八年級數(shù)學(xué)上冊 第2章 特殊三角形 2.6 直角三角形（二）練習(xí) （新版）浙教版.doc

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2.6 直角三角形(二) A組 1．具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是(D) A． ∠A＋∠B＝∠C B． ∠A＝2∠B＝2∠C C． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D． ∠A＝∠B＝3∠C 2．已知一個(gè)三角形的其中一個(gè)角等于另兩個(gè)角的差，則這個(gè)三角形一定是直角三角形． (第3題) 3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F．若∠F＝30，DE＝1，則BE的長是__2__． 4．等腰三角形一腰上的高線等于這條腰的一半，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為30或150． 5．在△ABC中，2∠B＝∠A＋∠C，最小角∠A＝30，最長邊的中線為8 cm，則最短邊的長為__8__cm． 6．直角三角形斜邊上的高線長與中線長分別為5 cm和6 cm，則它的面積為__30__cm2． 7．如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A＝∠C．求證：△ABD是直角三角形． (第7題) 【解】　∵CE⊥AD， ∴∠CED＝90， ∴∠C＋∠D＝90． 又∵∠A＝∠C， ∴∠A＋∠D＝90， ∴△ABD是直角三角形． 8．如圖，已知AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P．求證：△PEF是直角三角形． (第8題) 【解】　∵AB∥CD， ∴∠BEF＋∠DFE＝180． ∵∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P， ∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE， ∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90． ∴△PEF是直角三角形． B組 (第9題) 9．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則△BDE的周長是__10__． 【解】　∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE垂直平分BC． ∵BC＝8，∴BE＝4． ∵D是AB的中點(diǎn)， ∴AD＝BD＝DE＝AB＝3． ∴C△BDE＝BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10． (第10題) 10．如圖，在等邊三角形ABC中，D，E分別為AB，BC邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且總使AD＝BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則＝____． 【解】　∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠ACB＝60． ∵AD＝BE，∴CE＝BD． 在△ACE和△CBD中， ∵ ∴△ACE≌△CBD(SAS)．∴∠CAE＝∠BCD． ∴∠AFG＝∠CAF＋∠ACF＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60． ∵AG⊥CD，∴∠FAG＝30．∴＝． (第11題) 11．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90，M，N分別是對角線AC，BD的中點(diǎn)，連結(jié)MN． (1)試猜想MN與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． (2)如果∠BCD＝45，BD＝2，求MN的長． 【解】　(1)MN⊥BD．證明如下： 連結(jié)BM，DM． ∵∠ADC＝90，M是AC的中點(diǎn)， ∴AC＝2DM＝2CM． 同理，AC＝2BM＝2CM，∴BM＝DM． ∵N是BD的中點(diǎn)，∴MN⊥BD． (2)由(1)，得BM＝CM，DM＝CM， ∴∠BCM＝∠CBM，∠DCM＝∠CDM． ∵∠AMB是△BCM的一個(gè)外角， ∴∠AMB＝∠BCM＋∠CBM＝2∠BCM． 同理，∠AMD＝2∠DCM． ∵∠BCD＝45，∴∠BCM＋∠DCM＝45． ∴∠BMD＝∠AMB＋∠AMD＝2(∠BCM＋∠DCM)＝90．∴△BMD是直角三角形． ∵N是BD的中點(diǎn)，BD＝2，∴MN＝BD＝1． 12．如圖，AD，BF分別是△ABC的高線與角平分線，BF，AD交于點(diǎn)E，∠1＝∠2．求證：△ABC是直角三角形． (第12題) 【解】　∵BF是△ABC的角平分線， ∴∠ABF＝∠CBF． ∵AD是△ABC的高線， ∴∠ADB＝90， ∴∠CBF＋∠BED＝90． ∵∠1＝∠2＝∠BED，∴∠ABF＋∠2＝90， ∴∠BAC＝90，∴△ABC是直角三角形． (第13題) 13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，BF∥AC交CE的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)DF．求證：AB垂直平分DF． 【解】　∵∠ACB＝90，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45，∠CAD＋∠CDE＝90． ∵CE⊥AD，∴∠CED＝90． ∴∠CDE＋∠DCE＝90． ∴∠CAD＝∠DCE，即∠CAD＝∠BCF． ∵BF∥AC，∴∠CBF＋∠ACB＝180， ∴∠CBF＝180－∠ACB＝90． ∴∠CBF＝∠ACD． 在△ACD和△CBF中，∵ ∴△ACD≌△CBF(ASA)． ∴CD＝BF． ∵D為BC的中點(diǎn)， ∴CD＝BD，∴BD＝BF． ∵BF∥AC， ∴∠ABF＝∠CAB＝∠DBA＝45． ∴AB垂直平分DF． 數(shù)學(xué)樂園 14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90，CD平分∠ACB，點(diǎn)E在AC上，且AE＝AD，EF⊥CD交BC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)O．求證：BF＝2AD． (第14題) 導(dǎo)學(xué)號：91354012 【解】　連結(jié)DF，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G． ∵∠A＝90，AD＝AE，AB＝AC， ∴∠ADE＝∠AED＝45，∠B＝∠ACB＝45， ∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD． ∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD． ∴∠EDC＝∠ACD．∴DE＝EC． ∵EF⊥CD，∴EF垂直平分CD． ∴FD＝FC．∴∠FDC＝∠FCD． ∴∠FDC＝∠ACD．∴DF∥AC． ∴∠DFB＝∠ACB＝45． ∴∠B＝∠BFD＝45． ∴BD＝DF，∠BDF＝90． ∴△DBF為等腰直角三角形． ∵DG⊥BF，∴DG為斜邊BF上的中線， ∴DG＝BF． ∵CD平分∠ACB，∠A＝∠DGC＝90， ∴AD＝DG．∴AD＝BF，即BF＝2AD．