：當(dāng)）求證：當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）是凹函數(shù)；）是凹函數(shù)； （2）如果）如果x0，1時(shí)，時(shí)， f（x） 1，試求，試求a的取值范圍的取值范圍221xx 21答案：答案：練習(xí)（一）練習(xí)（一）1 2k ，2k + )(2k + ，2k +，kZ 2 ，2) 3f（x）= 2 - - x 4（

39、 ，1）5（1）A=（- -，- - 1） 1，+），（），（2）（）（- -，- - 2 ，1）6（1）略；（）略；（2）0a ，m = ，n = ；（；（3）a 練習(xí)（二）練習(xí)（二）1（- -，1）（3，+） 2（1）f（ ）= ，（，（2） ， 3y = （2x4），當(dāng)），當(dāng)x=4時(shí)，時(shí)，ymax=4當(dāng)當(dāng)a=0 或或 a1時(shí)，原方程有一解；時(shí)，原方程有一解； 當(dāng)當(dāng)0a 時(shí)，原方程有兩解；當(dāng)時(shí)，原方程有兩解；當(dāng)a0或或a1時(shí)，原方程無(wú)解時(shí)，原方程無(wú)解 22411012121aa24112aa2411242cossin183222xx1012431315用料長(zhǎng)度用料長(zhǎng)度 = 2x+2y+2（ x）= （ + ）x + ， 當(dāng)當(dāng)x = 8- -4 2343 （m），），y = 2 2828（m）時(shí)，用料最?。r(shí)，用料最省6（1）略；（）略；（2）- -2a022232x1622