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1、數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法 課程的內容課程的內容三種方程、 四種求解方法、 二個特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動方程、熱傳導、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù) 數(shù)學物理方程定義數(shù)學物理方程定義描述某種物理現(xiàn)象的數(shù)學微分方程。一、一、 基本方程的建立基本方程的建立第一章第一章 數(shù)學物理方程的一些數(shù)學物理方程的一些基本知識基本知識二、二、 定解條件的推導定解條件的推導三、三、 定解問題的概念定解問題的概念一、一、 基本方程的建立基本方程的建立條件：均勻柔軟的細弦，在平衡位置附近產生振幅極小的 橫振動。不受外力影響。例例1、弦的振動、弦的振動研究對象：線上某點在 t 時刻沿縱向
2、的位移。( , )u x t簡化假設：(2)振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛頓運動定律：sinsinTTgdsma橫向：coscosTT縱向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )dd
3、u xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx一維波動方程2Ta 令：-非齊次方程非齊次方程自由項22222uuatx-齊次方程齊次方程忽略重力作用：例例2 2、熱傳導、熱傳導所要研究的物理量：溫度 ),(tzyxu根據(jù)熱學中的傅立葉試驗定律在dt時間內從dS流入V的熱量為：從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為 tSukQttSdd211 高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著
4、該體積的面積分） tVukQttVdd2121 tSnukQdddtSnukddtSukdd熱傳導現(xiàn)象：當導熱介質中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場MSSVntVukQttVdd2121 ),(1tzyxu),(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),(),(12221QQ 流入的熱量導致V內的溫度發(fā)生變化 2121dddd2ttVttVtVtuctVuktucuk22ukutc02 ufuatu22流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：VttucVttdd21 21ddttVtVtuc22au熱傳導方程熱場MSSVn同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊
5、界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。二、定解條件的推導二、定解條件的推導其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。初始時刻的溫度分布：B、熱傳導方程的初始條件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件條件A、 波動方程的初始條件00|( )( )ttuxuxt1、初始條件、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點的初位移系統(tǒng)各點的初速度(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用
6、。2、邊界條件、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A、 波動方程的邊界條件(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：0|0,xu( , )0u a t 或：0 x auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承。x ax auTkux 或0 x auuxB、熱傳導方程的邊界條件(1) 給定溫度在邊界上的值|sufS給定區(qū)域v 的邊界(2) 絕熱狀態(tài)0sun(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：單位時間內從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS
7、 tn 交換系數(shù)； 周圍介質的溫度1k1u1SSuuun1kk第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件1 1、定解問題、定解問題三、定解問題的概念三、定解問題的概念(1) 初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。 把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應的定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題。定解問題的檢驗定解問題的檢驗 解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應 的微小變動。3 3、線性偏微分方程的分類、線性偏
8、微分方程的分類 按未知函數(shù)及其導數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程 按自由項是否為零分為齊次方程和非齊次方程2 2、微分方程一般分類、微分方程一般分類 (1) 按自變量的個數(shù)，分為二元和多元方程；(2) 按未知函數(shù)及其導數(shù)的冪次，分為線性微分方程和 非線性微分方程；(3) 按方程中未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階 和高階微分方程。線性方程的解具有疊加特性 iifLu ffiuuifLu 0iLuuui0Lu4 4、疊加原理、疊加原理 幾種不同的原因的綜合所產生的效果等于這些不同原因單獨產生的效果的累加。(物理上)xxuatu2222222222uuauxt222uuaxuxt222110uu判斷下列方程的類型思考5 5、微分方程的解、微分方程的解 古典解：如果將某個函數(shù) u 代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，則這個函數(shù)就是該偏微分方程的解。通解： 解中含有相互獨立的和偏微分方程階數(shù)相同的任意常數(shù)的解。 特解： 通過定解條件確定了解中的任意常數(shù)后得到的解。 形式解：未經(jīng)過驗證的解為形式解。 6 6、求解方法、求解方法分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法
數(shù)學物理方法 課件教案
