高一數學-必修一-第二章《一元二次函數、方程和不等式》訓練題-(7)-200708(解析版)(共13頁)

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1、精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上 高一數學 必修一 第二章《一元二次函數、方程和不等式》訓練題 (7) 一、選擇題（本大題共13小題，共65.0分） 1. 設p:f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)內單調遞增，q:m>43，則p是q的(??? ) A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 2. 若關于x的不等式ax2+bx-1>0的解集是x|123 C. x|-231

2、 3. 已知集合A={x|x-1≥0}，B={x|x2-2x-8≥0}，則?R(A∪B)=(????) A. [-2,1] B. [1,4] C. (-2,1) D. (-∞,4) 4. 已知集合A=x∈Z-x2+x+2>0，則集合A的真子集個數為(? ???) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 5. 已知正實數x，y滿足x+4y-xy=0，若x+y≥m恒成立，則實數m的取值范圍為(????) A. (0,9) B. [0,9] C. (-∞,9) D. (-∞,9] 6. 已知集合A=xx2-2>x，B=x-1

3、<1 C. x21b C. ac2-b 9. 已知實數a,b滿足52b3+15a B. a3+15b

4、15a 10. 設全集為A=x|1?log2?x?3，B=x|x2-3x-4<0，則A∩B等于(??? ) A. (-1,2) B. (-1,8] C. [4,8] D. [2,4) 11. 已知a=21.1，b=30.3，c=ln73，則(????) A. b>a>c B. a>b>c C. b>c>a D. a>c>b 12. 已知函數f(x)=3x+5sinx+2，若正實數a，b滿足f(1a)+f(2b-1)=4，則3aa-1+4bb-2的最小值為(????) A. 7 B. 7+23 C. 5+43 D. 7+43 13. 在△ABC中，D、E分別是邊AC、AB的中點，若

5、BD⊥CE，則cosA的最小值為(??? ) A. 45 B. 34 C. 23 D. 12 二、填空題（本大題共2小題，共10.0分） 14. 在△ABC中，A=π3，b+c=4，E，F為邊BC的三等分點，則AE?AF的最小值為_________． 15. 已知正數x，y滿足x+2y=4，則1x+1y的最小值______． 三、解答題（本大題共5小題，共60.0分） 16. 已知?ABC的內角A，B，C滿足sinA-sinB+sinCsinC=sinBsinA+sinB-sinC． (1)求角A． (2)若a=3.求b+c的取值范圍.? 17. 在如圖所示的

6、平面圖形中，∠ADC=2π3，AD=3，sin∠BCD=23，3BD=4BC． (1)求∠BDC的值; (2)若BD=3，∠AEB=π3，求△ABE面積的最大值． 18. 已知函數f(x)=ex+ax,g(x)=exlnx(e是自然對數的底數)． (1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線也是拋物線y2=4x-1的切線，求a的值； (2)若對于任意x∈R,f(x)>0恒成立，試確定實數a的取值范圍； (3)當a=-1時，是否存在x0∈(0,+∞)，使曲線C:y=g(x)-f(x)在點x=x0處的切線斜率與f(x)在R上的最小值相等？若存在，求符合條件的x0的個數；若

7、不存在，請說明理由． 19. 圍建一個面積為360?m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2?m的進出口，己知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x?m，修建此矩形場地圍墻的總費用為y元． (Ⅰ)將y表示為x的函數： (Ⅱ)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用° 20. 已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=1，an>0，(an+1+1)(an+1-1)=4(Sn+n)． (1)求數列{an}的通項公式； (

8、2)設bn=1Sn(an+a3)(n∈N*)，Tn=b1+b2+…+bn是否存在最大的整數m，使得對任意的n均有Tn>m2020總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由．  -------- 答案與解析 -------- 1.答案：B 解析：【分析】 本題主要考查了充分與必要條件的判斷，解題的關鍵是根據導數知識把函數的單調性與函數的導數聯系一起． 對函數求導，由f(x)在(-∞,+∞)內單調遞增，可得f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立，從而可求m的取值范圍，即可判斷． 【解答】 解：對函數求導可得，f'(x)=3x2+4x+m， ∵f(x)在(-∞,+∞)內單調遞

9、增， 則f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立． 即3x2+4x+m≥0恒成立 從而Δ=16-12m≤0 ∴m≥43， 當q：m>43?f'(x)>0， ∴f(x)在(-∞,+∞)內單調遞增；反之則不成立， 故p是q的必要不充分條件， 故選：B． 2.答案：C 解析：【分析】 考查學生理解一元二次不等式解集求法的能力，會解一元二次不等式的能力，是一道基礎題．根據不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|10的解集是?{?x|1

10、=a(x-1)(x-2)且a<0， 解得a=-12，b=32． 則不等式bx2+ax-1<0變?yōu)?x2-x-2<0， 解得：-23

11、 本題主要考查集合的真子集個數的判斷，屬于基礎題 先確定集合中元素的個數即可． 【解答】 解：因為集合A={x|x∈Z|-x2+x+2>0} ={x∈Z|-1

12、式可得x+y=(x+y)(4x+1y)=4yx+xy+5≥24yx?xy+5=9， 當且僅當4yx=xy，即x=2y=6時，等號成立， 所以x+y的最小值為9.因此m≤9. 故選D． 6.答案：C 解析：【分析】 本題考查了交集的運算，以及一元二次不等式，是基礎題． ?解不等式得到集合A，再根據交集的定義計算，即可得到答案． 【解答】 解：A=xx2-2>x=x|-1

13、二次函數的性質求出m的范圍． 【解答】 解：令f(x)=x2+(m-2)x+5-m， 由題意可得Δ=m-22-45-m≥02-m2>2f2=4+m-2×2+5-m>0, 解得-5-b>0，∴a2>b2，因此A不正確； 對于選項B，∵a0，∴aab

14、，∵a0，∴a<-b，故D不正確， 故選B． 9.答案：B 解析：【分析】 本題為比較大小的題目，考查根據題意構造函數、利用導數研究函數的單調性，題目為中檔題． 設f(x)=x3-15x，可得f(x)的單調遞減區(qū)間為-5,5；f(x)的單調遞增區(qū)間為-∞,-5，5,+∞，由5<52

15、3-15b， 即a3+15bb>c， 故選：B． 12.答案：D

16、解析：【分析】 本題考查函數奇偶性、利用基本不等式求最值，有一定難度． 根據f(-x)+f(x)=4，可得1a+2b=1，變形b=2aa-1，代入3aa-1+4bb-2，利用基本不等式可得最小值． 【解答】 解：， ， ∵正實數a，b滿足f(1a)+f(2b-1)=4， ∴1a+2b=1，∴b=2aa-1>0，∴a>1， 則3aa-1+4bb-2=7+3a-1+8b-2 =7+3a-1+82aa-1-2 =7+3a-1+4(a-1)?7+43， 當且僅當4(a-1)=3a-1即a=1+32時取等號，此時取得最小值7+43． 故選：D． 13.答案：A 解析：解：依題意，如圖建立平

17、面直角坐標系， 設C(0,c)，B(b,0)，(b>0,c>0)， 則因為D為AC中點，∴A(-b,-c)，D(-b2,0) 又因為E為AB中點，∴E(0,-c2)， ∴AC=(b,2c)，AB=(2b,c) 則cosA=2b2+2c2b2+4c2?4b2+c2=2(bc)2+2[(bc)2+4][4(bc)2+1]， 令t=2(bc)2+2，則t>2， ∴cosA=t(t2+3)(2t-3)=tt2+92t-9=1-9(1t)2+92?1t+1， ∴當1t=-922×(-9)=14，即t=4時，cosA有最小值45． 故選：A． 建立坐標系，設出C，E兩點坐標，表示出A，B兩點坐標，將cos

18、A的最小值轉化為向量的數量積運算處理． 本題考查了向量的坐標運算，考查了二次函數的最值，主要考查分析解決問題的能力和計算能力，推理轉化能力，屬于難題． 14.答案：269 解析：【分析】 本題考查平面向量數量積的運算及利用基本不等式求最值，熟練掌握向量的運算法則和數量積運算是解題的關鍵，利用向量的加減運算及數量積運算，將AE?AF用b，c表示，然后利用基本不等式求解即可． 【解答】 解：AE?AF=23AB+13AC?13AB+23AC =29(AB2+AC2)+59AB?AC =29(c2+b2)+59bc×12 =29(b+c)2-16bc≥29(b+c)2-16×(b+c)2

19、4=269 (當且僅當b=c=2時等號成立)， 即AE?AF的最小值為269， 故答案為269． 15.答案：3+224 解析：【分析】 本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題． 利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值(和定積最大，積定和最小)；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立(主要注意兩點，一是相等時參數否在定義域內，二是多次用≥或≤時等號能否同時成立)． 【解答】 解：由題意得 當且僅當xy=2yx，即y=4-22，x=42-4取等號 故答案為3+224． 16.答案：

20、解：設內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c． (1)由正弦定理及sinA-sinB+sinCsinC=sinBsinA+sinB-sinC 得a-b+cc=ba+b-c，整理得b2+c2-a2=bc， ， 又0a=3， ∴b+c∈3,6； 法二：設ABC外接圓半徑為R，由正弦定理得：2R=asin?A=23． ∴b+c=23(sin?B+sin?C)=23[sin?B+si

21、n?(23π-B)]=6sin?(B+π6)， 由0BC， 所以∠BDC為銳角， 所以； (2)在△A

22、BD中，AD=3，BD=3，， 所以AB=AD2+BD2=23， 在△ABE中，由余弦定理得， 所以12=AE2+BE2-AE·BE≥2AE·BE-AE·BE=AE·BE，當且僅當AE=BE時等號成立， 所以AE·BE≤12， 所以， 即△ABE面積的最大值為33． 解析：本題考查解三角形的應用，考查了正弦定理，余弦定理和三角形面積公式的知識． (1)在△BCD中，由正弦定理可得sin∠BDC=12，再結合邊的大小關系可得； (2)在△ABD中，由勾股定理得AB=23，然后在△ABE中，由余弦定理得AE·BE≤12，最后根據三角形的面積公式可得所求最大值． 18.答案：解：(1)f'(x)

23、=ex+a，把x=1代入得：f'(1)=e+a， 把x=1代入f(x)得：f(1)=e+a，所以切點坐標為(1,e+a)， 則在x=1處的切線為y-(e+a)=(e+a)(x-1)即：y=(e+a)x， 與y2=4(x-1)聯立，消去得(e+a)2x2-4x+4=0， 由△=0知，a=1-e或a=-1-e； (2)f'(x)=ex+a， ①當a>0時，f'(x)>0，f(x)在R上單調遞增， 且當x→-∞時，ex→0，ax→-∞， ∴f(x)→-∞，故f(x)>0不恒成立，所以a>0不合題意； ②當a=0時，f(x)=ex>0對x∈R恒成立，所以a=0符合題意； ③當a<0時令f'(x)=ex

24、+a=0，得x=ln(-a)， 當x∈(-∞,ln(-a))時，f'(x)<0， 當x∈(ln(-a),+∞)時，f'(x)>0， 故f(x)在(-∞,ln(-a))上是單調遞減，在(ln(-a),+∞)上是單調遞增， 所以[f(x)]min=f(ln(-a))=-a+aln(-a)>0， 解得a>-e， 又a<0，∴a∈(-e,0)， 綜上：a∈(-e,0]． (3)當a=-1時，由(2)知[f(x)]min=f(ln(-a))=-a+aln(-a)=1， 設h(x)=g(x)-f(x)=exlnx-ex+x， 則h'(x)=exlnx+ex?1x-ex+1=ex(lnx+1x-1)+1，

25、假設存在實數x0∈(0,+∞)，使曲線C：y=g(x)-f(x)在點x=x0處的切線斜率與f(x)在R上的最小值相等，x0即為方程的解， 令h'(x)=1得：ex(lnx+1x-1)=0， 因為ex>0，所以lnx+1x-1=0． 令φ(x)=lnx+1x-1，則φ'(x)=1x-1x2=x-1x2， 當01時φ'(x)>0， 所以φ(x)=lnx+1x-1在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增， ∴φ(x)>φ(1)=0，故方程ex(lnx+1x-1)=0有唯一解為1， 所以存在符合條件的x0，且僅有一個x0=1． 解析：此題考查學生會利用導數求

26、切線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負確定函數的單調區(qū)間，會利用導數研究函數的極值，掌握導數在最大值、最小值問題中的應用，是一道中檔題． (1)求出f(x)的導函數，把c=1代入導函數中求出的導函數值即為切線方程的斜率，把x=1代入f(x)求出切點的縱坐標，根據切點坐標和斜率寫出切線的方程，把切線方程與拋物線聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，根據直線與拋物線相切，得到方程的根的判別式等于0，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值； (2)求出f(x)的導函數，分a大于0，a=0和a小于0三種情況考慮，當a大于0時，導函數大于0，即函數為增函數，利用極限的思想得到函數恒大于0不

27、成立；當a=0時，得到函數恒大于0，滿足題意；當a小于0時，令導函數等于0，求出x的值，由x的值分區(qū)間討論導函數的正負，得到函數的單調區(qū)間，進而得到f(x)的最小值，讓最小值大于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，綜上，得到滿足題意的a的取值范圍； (3)把a=-1代入到(2)中求出的f(x)的最小值中，確定出f(x)的最小值，設h(x)=g(x)-f(x)，把g(x)和f(x)的解析式代入確定出h(x)，求出h(x)的導函數，假如存在x0∈(0,+∞)，使曲線C：y=g(x)-f(x)在點x=x0處的切線斜率與f(x)在R上的最小值相等，令h(x)導函數等于f(x)

28、的最小值，得到lnx+1x-1=0，設φ(x)等于等式的右邊，求出φ(x)的導函數，利用導函數的正負確定出φ(x)的最小值為φ(1)等于0，得到方程有唯一的解，且唯一的解為f(x)的最小值． 19.答案：解：(Ⅰ)設矩形的另一邊長為am， 則y=45x+180(x-2)+180?2a=225x+360a-360． 由已知ax=360，得a=360x， 所以y=225x+3602x-360(x>2); (Ⅱ)因為x>0，所以225x+3602x≥2225×3602=10800， 所以y=225x+3602x-360≥10440， 當且僅當225x=3602x時，等號成立． 即當x=24m時，修建

29、圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元． 解析：函數的實際應用題，我們要經過析題→建?！饽！€原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大(小)化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大(小)是最優(yōu)化問題中，最常見的思路之一． (Ⅰ)設矩形的另一邊長為am，則根據圍建的矩形場地的面積為360m2，易得a=360x，此時再根據舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，我們即可得到修建圍墻的總費用y表示成x的函數的解析式； (Ⅱ)根據(1)中所得函數的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場地圍墻的總費用最

30、小值，及相應的x值． 20.答案：解：(1)(an+1+1)(an+1-1)=4(Sn+n)，則an+12=4Sn+4n+1， 則當n≥2時，an2=4Sn-1+4(n-1)+1， 兩式相減可得an+12-an2=4(Sn-Sn-1)+4=4an+4， ∴an+12=an2+4an+4=(an+2)2， 又由an>0，∴an+1=an+2，即an+1-an=2， 又a1=1，a2=3，∴a2-a1=2， ∴數列{an}是表示首項a1=1，公差為2的等差數列， 所以an=2n-1； (2)bn=1sn(an+a3)=1n(an+5)=1n(2n+4)=12n(n+2)=14(1n-1n+2)

31、， Tn=141-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2=38-141n+1+1n+2≥16， 假設存在整數m滿足Tn>m2020總成立，即m2020<16， 所以m<10103.又∵m∈N*， ∴適合條件的m的最大值為336． 解析：本題考查數列的遞推關系，數列的通項公式，數列的求和，考查不等式恒成立問題，考查分析與計算能力，計算量大，屬于中檔題． (1)由題及數列的遞推關系，計算得數列{an}是表示首項a1=1，公差為2的等差數列，即可得到答案； (2)bn=14(1n-1n+2)，得到Tn，利用裂項相消法及不等式恒成立問題，計算求解即可得到答案． 專心---專注---專業(yè)