高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用 課件 理

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1、第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用1三種函數(shù)模型之間增長速度的比較三種函數(shù)模型之間增長速度的比較函數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在在(0，)上的增減上的增減性性_增長速度增長速度越來越快越來越快越來越慢越來越慢相對(duì)平穩(wěn)相對(duì)平穩(wěn)值的比較值的比較存在一個(gè)存在一個(gè)x0，當(dāng)，當(dāng)xx0時(shí)，有時(shí)，有_單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增logaxxnax2.常用的幾類函數(shù)模型常用的幾類函數(shù)模型(1)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型yabxc(a0，b0且且b1)(2)對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型ymlogaxn(a0且且a1，m0)(3)冪函數(shù)模型冪函數(shù)模型yax

2、nb，(a0)3解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，尋找數(shù)量關(guān)系；審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，尋找數(shù)量關(guān)系；(2)建模：利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；建模：利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：用數(shù)學(xué)問題解釋并回答實(shí)際問題的意義還原：用數(shù)學(xué)問題解釋并回答實(shí)際問題的意義直線上升、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長的增長特點(diǎn)是什么？你作為老直線上升、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長的增長特點(diǎn)是什么？你作為老板，希望公司的利潤和員工獎(jiǎng)金按何種模型增長？板，希望公司的利潤和員工獎(jiǎng)金

3、按何種模型增長？【提示【提示】直線上升，勻速增長；指數(shù)增長，先慢后快，其增直線上升，勻速增長；指數(shù)增長，先慢后快，其增長量成倍增加，可用長量成倍增加，可用“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”形容；對(duì)數(shù)增長：先快后慢，形容；對(duì)數(shù)增長：先快后慢，其增長速度緩慢；公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長，其增長速度緩慢；公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長，而員工獎(jiǎng)金選擇對(duì)數(shù)模型增長而員工獎(jiǎng)金選擇對(duì)數(shù)模型增長 1(教材改編題教材改編題)在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02【解析【解析】先作出散點(diǎn)圖

4、，再結(jié)合選項(xiàng)中函數(shù)的性質(zhì)判斷先作出散點(diǎn)圖，再結(jié)合選項(xiàng)中函數(shù)的性質(zhì)判斷【答案【答案】B2擬定甲地到乙地通話擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)分鐘的電話費(fèi)f(m)0.5m1(單位：單位：元元)，其中，其中m0，m表示不大于表示不大于m的最大整數(shù)的最大整數(shù)(如如3.623，44)，當(dāng)，當(dāng)m0.5,3.2時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(m)的值域是的值域是()A1,2,3,4 B1,1.5,2,2.5C1,1.5,2.5,3 D1.5,2,2.5【解析【解析】當(dāng)當(dāng)m0.5,3.2時(shí)，時(shí)，m所有可能值為所有可能值為0,1,2,3共四個(gè)，共四個(gè)，故故f(m)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?,1.5,2,2.5【答案【答案】B【答案【

5、答案】B【答案【答案】D (1)求求k的值及的值及f(x)的表達(dá)式；的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值達(dá)到最小，并求最小值【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】分析題意知，分析題意知，C(0)8由此得出由此得出k的值；由隔熱的值；由隔熱層建造費(fèi)與層建造費(fèi)與20年的能源消耗費(fèi)相加得年的能源消耗費(fèi)相加得f(x)的表達(dá)式；可用求導(dǎo)的表達(dá)式；可用求導(dǎo)函數(shù)或基本不等式判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)或基本不等式判斷函數(shù)的單調(diào)性求f(x)的最小值的最小值1(1)求函數(shù)的解析式和最值時(shí)，易忽略求函數(shù)的解析式和最值時(shí)，易忽略x的取值范圍與的取值范圍與等號(hào)成立的條件等號(hào)成立的條件

6、(2)利用基本不等式求函數(shù)的最值，一定要利用基本不等式求函數(shù)的最值，一定要注意等號(hào)成立的條件，如果等號(hào)不成立，可利用函數(shù)的單調(diào)性注意等號(hào)成立的條件，如果等號(hào)不成立，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解求解2(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)(2)解解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為t，市場價(jià)格，市場價(jià)格x(單位：千元單位：千元)與與市場供應(yīng)量市場供應(yīng)量p(單位：萬件單

7、位：萬件)之間近似滿足關(guān)系式：之間近似滿足關(guān)系式：p2(1kt)(xb)2，其中，其中k，b均為常數(shù)當(dāng)關(guān)稅稅率均為常數(shù)當(dāng)關(guān)稅稅率t75%時(shí)，若市場價(jià)時(shí)，若市場價(jià)格為格為5千元，則市場供應(yīng)量為千元，則市場供應(yīng)量為1萬件；若市場價(jià)格為萬件；若市場價(jià)格為7千元，則千元，則市場供應(yīng)量約為市場供應(yīng)量約為2萬件萬件(1)試確定試確定k，b的值；的值；(2)市場需求量市場需求量q(單位：萬件單位：萬件)與市場價(jià)格與市場價(jià)格x近似滿足關(guān)系式：近似滿足關(guān)系式：q2x，當(dāng)，當(dāng)pq時(shí)，市場價(jià)格稱為市場平衡價(jià)格當(dāng)市場平衡時(shí)，市場價(jià)格稱為市場平衡價(jià)格當(dāng)市場平衡價(jià)格不超過價(jià)格不超過4千元時(shí)，試確定關(guān)稅稅率的最大值千元時(shí)，

8、試確定關(guān)稅稅率的最大值 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)由題設(shè)條件，建立關(guān)于由題設(shè)條件，建立關(guān)于k，b的方程，不難的方程，不難確定確定k、b的值；的值；(2)依據(jù)市場平衡價(jià)格的意義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)依據(jù)市場平衡價(jià)格的意義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定關(guān)稅稅率的單調(diào)性，確定關(guān)稅稅率t關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值1(1)本題涉及的本題涉及的“名詞名詞”、“量量”較多，準(zhǔn)確理解題意較多，準(zhǔn)確理解題意和各和各“名詞名詞”的含義是正確求解的關(guān)鍵的含義是正確求解的關(guān)鍵(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，建立稅率關(guān)于單調(diào)性，建立

9、稅率關(guān)于“市場平衡價(jià)格市場平衡價(jià)格”的函數(shù)關(guān)系，是求解的函數(shù)關(guān)系，是求解第第(2)問的前提條件問的前提條件2(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合，在實(shí)際問題中指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合，在實(shí)際問題中人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示模型來表示(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，先設(shè)定模型，將已知應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，先設(shè)定模型，將已知數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證計(jì)算，確定參數(shù)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證計(jì)算，確定參數(shù)(2011四川高考改編四川高考改編)里氏震級(jí)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：的計(jì)算公式為：Mlg Alg A0，其中，其中A是測震儀記錄的地震曲

10、線的最大振幅，是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅(1)假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時(shí)，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，求此次地震的震級(jí)；，求此次地震的震級(jí)；(2)2011年年3月月11日，日本東海岸發(fā)生日，日本東海岸發(fā)生9.0級(jí)特大地震；級(jí)特大地震；2008年年5月月12日，中國汶川發(fā)生日，中國汶川發(fā)生8.0級(jí)強(qiáng)震，那么級(jí)強(qiáng)震，那么9.0級(jí)地震的最大振幅級(jí)地震的最大振幅是是8.0級(jí)地震最大振幅的多少倍？級(jí)地震最大振幅的多少倍？(2011湖北高考湖北高考)提高過江大橋

11、的車輛通行能力可改善整個(gè)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：單位：千米千米/小時(shí)小時(shí))是車流密度是車流密度x(單位：輛單位：輛/千米千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到密度達(dá)到200輛輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流；當(dāng)車流密度不超過密度不超過20輛輛/千米時(shí)，車流速度為千米時(shí)，車流速度為60千米千米/小時(shí)研究表明：小時(shí)研究表明：當(dāng)當(dāng)20 x200時(shí)，車流速度時(shí)，車流速度v是車流密度是車流密度x的一次函數(shù)的一次函數(shù)(1)當(dāng)當(dāng)0 x200時(shí)

12、，求函數(shù)時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)小時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求可以達(dá)到最大，并求出最大值出最大值(精確到精確到1輛輛/小時(shí)小時(shí))分段函數(shù)模型的應(yīng)用分段函數(shù)模型的應(yīng)用 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)當(dāng)當(dāng)20 x200時(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法求時(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法求v(x)的解的解析式，進(jìn)而確定當(dāng)析式，進(jìn)而確定當(dāng)0 x200時(shí)，分段函數(shù)時(shí)，分段函數(shù)v(x)(2)根據(jù)根據(jù)(1)求出求出f(x)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式求最值，

13、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式求最值1理解題意，由待定系數(shù)法，準(zhǔn)確求出理解題意，由待定系數(shù)法，準(zhǔn)確求出v(x)，是求解本，是求解本題的關(guān)鍵要注意分段函數(shù)各段變量的取值范圍，特別是端點(diǎn)題的關(guān)鍵要注意分段函數(shù)各段變量的取值范圍，特別是端點(diǎn)值值2實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解圖圖291 (1)從藥物釋放開始，求每立方米空氣中的含藥量從藥物釋放開始，求每立方米空氣中的含藥量y(

14、毫克毫克)與時(shí)與時(shí)間間t(小時(shí)小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式；之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少個(gè)學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少個(gè)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室？小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室？從近兩年高考試題看，與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及從近兩年高考試題看，與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價(jià)、路程、產(chǎn)值等實(shí)際問題，也經(jīng)常涉及面積、體積、造價(jià)物價(jià)、路程、產(chǎn)值等實(shí)際問題，也經(jīng)常涉及面積、體積、造價(jià)等優(yōu)化問題，如等優(yōu)化問題，如2011山東山東21、

15、2011湖南湖南20.題型主要以解答題型主要以解答題為主，難度中等偏高，常與導(dǎo)數(shù)、最值交匯主要考查考生題為主，難度中等偏高，常與導(dǎo)數(shù)、最值交匯主要考查考生的的“建模建模”解決實(shí)際問題的能力解決實(shí)際問題的能力規(guī)范解答之二函數(shù)建模在實(shí)際問題中的應(yīng)用規(guī)范解答之二函數(shù)建模在實(shí)際問題中的應(yīng)用 (14分分)(2011湖南高考湖南高考)如圖如圖292，長方體物體，長方體物體E在雨在雨中沿面中沿面P(面積為面積為S)的垂直方向作勻速移動(dòng)，的垂直方向作勻速移動(dòng)， (1)寫出寫出y的表達(dá)式；的表達(dá)式；(2)設(shè)設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度度v，使總淋雨量

16、，使總淋雨量y最少最少【解題程序【解題程序】第一步：由題意，表示單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量；第一步：由題意，表示單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量；第二步：建立總淋雨量為函數(shù)模型；第二步：建立總淋雨量為函數(shù)模型；第三步：分類討論，化總淋雨量為分段函數(shù)；第三步：分類討論，化總淋雨量為分段函數(shù)；第四步：討論參數(shù)第四步：討論參數(shù)c對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響，求總淋雨量對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響，求總淋雨量y的最小的最小值；值；第五步：檢驗(yàn)，驗(yàn)證，用數(shù)學(xué)結(jié)果回答實(shí)際問題第五步：檢驗(yàn)，驗(yàn)證，用數(shù)學(xué)結(jié)果回答實(shí)際問題易錯(cuò)提示：易錯(cuò)提示：(1)由于未讀懂題意，不能正確建立函數(shù)模型；再由于未讀懂題意，不能正確建立函數(shù)模型；再者第者第(2)問難以轉(zhuǎn)化為

17、分段函數(shù)，導(dǎo)致求解受阻問難以轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，導(dǎo)致求解受阻(2)在解模時(shí)，由于未分清在解模時(shí)，由于未分清c，v中，誰是自變量，造成求解錯(cuò)中，誰是自變量，造成求解錯(cuò)誤誤防范措施：防范措施：(1)求解函數(shù)實(shí)際問題，審題是關(guān)鍵，要弄清相關(guān)求解函數(shù)實(shí)際問題，審題是關(guān)鍵，要弄清相關(guān)“名詞名詞”，準(zhǔn)確尋求各量之間的關(guān)系，準(zhǔn)確尋求各量之間的關(guān)系(2)抓住隱含條件為突破口，化淋雨量為分段函數(shù)，是進(jìn)一步抓住隱含條件為突破口，化淋雨量為分段函數(shù)，是進(jìn)一步正確求解的前提，并對(duì)運(yùn)算結(jié)果作出實(shí)際解釋正確求解的前提，并對(duì)運(yùn)算結(jié)果作出實(shí)際解釋【答案【答案】4從而，從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當(dāng)于是，當(dāng)x變化時(shí)，變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增極大值極大值42單調(diào)遞減單調(diào)遞減由上表可得，由上表可得，x4是函數(shù)是函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)值點(diǎn)所以，當(dāng)所以，當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于取得最大值，且最大值等于42.答：當(dāng)銷售價(jià)格為答：當(dāng)銷售價(jià)格為4元元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大最大