高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)提升課件 新人教版選修22

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1、第二章推理與證明欄目索引要點(diǎn)歸納 主干梳理題型探究 重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建返回 要點(diǎn)歸納 主干梳理1.合情推理與演繹推理合情推理與演繹推理(1)歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測(cè)未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明.(2)演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性.2.直接證明與間接證明直接證明與間接證明直接證明和間

2、接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常把它們結(jié)合起來使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.思考反證法通常適用于哪些問題？答案答案反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問題；幾何問題.3.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可.它

3、的第一步(歸納奠基)nn0時(shí)結(jié)論成立.第二步(歸納遞推)假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，推得nk1時(shí)結(jié)論也成立.數(shù)學(xué)歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無限的命題成立.思考何為探索性命題？其解題思路是什么？答案探索性命題是試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此類問題未給出問題結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論的問題稱為探求規(guī)律性問題，它的解題思想是：從給出的條件出發(fā)，通過觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.返回答案 題型探究 重點(diǎn)突破題型一合情推理及應(yīng)用解析答案反思與感悟例1觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b51

4、1，則a10b10等于()A.28 B.76 C.123 D.199反思與感悟答案C解析記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.反思與感悟歸納推理和類比推理是常用的合情推理，兩種推理的結(jié)論“合情”但不一定“合理”，其正確性都有待嚴(yán)格證明.盡管如此，合情推理在探索新知識(shí)方面有著極其重

5、要的作用.運(yùn)用合情推理時(shí)，要認(rèn)識(shí)到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的.在解決問題時(shí)，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)，形成解決問題的初步思路，然后用歸納、類比的方法進(jìn)行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗(yàn)證.跟蹤訓(xùn)練1自然數(shù)按下表的規(guī)律排列解析答案則上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù)為()A.2 0142 B.2 0152C.2 0132 014 D.2 0142 015解析經(jīng)觀察可得這個(gè)自然數(shù)表的排列特點(diǎn)：第一列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方，即第n行的第1個(gè)數(shù)為n2；第一行第n個(gè)數(shù)為(n1)21；第n行從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞減1；第n列從第1個(gè)數(shù)至第

6、n個(gè)數(shù)依次遞增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù)，應(yīng)是第2 015列的第2 014個(gè)數(shù)，即為(2 0151)212 0132 0142 015.答案D題型二直接證明與間接證明解析答案反思與感悟解析答案ab0，反思與感悟反思與感悟直接證明方法可具體分為比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等，應(yīng)用綜合法證明問題時(shí)，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實(shí)際證明問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來使用.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2已知等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a10，公差d0.解an是等差數(shù)列，a11，d2，a47，am2m1.即2m149.m25.解析答案

7、又a10，d0，an1a1ndd，因此假設(shè)不成立，故命題得證.題型三數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用解析答案反思與感悟例3已知ai0(i1,2，n)，考察：歸納出對(duì)a1，a2，an都成立的類似不等式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.解析答案反思與感悟證明：當(dāng)n1時(shí)，顯然成立.假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，不等式成立，當(dāng)nk1時(shí)，反思與感悟k22k1(k1)2.由可知，不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明“當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論正確”

8、的過程中，必須用“歸納假設(shè)”，否則就是錯(cuò)誤的.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*).(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；解析答案(2)證明(1)中的猜想.解析答案證明當(dāng)n1時(shí)，a11，結(jié)論成立.假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)，結(jié)論成立，那么nk1時(shí)，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立.解析答案應(yīng)用反證法證明問題時(shí)，因?qū)Y(jié)論否定不正確致誤例4已知x，yR，且x2y20，求證x，y全為0.返回易錯(cuò)易混防范措施錯(cuò)解假設(shè)結(jié)論不成立，則x，y全不為0，即x0且y0，x2y20，與x2y20矛盾，故x，

9、y全為0.錯(cuò)因分析x，y全為0的否定應(yīng)為x，y不全為0，即至少有一個(gè)不是0，得x2y20與已知矛盾.正解假設(shè)x，y不全為0，則有以下三種可能：x0，y0，得x2y20，與x2y20矛盾；x0，y0，得x2y20, 與x2y20矛盾；x0，y0，得x2y20，與x2y20矛盾.假設(shè)是錯(cuò)誤的，x，y全為0.防范措施應(yīng)用反證法證明問題時(shí)，首先要否定結(jié)論，假設(shè)結(jié)論的反面成立，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，需羅列出各種可能情形，否定一定要徹底.返回防范措施 當(dāng)堂檢測(cè)1.下列推理正確的是()A.把a(bǔ)(bc)與loga(xy)類比，則loga(xy)logaxlogayB.把a(bǔ)(bc)與sin(xy)類比，則s

10、in(xy)sin xsin yC.把(ab)n與(xy)n類比，則(xy)nxnynD.把(ab)c與(xy)z類比，則(xy)zx(yz)D答案2.在ABC中，若sin Asin Ccos Acos C，則ABC一定是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定D解析答案解析由sin Asin Ccos Acos C，得cos(AC)0，即cos B0, 所以B為銳角，但并不能確定角A和C的情況，故選D.可得分子均為1，分母為連續(xù)相鄰的兩個(gè)偶數(shù)的乘積.解析答案解析答案4.如圖是由花盆擺成的圖案，根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律，第n個(gè)圖形中的花盆數(shù)an_.解析觀察知每一個(gè)圖案中間一行

11、的花盆數(shù)為1,3,5，其中第n個(gè)圖案中間一行的花盆數(shù)為2n1，往上一側(cè)花盆數(shù)依次是2n2,2n3，答案3n23n1解析答案(1)求f2(x)，f3(x)；解析答案(2)猜想fn(x)的表達(dá)式，并證明.解析答案下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，命題顯然成立；這就是說當(dāng)nk1時(shí)命題也成立.課堂小結(jié)返回轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)最基本的思想方法，數(shù)學(xué)中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂.在本章中，合情推理與演繹推理體現(xiàn)的是一般與特殊的轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的是一般與特殊、有限與無限的轉(zhuǎn)化，反證法體現(xiàn)的是對(duì)立與統(tǒng)一的轉(zhuǎn)化.從特殊到一般的思想方法即由特殊情況入手，通過觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.與正整數(shù)n有關(guān)的命題，經(jīng)常要用到歸納猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，這體現(xiàn)了從特殊到一般的探求規(guī)律的思想.