數(shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)第二部分 專(zhuān)題五不等式解答題的解法

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1、專(zhuān)題五專(zhuān)題五 不等式解答題的解法不等式解答題的解法數(shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)第二部分?jǐn)?shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)第二部分考題剖析考題剖析 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 0315不等式解答題的解法不等式解答題的解法應(yīng)試策略應(yīng)試策略 07 1.近三年高考各試卷不等式考查情況統(tǒng)計(jì) 2005年、2006年、2007年高考卷的解答題中，每年都有不等式的題出現(xiàn)，但單獨(dú)作為一個(gè)題的形式不是很多，2005年有3道，2007年的19套試卷中，也只有2道，是關(guān)于解不等式，處于第一個(gè)題的位置，屬于容易題.而一般都是與其它知識(shí)綜合，考查解不等式、證不等式，有一定的難度.不等式與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角、函數(shù)等問(wèn)題綜合，其中與數(shù)列綜合是最多的，但

2、近兩年出現(xiàn)了二項(xiàng)式的函數(shù)與不等式相結(jié)合的題,如2007年的湖北卷、四川卷，值得注意.試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)不等式解答題的解法不等式解答題的解法 不等式這部分知識(shí)，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用.因此不等式應(yīng)用問(wèn)題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，對(duì)數(shù)學(xué)各部分知識(shí)融會(huì)貫通，起到了很好的促進(jìn)作用.在解決問(wèn)題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明.不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫穿在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中.諸如集合問(wèn)題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問(wèn)題，無(wú)一不與不

3、等式有著密切的聯(lián)系，許多問(wèn)題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明.試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)不等式解答題的解法不等式解答題的解法 2.2.主要特點(diǎn) 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都有廣泛的應(yīng)用，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和重要工具，所以不等式一直是高考數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn).歷年高考試 題， 涉及不等式的內(nèi)容的考題大致可分為以下幾種類(lèi)型： 解不等式； 證明不等式； 取值范圍問(wèn)題； 應(yīng)用問(wèn)題. 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)不等式解答題的解法不等式解答題的解法試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 試題主要有如下特點(diǎn)： （1）突出重點(diǎn)，綜合考查.高考命題遵循在“知識(shí)與方法的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)命題”，不等式能和所有的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)成廣泛的聯(lián)系

4、，因此高考試題中不等式常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、三角等進(jìn)行綜合. （2）高考突出主干知識(shí)和重要數(shù)學(xué)思想的考查，這是高考不變的立意.解含參數(shù)的不等式能較好地體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)整合、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.因此，含參數(shù)的不等式在歷年高考中?？疾凰? （3）導(dǎo)數(shù)是解決不等式問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具，因此高考中加強(qiáng)了以導(dǎo)數(shù)為載體的導(dǎo)數(shù)、不等式、函數(shù)的綜合. （4）高考中除單獨(dú)考查不等式的試題外，常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等試題中涉及不等式的知識(shí)，加強(qiáng)了不等式作為一種工具作用的考查.不等式解答題的解法不等式解答題的解法應(yīng)應(yīng) 試試 策策 略略 1.不等式的解法 在復(fù)習(xí)不等式的解法時(shí)，要加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的

5、訓(xùn)練與復(fù)習(xí).解不等式的過(guò)程是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化可簡(jiǎn)化不等式(組)，以快速、準(zhǔn)確求解. (1)解一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）是解其他各類(lèi)不等式的基礎(chǔ).必須熟練掌握，靈活應(yīng)用. (2)解高次不等式、分式不等式，首先使不等式一邊是零，一邊是一次因式（一次項(xiàng)系數(shù)為正）或二次不完全平方式的積與商的形式（注意二次因式恒正恒負(fù)的情況），然后用數(shù)軸標(biāo)根法寫(xiě)出解集（尤其要注意不等號(hào)中帶等號(hào)的情形）.應(yīng)試策略應(yīng)試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法 (3)解絕對(duì)值不等式的常用方法： 討論法：討論絕對(duì)值中的式子大于零還是小于零，然后去掉絕 對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般不等式. 等價(jià)變形：解絕

6、對(duì)值不等式常用以下等價(jià)變形 xa x2a2 axa(a0) xa x2a2 xa或xa(a0) 一般地有：f(x)g(x) g(x)f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x) (4)對(duì)于解含參數(shù)不等式，要充分利用不等式性質(zhì).對(duì)參數(shù)的討論，要不“重復(fù)”不“遺漏”.一要考慮參數(shù)總的取值范圍,二要用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分，三要使得劃分后，不等式的解集的表達(dá)式是確定的.應(yīng)試策略應(yīng)試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法 2.掌握算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理 定理 如果a,bR,那么a2b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”）. 定理 如果a,b是正數(shù)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b

7、時(shí)，取“=”) (1)二元均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn) 化為“和式”的放縮功能. (2)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件、合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解 題技巧，而拆與湊的成因在于使等號(hào)能夠成立.應(yīng)試策略應(yīng)試策略abba2不等式解答題的解法不等式解答題的解法 (3)“和定積最大，積定和最小”，即2個(gè)正數(shù)的和為定值，則可求其積的最大值；積為定值，則可求其和的最小值. 應(yīng)用此結(jié)論求值要注意三個(gè)條件： 各項(xiàng)或因式非負(fù)； 和或積為定值； 各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值. 必要時(shí)要作適當(dāng)?shù)淖冃危詽M(mǎn)足上述前提.應(yīng)試策略應(yīng)試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法 3.不等式證明 在不等式證

8、明中，加強(qiáng)化歸思想的復(fù)習(xí).證明不等式的過(guò)程是一個(gè)把已知條件向要證明的結(jié)論的一個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程，既可考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，又可考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.正因?yàn)樽C明不等式是高考考查學(xué)生代數(shù)推理能力的重要素材，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起足夠重視. (1)證明不等式的常用方法有：比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法.其他方法如：放縮法、反證法、換元法、判別式法證明不等式在高考中不作過(guò)高要求.應(yīng)試策略應(yīng)試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法 (2)比較法有求差比較法和求商比較法兩種模式.求差比較法中的變形可以變成平方和、常數(shù)、因式的積；求商比較法要注意對(duì)分母的符號(hào)進(jìn)行討論.比較法在符號(hào)確定的前提下，可以轉(zhuǎn)化為乘方問(wèn)

9、題來(lái)解決：如果a，b0,則a2b2 ab. (3)利用綜合法、分析法證明不等式經(jīng)常使用的基本不等式有： a20,aR; a2b22ab,a,bR; , a,bR;abba2應(yīng)試策略應(yīng)試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法 abc3 ,a,b,cR; 利用基本不等式的變式： ,(其中a,bR). 分析法是從要證的結(jié)論入手，尋找其充分條件，即執(zhí)果索因；綜合法為分析法的逆過(guò)程，即由因?qū)Ч粡?fù)雜的不等式證明要注意幾種方法的結(jié)合使用. (4)涉及到數(shù)列或與自然數(shù)有關(guān)的不等式可考慮數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用,涉及到函數(shù)的不等式可考慮構(gòu)造函數(shù),應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決.3abc;)2(2222baba2211222baba

10、abba應(yīng)試策略應(yīng)試策略不等式解答題的解法不等式解答題的解法考考 題題 剖剖 析析考題剖析考題剖析1.（2007石家莊質(zhì)檢題）解關(guān)于x的不等式：x|xa| (a0).922a 解析當(dāng)xa時(shí)，不等式可化為 即 ax當(dāng)x .|41a 分析 因?yàn)閤R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點(diǎn)確定，故設(shè)f(x)=a(xx0)2f(x0). 證明 由題意知，a0.設(shè)f(x)=a(xx0)2f(x0)，則f(x0)= 又二次方程ax2bxc=x無(wú)實(shí)根，故1=(b1)24ac0，2=(b1)24ac0.所以(b1)2(b1)28ac0，即2b228ac0，即b24ac1，所以|b24ac|1.故aacb

11、442|41|4|4|44| )(|220aaacbaacbxf不等式解答題的解法不等式解答題的解法由b24ac1 即|ax2bxc| 成立考題剖析考題剖析|41a|41a 點(diǎn)評(píng) 從上述例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題時(shí)，如果針對(duì)題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑.不等式解答題的解法不等式解答題的解法考題剖析考題剖析3. (2007廣東中山市模擬題）已知數(shù)列an中a1=2，an1=( 1)(an2)，n=1，2，3，. （）求an的通項(xiàng)公式； （）若數(shù)列bn中b1=2，bn1= ，n=1，2，3，.證明： bna4n3，n=1，2，3，.23

12、243nnbb2 解析（）由題設(shè)：an1=( 1)(an2)=( 1)(an )( 1)(2 )=( 1)(an ) ，an1 =( 1)(an ).22222222222不等式解答題的解法不等式解答題的解法考題剖析考題剖析所以，數(shù)列an是首項(xiàng)為2 ，公比為 1的等比數(shù)列，an = ( 1)n，即an的通項(xiàng)公式為an= ( 1)n1，n=1，2，3， （）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）當(dāng)n=1時(shí)，因 2，b1=a1=2，所以 b1a1，結(jié)論成立.（）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即 bka4k3，也即0bk a4k3 .222222222222不等式解答題的解法不等式解答題的解法考題剖析考題剖析當(dāng)n=k1

13、時(shí)，bk1 = 又所以bk1 =a4k1 .也就是說(shuō)，當(dāng)n=k1時(shí)，結(jié)論成立.根據(jù)（）和（）知 0，a1)是區(qū)間a2，a3上的兩個(gè)函數(shù). （1）求a的取值范圍； （2）討論f1(x)與f2(x)在區(qū)間a2，a3上是否是接近的.考題剖析考題剖析ax1不等式解答題的解法不等式解答題的解法 解析 （1）a0且a1，當(dāng)xa2，a3時(shí)，要使函數(shù)f1(x)=loga(x3a)有意義， a23a0，即a0，即aR 由和得0a1，即為a的取值范圍.考題剖析考題剖析ax1 （2）要判斷f1(x)與f2(x)在區(qū)間a2，a3上是否是接近的，只須檢驗(yàn)|f1(x)f2(x)|1在區(qū)間a2，a3上是否恒成立.|f1(x

14、)f2(x)|=|loga(x3a)loga | = |loga(x3a)(xa)|，設(shè)|loga(x3a)(xa)|1，則1loga(x3a)(xa)1，即1loga(x24ax3a2)1 ax1不等式解答題的解法不等式解答題的解法考題剖析考題剖析設(shè)g(x)=x24ax3a2=(x2a)2a2，拋物線g(x)開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為x=2a.0a1，02a2a2a3，函數(shù)g(x)在區(qū)間a2，a3上是增函數(shù).設(shè)a2x1x2a3，則g(x1)g(x2)，0alogag(x2).設(shè)h(x)=loga(x24ax3a2)，則h(x)在區(qū)間a2，a3上是減函數(shù)，h(x)max=h(a2)=loga(44a

15、)，h(x)min=h(a3)=loga(96a)，不等式解答題的解法不等式解答題的解法式成立的充要條件是： 當(dāng)a(0， 時(shí)，f1(x)與f2(x)在區(qū)間a2，a3上是接近的；當(dāng)a( ，1)時(shí)，f1(x)與f2(x)在區(qū)間a2，a3上是非接近的.考題剖析考題剖析aaaaaaaa169,44, 1)69(log, 1)44(log,12579, 0(125790,540aaa1257912579 點(diǎn)評(píng)高考題中常常出現(xiàn)和高中知識(shí)有關(guān)的新的定義，本題中定義了兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上接近的定義，解題時(shí)必須先搞懂兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上接近的定義.對(duì)數(shù)的運(yùn)算是學(xué)生的一個(gè)薄弱環(huán)節(jié)，本題涉及到對(duì)數(shù)的運(yùn)算.二次函數(shù)的最值問(wèn)題

16、也是重點(diǎn)內(nèi)容之一.不等式解答題的解法不等式解答題的解法 5.（2007惠州市調(diào)研一）已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)滿(mǎn)足0f (x)時(shí)，總有f(x)x成立； （3）對(duì)任意x1,x2，若滿(mǎn)足|x1|1,|x2|1，求證|f(x1)f(x2)|，則=f()f()，在與之間必存在一點(diǎn)c，c，由題意使等式=f()f()=()f (c)成立， 因?yàn)?，所以必有f (c)=1，但這與0f (x)0，h(x)為增函數(shù).又h()=f()=0,當(dāng)x時(shí)，h(x)0，即xf(x). (3) 不妨設(shè)x1x2，0f (x)1, f(x)為增函數(shù)，即f(x1)f(x2).又f (x)10,函數(shù)f(x)x為減函數(shù). 即f(x1)x1f(x2)x2,0f(x2)f(x1)x2x1. 即|f(x2)f(x1)|x2x1|.|x2x1|x2|x1|2,|f(x1)f(x2)|2.不等式解答題的解法不等式解答題的解法