湖南省邵陽市中考數(shù)學提分訓練 銳角三角函數(shù)（含解析）.doc

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xx年中考數(shù)學提分訓練: 銳角三角函數(shù) 一、選擇題 1.在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，AB=5，則tanA的值是（ ） A.B.C.D. 2.如圖，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60，∠C＝45，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點E，則AE的長為（ ） A.B.2 C.D.3 3.在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點A，B，O都在格點上，則∠A的正弦值是（ ） A.B.C.D. 4.已知 是等腰直角三角形的一個銳角，則 的值為（ ） A.B.C.D.1 5.一輛小車沿著如圖所示的斜坡向上行駛了100米，其鉛直高度上升了15米．在用科學計算器求坡角α的度數(shù)時，具體按鍵順序是（ ） A.B. C.D. 6.在△ABC中，∠C=90，AB=6，cosA= ，則AC等于（ ）. A.18B.2C.D. 7.如圖，小強從熱氣球上測量一棟高樓頂部B的仰角為30，測量這棟高樓底部C的俯角為60，熱氣球與高樓的水平距離為45米，則這棟高樓高為（ ）米 A.15 B.30 C.45 D.60 8.△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，則△ABC一定是（ ） A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.有一個角是60的三角形 9.如圖，矩形ABCD中，O為AC的中點，過點O的直線分別與AB，CD交于點E，F(xiàn)，連接BF交AC于點M，連接DE，BO.若∠COB＝60，F(xiàn)O＝FC，則下列結(jié)論：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四邊形EBFD是菱形；④MB∶OE＝3∶2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ） A.1B.2C.3D.4 10.如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=6，點C是優(yōu)弧 上一點（不與A，B重合），則cosC的值為（ ） A.B.C.D. 11.如圖，四邊形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是邊長為1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1 ， …，∠A5CB5=a5 ． 則tana?tana1+tana1?tana2+…+tana4?tana5的值為（ ） A.B.C.1D. 二、填空題 12.計算：tan60﹣cos30=________． 13.已知∠A是銳角，且tanA= ，則∠A=________． 14.坡角為α=60，則坡度i=________． 15.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣2， ），以原點O為中心，將點A順時針旋轉(zhuǎn)165得到點A′，則點A′的坐標為________. 16.如圖，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足為點H，如果AH=BC，那么sin∠BAC的值是________． 17.在Rt△ABC中，∠C=90，AB=2，BC= ，則sinA=________． 18.已知△ABC，AB=AC，BC=8，點D、E分別在邊BC、AB上，將△ABC沿著直線DE翻折，點B落在邊AC上的點M處，且AC=4AM，設(shè)BD=m，那么∠ACB的正切值是________．（用含m的代數(shù)式表示） 19.如圖，為了測量河的寬度AB，測量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處測得河岸B處的俯角為45，測得河對岸A處的俯角為30（A，B，C在同一條直線上），則河的寬度AB約為________． 三、解答題 20.計算：2cos45﹣tan60+sin30﹣|﹣ |． 21.某游樂場一轉(zhuǎn)角滑梯如圖所示，滑梯立柱 均垂直于地面，點 在線段 上.在 點測得點 的仰角為 ，點 的俯角也為 ，測得 間的距離為10米，立柱 高30米.求立柱 的高（結(jié)果保留根號）. 22.如圖，為了測量建筑物 的高度，在 處樹立標桿 ，標桿的高是 .在 上選取觀測點 、 ，從 測得標桿和建筑物的頂部 、 的仰角分別為 、 ，從 測得 、 的仰角分別為 、 .求建筑物 的高度（精確到 ） .（參考數(shù)據(jù)： ， ， .） 23.如圖1，水壩的橫截面是梯形ABCD，∠ABC＝37，壩頂DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）為1：0.5，壩底AB＝14m． （1）求壩高； （2）如圖2，為了提高堤壩的防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡將壩頂和壩底同時拓寬加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的長．（參考數(shù)據(jù)：sin37≈ ，cos37≈ ，tan37≈ ）  答案解析 一、選擇題 1.【答案】C 【解析】 ：∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，AB=5， ∴BC==3 ∴tanA== 故答案為：C 【分析】利用勾股定理先求出BC的長，再利用銳角三角形函數(shù)的定義，即可求出tanA的值。 2.【答案】C 【解析】 ∵AD⊥BC， ∴△ADC是直角三角形， ∵∠C=45， ∴∠DAC=45， ∴AD=DC， ∵AC=8， ∴AD=4 ， 在Rt△ABD中，∠B=60，∴BD= = = ， ∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30， ∴DE=BD?tan30= = ， ∴AE=AD-DE= ， 故答案為：C. 【分析】根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系得出AD的長，在Rt△ABD中，根據(jù)正切函數(shù)的定義由BD=得出BD的長，由DE=BD?tan30得出DE的長，再根據(jù)線段的和差，由AE=AD-DE即可得出答案。 3.【答案】A 【解析】 ：如圖， 由題意得：OC=2，AC=4，由勾股定理得：AO= =2 ，∴sinA= = ．故答案為：A． 【分析】延長AB與OC，兩線相交于點C，根據(jù)方格紙的特點得出OC=2，AC=4，由勾股定理得AO，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出答案。 4.【答案】B 【解析】 ∵α是等腰直角三角形的一個銳角，∴α=45，∴sinα=sin45= 故答案為：B． 【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及特殊銳角三角函數(shù)值得出答案。 5.【答案】A 【解析】 ：sinA= ， 所以用科學計算器求這條斜道傾斜角的度數(shù)時，按鍵順序為， 故答案為：A． 【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義，由sinA==0.15,再根據(jù)科學計算器的使用方法即可得出答案。 6.【答案】B 【解析】 在Rt△ABC中，∠C=90，cosA= ，又AB=6，所以AC=2． 故答案為：B． 【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，在Rt△ABC中，cosA= A C∶ A B，即可得出答案。 7.【答案】D 【解析】 ：過A作AD⊥BC，垂足為D， 在Rt△ABD中， ∵∠BAD=30 ， AD=45m， ∴BD=AD?tan30=45=m, 在Rt△ACD中， ∵∠CAD=60，AD=45m， ∴CD=AD?tan60=45=m BC=+=60m 故答案為 ：D 【分析】過A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，由BD=AD?tan30得出BD，在Rt△ACD中，由CD=AD?tan60得出CD,再根據(jù)BC=BD+CD得出答案。 8.【答案】D 【解析】 ∵△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0， ∴tanB﹣ =0或2sinA﹣ =0， 即tanB= 或sinA= ． ∴∠B=60或∠A=60． ∴△ABC有一個角是60． 故答案為：D． 【分析】根據(jù)兩個因式的積0，則這兩個因式至少有一個因式為0可得tanB-=0或2sinA-=0，解得tanB= ，或sinA= ，因為△ABC中，∠A，∠B均為銳角，由特殊角的銳角三角函數(shù)可得∠B=60或∠A=60．所以△ABC有一個角是60． 9.【答案】C 【解析】 連接BD， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AC、BD互相平分， ∵O為AC中點， ∴BD也過O點， ∴OB=OC， ∵∠COB=60，OB=OC， ∴△OBC是等邊三角形， ∴OB=BC=OC，∠OBC=60， 在△OBF與△CBF中， ， ∴△OBF≌△CBF（SSS）， ∴△OBF與△CBF關(guān)于直線BF對稱， ∴FB⊥OC，OM=CM； ∴①正確， ∵∠OBC=60， ∴∠ABO=30， ∵△OBF≌△CBF， ∴∠OBM=∠CBM=30， ∴∠ABO=∠OBF， ∵AB∥CD， ∴∠OCF=∠OAE， ∵OA=OC， 易證△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴OB⊥EF， ∴四邊形EBFD是菱形， ∴③正確， ∵△EOB≌△FOB≌△FCB， ∴△EOB≌△CMB不符合題意． ∴②錯誤， ∵∠OMB=∠BOF=90，∠OBF=30， ∴MB= ，OF= ， ∵OE=OF， ∴MB：OE=3：2， ∴④正確； 故答案為：C． 【分析】（1）連接BD，由矩形的性質(zhì)可得AC=BD，AC、BD互相平分，因為O為AC中點，所以AC、BD相較于O，則OB=OC，因為有一個角為60度的等腰三角形是等邊三角形，所以△OBC是等邊三角形，用邊邊邊定理可得△OBF≌△CBF，所以△OBF與△CBF關(guān)于直線BF對稱，由對稱的性質(zhì)可得FB⊥OC，OM=CM； （2）由已知可證得△EOB≌△FOB≌△FCB； （3）由（1）可得△OBF≌△CBF，所以∠OBM=∠CBM=-=30，所以∠ABO=∠OBF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠OCF=∠OAE，用邊角邊可證得△AOE≌△COF，所以O(shè)E=OF，OB⊥EF，根據(jù)菱形的判定可得四邊形EBFD是菱形， （4）因為∠OMB=∠BOF=90，∠OBF=30，所以tan∠OBF==,cos30==,而OE=OF，所以MB：OE=3：2。 10.【答案】D 【解析】 ：作直徑AD，連結(jié)BD，如圖． ∵AD為直徑，∴∠ABD=90．在Rt△ABD中，∵AD=10，AB=6，∴BD= =8，∴cosD= = = ．∵∠C=∠D，∴cosC= ．故答案為：D． 【分析】作直徑AD，連結(jié)BD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠ABD=90，在Rt△ABD中根據(jù)勾股定理得出BD的長，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出cosD的值，根據(jù)同弧所對的圓周角相等及等角的同名三角函數(shù)值相等得出結(jié)論。 11.【答案】A 【解析】 ：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得：tana= =1，tana1= = ，tana2= = …，tana5= = ，則tana?tana1+tana1tana2+…+tana4tana5=1 + + + + =1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ =1﹣ = ． 故答案為：A． 【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，依次算出tana，tana1，tana2，…，tana5的值，依次代入tana?tana1+tana1tana2+…+tana4tana5，并根據(jù)，進行化簡計算即可。 二、填空題 12.【答案】 【解析】 tan60﹣cos30= = . 故答案為： . 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，直接計算即可求解。 13.【答案】30 【解析】 ：∵∠A是銳角，tanA= ，∴∠A=30．故答案為：30．【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值即可得出答案。 14.【答案】 【解析】 ：坡度i=tanα=tan60= ．故答案為： ．【分析】根據(jù)坡度就是坡角的正切值，再根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)即可得出答案。 15.【答案】（ ，﹣ ） 【解析】 作AB⊥x軸于點B， ∴AB= OB=2， 則tan∠AOB= ， ∴∠AOB=60， ∴∠AOy=30， ∴將點A順時針旋轉(zhuǎn)165得到點A′后， ∠A′OC=165－30－90＝45, OA′=OA=2OB=4， ∴A′C=OC= , 即A′( ,? )， 故答案為：（ ，﹣ ）. 【分析】作AB⊥x軸于點B，根據(jù)點A的坐標得出AB,OB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出∠AOB的度數(shù)，進而得出∠AOy的度數(shù)，將點A順時針旋轉(zhuǎn)165得到點A′后，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)從而得出∠A′OC的度數(shù)，OA′=OA=2OB=4，進而得出A′C=OC= ，得出A′的坐標。 16.【答案】 【解析】 如圖，過點B作BD⊥AC于D，設(shè)AH=BC=2x， ∵AB=AC，AH⊥BC， ∴BH=CH= BC=x， 根據(jù)勾股定理得，AC= = x， S△ABC= BC?AH= AC?BD， 即 ?2x?2x= ? x?BD， 解得BC= x， 所以，sin∠BAC= ． 故答案為： 【分析】過點B作BD⊥AC于D，設(shè)AH=BC=2x，由等腰三角形三線合一可得BH=CH=BC=x，在直角三角形ACH中，根據(jù)勾股定理得，AC=,因為S△ABC=BC?AH=AC?BD，即?2x?2x=?x?BD，解得BC=x，在直角三角形ABD中，sin∠BAC=. 17.【答案】 【解析】 ：如圖 ∵Rt△ABC中，∠C=90，AB=2，BC=， ∴sinA= 故答案為： 【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義，即可求解。 18.【答案】 【解析】 如圖所示：作AH⊥BC，MG⊥BC，連結(jié)EM、MC． ∵AB=AC，BC=8，AH⊥BC， ∴CH=4． ∵AC=4AM， ∴CM：AC=3：4． ∵AH∥MG， ∴ ，即 ，解得：CG=3． ∴BG=5． ∴DG=m﹣5． 由翻折的性質(zhì)可知MD=BD=m． 在Rt△MGD中，依據(jù)勾股定理可知：MG= ． ∴tan∠ACB= ． 故答案為： ． 【分析】作AH⊥BC，MG⊥BC，連結(jié)EM、MC．由已知條件易得CM：AC=3：4．因為AH∥MG，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得,即，解得CG=3，所以BG=BC-CG=5，所以DG=BD-DG=m﹣5，由折疊的性質(zhì)可得MD=BD=m，在直角三角形MGD中，由勾股定理可得MG=,所以tan∠ACB=. 19.【答案】15.3m 【解析】 ：∵在Rt△ACD中，CD=21m，∠DAC=30，∴AC= = =21 m， 在Rt△BCD中， ∵∠EDB=45， ∴∠DBC=45， ∴BC=CD=21m， ∴AB=AC﹣BC=21 ﹣21≈15.3（m）， ∴河的寬度AB約是15.3m． 【分析】本題利用銳角三角函數(shù)解決實際問題，已知CD=21m，∠DAC=，用角的正切可以求出AC的值，因為△BCD是等腰直角三角形，所以AB=AC-21. 三、解答題 20.【答案】 ：原式=2 ﹣ + ﹣ = ﹣ 【解析】【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值，及絕對值的意義，先化簡，再根據(jù)實數(shù)的混合運算計算出結(jié)果。 21.【答案】解：作CF⊥AB于F，則四邊形HBDC為矩形， ∴BD=CF，BF=CD. 由題意得，∠ACF=30，∠CED=30， 設(shè)CD=x米，則AF=（30﹣x）米， 在Rt△AFC中，F(xiàn)C= ， 則BD=CF= ， ∴ED= -10， 在Rt△CDE中，ED= ，則 -10= ， 解得，x=15﹣ ， 答：立柱CD的高為（15﹣ ）米． 【解析】【分析】首先由仰角和俯角的定義，是水平線與視線方向的夾角，則可作CF⊥AB于F，此時CF//水平線，則四邊形HBDC為矩形，BD=CF，BF=CD；求CD，即設(shè)CD=x，由仰角和俯角可得到∠ACF=30，∠CED=30，用x表示出ED兩種代數(shù)式，構(gòu)造方程解答即可. 22.【答案】解：在 中， ， ∵ . ∴ . 在 中， ， ∵ ∴ . ∴ . 同理 . ∴ . 解得 . 因此，建筑物 的高度約為 【解析】【分析】在 Rt △ CED 中，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出DE =,在 Rt △CFD 中根據(jù)正切函數(shù)的定義得出DF=,由線段的和差表示出EF的長，同理再表示出EF的長，從而得出方程，求解得出AB的長。 23.【答案】（1）解： 過點D作DM⊥AB，垂足為M，過點C作CN⊥AB，垂足為N. 因背水坡AD的坡度i為1:0.5，∴tan∠DAB=2，設(shè)AM=x，則DM=2x. 又四邊形DMNC是矩形，∴DM=NC=2x. 在Rt△BNC中，tan∠ABC=tan37= ，∴BN= ， 由x+3+ ，得x=3，∴DM=6. 即壩高為6m. （2）解：過點F作FH⊥AB，垂足為H. 設(shè)DF=y，則AE=2y. EH=3+2y-y=3+y，BH=14+2y-(3+y)=11+y， 由FH⊥BE，EF⊥BF，得△EFH~△FBH. ∴ ，即 . ，解得y= 或y= （舍）. ∴DF= . 答：DF的長為 米 【解析】【分析】（1）已知∠ABC＝37和背水坡AD的坡度i，則過點D作DM⊥AB，垂足為M，過點C作CN⊥AB，垂足為N，由AB=AM+MN+BN，構(gòu)造方程解答；（2）過點F作FH⊥AB，垂足為H，由（1）可得FH=DM=6，又∵EF⊥BF，可證得EFH~△FBH，則 其中HF=6，而HB與EH可設(shè)FD=x，用含x的代數(shù)式分別求出EH和HB，然后代入 即可.