《新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-名校尖子生培優(yōu)大專題-圓錐曲線訓(xùn)練5-新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-名校尖子生培優(yōu)大專題-圓錐曲線訓(xùn)練5-新人教A版(13頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、名校專題----圓錐曲線培優(yōu)訓(xùn)練5
1、設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,
且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。
解:(1)因?yàn)闄E圓E: (a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點(diǎn),
所以解得所以橢圓E的方程為 4分
(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,
即,
則△=,即
2、要使,需使,即,所以,
所以又,
所以,所以,即或,
因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,,,
所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,
綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.
因?yàn)?
所以,
, 8分
①當(dāng)時(shí),因?yàn)樗?
所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.
②時(shí),.
③當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,
所以此時(shí), 12分
綜上, |AB |的取值范圍為即: 1
3、4分
2、如圖,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在軸上的截距為,l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求橢圓的方程; (2)求m的取值范圍;
(3)求證直線MA、MB與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.
解:(1)設(shè)橢圓方程為 則 2分
∴橢圓方程 4分
(2)∵直線l平行于OM,且在軸上的截距為m,又
∴l(xiāng)的方程為:
由 6分
∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn),
∴m的取值范圍是
(3)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2
4、,只需證明k1+k2=0即可
設(shè)
可得 8分
而
10分
∴k1+k2=0
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形. 12分
3已知橢圓:()過點(diǎn),其左、右焦點(diǎn)分別為,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,則以為直徑的圓是否過定點(diǎn)?請說明理由.
解:(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
則
故,可得, …………………2分
所以,…………………4分
故,
所以橢圓的方程為. ……………………………6分
(2)設(shè)的坐標(biāo)分別為,則,
又,可得,即,
5、…………………8分
又圓的圓心為半徑為,
故圓的方程為,
即,
也就是, ……………………11分
令,可得或2,
故圓必過定點(diǎn)和. ……………………13分
(另法:(1)中也可以直接將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程來進(jìn)行求解;(2)中可利用圓C直徑的兩端點(diǎn)直接寫出圓的方程)
4、已知點(diǎn)是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離為,到點(diǎn)的距離為,且.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程;
(2)直線過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B(點(diǎn)A或B不在x軸上),分別過A、B點(diǎn)作直線的垂線,對應(yīng)的垂足分別為,試判斷點(diǎn)F與以線段為直徑的圓的位置
6、關(guān)系(指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況);
(3)記,,(A、B、是(2)中的點(diǎn)),問是否存在實(shí)數(shù),使成立.若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
進(jìn)一步思考問題:若上述問題中直線、點(diǎn)、曲線C:,則使等式成立的的值仍保持不變.請給出你的判斷 (填寫“不正確”或“正確”)(限于時(shí)間,這里不需要舉反例,或證明).
解 (1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為,依據(jù)題意,有,化簡得. 3分
因此,動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程是:.……………4分
(2) 點(diǎn)F在以MN為直徑的圓的外部.
理由:由題意可知,當(dāng)過點(diǎn)F的直線的斜率為0時(shí),不合題意,故可設(shè)直線:,如圖所示. 5分
聯(lián)立方程組,可化為
7、,
則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足. 7分
又、,可得點(diǎn)、.
因,,則=.……9分
于是,為銳角,即點(diǎn)F在以MN為直徑的圓的外部. 10分
(3)依據(jù)(2)可算出,,
則
,
.…… 14分
所以,,即存在實(shí)數(shù)使得結(jié)論成立. ……15分
對進(jìn)一步思考問題的判斷:正確. ……18分
5、已知點(diǎn)是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)到直線(是正常數(shù))的距離為,到點(diǎn)的距離為,且1.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程;
(2)直線過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B,分別過A、B點(diǎn)作直線的垂線,對應(yīng)的垂足分別為,求證=;
(3)記,,(A、B、是(2)中的點(diǎn)),,求的值.
8、
解 (1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為,依據(jù)題意,有
,化簡得.……4分
因此,動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程是:. ……………6分
由題意可知,當(dāng)過點(diǎn)F的直線的斜率為0時(shí),不合題意,
故可設(shè)直線:,如圖所示. …… 8分
聯(lián)立方程組,可化為,
則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足. 10分
又、,可得點(diǎn)、.
于是,,,
因此. 12分
(3)依據(jù)(2)可算出,,
則 ,
. 16分
所以,即為所求. 18分
6、已知:橢圓(),過點(diǎn),的直線傾斜角為,原點(diǎn)到該直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)斜率大于零的直線過與橢圓交于,兩點(diǎn),若,求直線的方程;
(3)是否存在實(shí)數(shù),
9、直線交橢圓于,兩點(diǎn),以為直徑的圓過點(diǎn)?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
解:(1)由, ,得,,
所以橢圓方程是:……………………4分
(2)設(shè)EF:()代入,得,
設(shè),,由,得.
由,……………………8分
得,,(舍去),(沒舍去扣1分)
直線的方程為:即……………………10分
(3)將代入,得(*)
記,,PQ為直徑的圓過,則,即,又,,得.………………14分
解得,此時(shí)(*)方程,存在,滿足題設(shè)條件.…………16分
7、已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足條件,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為。
(1)求的方程;
(2)過作直線交曲線于兩點(diǎn),使得2,求直線的方程。
(3)若從動(dòng)點(diǎn)向圓:
10、作兩條切線,切點(diǎn)為、,令|PC|=d,
試用d來表示,并求的取值范圍。
解:(1)由,知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長為的雙曲線
即設(shè),所以所求的的方程為 4分
(2)若k不存在,即x=2時(shí),可得A(2,),B(2,-),|AB|=2滿足題意; 5分
若k存在,可設(shè)l:y=k(x-2)
聯(lián)立,
由題意知且 6分
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|= 即 =2 k=0 即l:y=0 8分
所以直線l的方程為 x=0或y=0 9分
(3)
又
則----- 13分
在是增函
11、數(shù),
則所求的的范圍為。 16分
8、在平面直角坐標(biāo)系中,已知焦距為4的橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,橢圓的右焦點(diǎn)為,過作一條垂直于軸的直線與橢圓相交于,若線段的長為。
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是直線上的點(diǎn),直線與橢圓分別交于點(diǎn),求證:直線
必過軸上的一定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)實(shí)際上,第(2)小題的結(jié)論可以推廣到任意的橢圓、雙曲線以及拋物線,請你對拋物線寫出一個(gè)更一般的結(jié)論,并加以證明。
A
B
Q
O
M
N
x
y
9
(1)依題意,橢圓過點(diǎn),故,解
12、得?!?分)
橢圓的方程為?!?分)
(2)設(shè),直線的方程為,……………(5分)
代入橢圓方程,得, ……(6分)
設(shè),則,…(7分)
,故點(diǎn)的坐標(biāo)為。………(8分)
同理,直線的方程為,代入橢圓方程,得,
設(shè),則,。
可得點(diǎn)的坐標(biāo)為?!?0分)
①若時(shí),直線的方程為,與軸交于點(diǎn);
②若,直線的方程為,
令,解得。綜上所述,直線必過軸上的定點(diǎn)?!?2分)
(3)結(jié)論:已知拋物線的頂點(diǎn)為,為直線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn),直線與拋物線交于點(diǎn),則直線必過定點(diǎn)?!?4分)
證明
13、:設(shè),則,
P
O
M
N
x
y
直線的方程為,代入,得,可求得?!?6分)
直線的方程為,
令,得,即直線必過定點(diǎn)。……(18分)
9、已知橢圓中心為,右頂點(diǎn)為,過定點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn).
(1)若直線與軸垂直,求三角形面積的最大值;
(2)若,直線的斜率為,求證:;
(3)直線和的斜率的乘積是否為非零常數(shù)?請說明理由.
解:設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
(1)把代入可得:, (2分)
則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號 (4分)
(2)由得,,(6分)
所以
(9分)
(3)直線和的斜率的乘積是一個(gè)非零
14、常數(shù). (11分)
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),可設(shè)直線方程為:,
由消去整理得
則 ① 又 ② (13分)
所以(15分)
當(dāng)直線與軸垂直時(shí),由得兩交點(diǎn),
顯然.所以直線和的斜率的乘積是一個(gè)非零常數(shù).(16分)
10、定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。
若橢圓,判斷與是否相似?如果相似,求出與的相似比;如果不相似,
請說明理由;
寫出與橢圓相似且短半軸長
15、為的橢圓的方程;若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱,求實(shí)數(shù)的取值范圍?
如圖:直線與兩個(gè)“相似橢圓”和分別交于點(diǎn)和點(diǎn),證明:
23.解:(1)橢圓與相似。-------------------2分
因?yàn)闄E圓的特征三角形是腰長為4,底邊長為的等腰三角形,而橢圓的特征三角形是腰長為2,底邊長為的等腰三角形,因此兩個(gè)等腰三角形相似,且相似比為-------------------4分
(2)橢圓的方程為:-------------------6分
設(shè),點(diǎn),中點(diǎn)為,
則,所以-------------------8分
則 -----------
16、--------9分
因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線上,所以有,-------------------10分
即直線的方程為:,
由題意可知,直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,
所以,即-------------------12分
(3)證明:
①直線與軸垂直時(shí),易得線段AB與CD的中點(diǎn)重合,所以;-------------------14分
②直線不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程為:,,
線段AB的中點(diǎn),
-------------------15分
線段AB的中點(diǎn)為-------------------16分
同理可得線段CD的中點(diǎn)為,-------------------17分
即線段AB與CD的中點(diǎn)重合,所以-------------------18