高中數(shù)學(xué) 1.5.3 定積分的概念課件 新人教A版選修2-2.ppt

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1 5 3定積分的概念 定積分的概念 內(nèi)容 應(yīng)用 求定積分 利用定積分求不規(guī)則圖形的面積 定積分的幾何意義 本課主要學(xué)習(xí)定積分的概念 幾何意義及定積分的性質(zhì) 通過求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 了解定積分的背景 從求曲邊梯形的面積和變速運(yùn)動(dòng)行駛的路程出發(fā) 讓學(xué)生自己感受這兩類問題都是共同的特點(diǎn) 特定形式和的極限 從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)定積分的概念 再結(jié)合圖像理解定積分的幾何意義和掌握定積分的運(yùn)算性質(zhì)就容易理解和掌握了 設(shè)置了3個(gè)例題 通過解決具體問題鞏固定積分的概念 例題設(shè)置難易適度 每個(gè)例題后有針對(duì)性的練習(xí) 便于學(xué)生鞏固和掌握 另外題型涉及到用定積分的概念 運(yùn)算性質(zhì)和幾何意義去求解問題 培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力 微積分在幾何上有兩個(gè)基本問題 1 如何確定曲線上一點(diǎn)處切線的斜率 2 如何求曲線下方 曲線梯形 的面積 直線 幾條線段連成的折線 曲線 知識(shí)回顧 用 以直代曲 解決問題的思想和具體操作過程 分割 以曲代直 作和 逼近 求由連續(xù)曲線y f x 對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法 2 以直代曲 任取xi xi 1 xi 第i個(gè)小曲邊梯形的面積用高為f xi 寬為Dx的小矩形面積f xi Dx近似地去代替 4 逼近 所求曲邊梯形的面積S為 3 作和 取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值 xi 1 xi xi 1 分割 在區(qū)間 a b 上等間隔地插入n 1個(gè)點(diǎn) 將它等分成n個(gè)小區(qū)間 每個(gè)小區(qū)間寬度 x 如果當(dāng)n 時(shí) Sn就無限接近于某個(gè)常數(shù) 這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 記作 從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出 通過 四個(gè)步驟 分割 以直代曲 求和 逼近 1 曲邊梯形面積問題 2 變力作功問題 3 變速運(yùn)動(dòng)的距離問題 我們把這些問題從具體的問題中抽象出來 作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念提出來就是今天要講的定積分 由此我們可以給定積分的定義 它們都?xì)w結(jié)為 分割 近似求和 取逼近值 問題情境 定積分的定義 一般地 設(shè)函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上有定義 將區(qū)間 a b 等分成n個(gè)小區(qū)間 每個(gè)小區(qū)的長(zhǎng)度為 在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn) 依次為x1 x2 xi xn 作和如果無限趨近于0時(shí) Sn無限趨近于常數(shù)S 那么稱常數(shù)S為函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 記作 定積分的相關(guān)名稱 叫做積分號(hào) f x dx 叫做被積表達(dá)式 f x 叫做被積函數(shù) x 叫做積分變量 a 叫做積分下限 b 叫做積分上限 a b 叫做積分區(qū)間 積分下限 積分上限 按定積分的定義 有 1 由連續(xù)曲線y f x f x 0 直線x a x b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 2 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v v t 則此物體在時(shí)間區(qū)間 a b 內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s為 3 設(shè)物體在變力F F r 的方向上有位移 則F在位移區(qū)間 a b 內(nèi)所做的功W為 注 定積分?jǐn)?shù)值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間 a b 有關(guān) 與積分變量記號(hào)無關(guān) 1 由曲線y x2 1與直線x 1 x 3及x軸所圍成的曲邊梯形的面積 用定積分表示為 中 積分上限是 積分下限是 積分區(qū)間是 2 2 2 2 3 定積分 8 函數(shù)在區(qū)間 a b 上的定積分能否為負(fù)的 定積分 定積分 定積分的幾何意義 當(dāng)f x 0 定積分的幾何意義就是 曲線y f x 直線x a x b y 0所圍成的曲邊梯形的面積 當(dāng)函數(shù)f x 0 x a b 時(shí)定積分幾何意義 就是位于x軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù) 用定積分表示下列陰影部分面積 S S S 當(dāng)函數(shù)f x 在x a b 有正有負(fù)時(shí) 定積分幾何意義 就是圖中幾個(gè)曲邊圖形面積的代數(shù)和 x軸上方面積取正號(hào) x軸下方面積取負(fù)號(hào) 定積分的幾何意義 在區(qū)間 a b 上曲線與x軸所圍成圖形面積的代數(shù)和 即x軸上方的面積減去x軸下方的面積 例1 計(jì)算下列定積分 求定積分 只要理解被積函數(shù)和定積分的意義 并作出圖形 即可解決 定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 性質(zhì)2 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性 性質(zhì)3 例2 用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x f x x2 f x x2 1 2 f x 1 a b 1 2 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 例3 解 x y f x sinx 1 1 定積分的實(shí)質(zhì) 特殊和式的逼近值 2 定積分的思想和方法 求近似以直 不變 代曲 變 取逼近 3 定積分的幾何意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用 1 利用定積分的幾何意義 判斷下列定積分值的正 負(fù)號(hào) 利用定積分的幾何意義 說明下列各式 成立 1 2 1 2 試用定積分表示下列各圖中影陰部分的面積 0 y x y x2 1 2 0 x y g x a b y 2 面積值為圓的面積的