高中數(shù)學(xué) 2.4用向量討論垂直與平行課件 北師大版選修2-1.ppt

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成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索 北師大版 選修2 1 空間向量與立體幾何 第二章 2 4用向量討論垂直與平行 第二章 1 垂直問題 1 直線與直線垂直 只要兩直線的 垂直 兩直線必垂直 2 直線與平面垂直 直線的 若與平面的 平行 則直線與平面垂直 反之亦成立 3 平面與平面垂直 平面與平面垂直的充要條件是 方向向量 方向向量 法向量 兩平面的法向量互相垂直 2 平行問題 1 直線與直線平行 只要兩條直線的 2 直線與平面平行 直線的 若與平面的 垂直 直線不在平面內(nèi) 則直線與平面平行 3 平面與平面平行 當(dāng)兩平面的 兩平面不重合 時兩平面平行 方向向量平行且這兩條直線不共線即可 方向向量 法向量 法向量平行 3 三垂線定理 1 三垂線定理 若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線在該平面上的 則這兩條直線垂直 2 三垂線定理的逆定理 若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線 則這條直線也垂直于直線在該平面內(nèi)的 投影 投影 2 確定平面的法向量平面的法向量就是平面法線的方向向量 因此可以先確定平面的法線 再取它的方向向量 也可以直接判定向量與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直 而得到平面的法向量 確定平面的法向量通常有兩種方法 1 幾何體中已經(jīng)給出有向線段 只需證明線面垂直 2 幾何體中沒有具體的直線 此時可以采用待定系數(shù)法求解平面的法向量 3 對于空間中平行關(guān)系的向量表示的三點(diǎn)說明 1 直線與直線平行 關(guān)鍵看直線的方向向量是否共線 2 直線與平面平行 關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量是否垂直 或者看直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量是否共面 3 平面與平面平行 關(guān)鍵看兩平面的法向量是否共線 4 關(guān)于三垂線定理的理解 1 三垂線定理敘述的是平面內(nèi)直線a與平面的斜線b 及斜線b在平面內(nèi)的投影c三者之間的垂直關(guān)系 2 這里a與b可以相交 可以異面 3 三垂線定理是判斷或證明空間中線線垂直的主要依據(jù) 三垂線定理跨越了線面垂直 直接由線線垂直到線線垂直 為解決線線垂直提供了一條捷徑 5 直線的方向向量與平面法向量在確定直線 平面的平行關(guān)系中的應(yīng)用 1 若兩直線l1 l2的方向向量分別是u1 u2 則l1 l2 u1 u2 2 若兩平面 的一個法向量分別是n1 n2 則 n1 n2 3 若直線l的方向向量是u 平面 的一個法向量是n 則l u n u n 0 6 判定空間線 面垂直關(guān)系時 直線的方向向量與平面的法向量的確定方法在實(shí)際解題過程中 需要確定直線的方向向量和平面的法向量 通常是先確定直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo) 從而求出直線的方向向量 平面的法向量則通常需要確定平面內(nèi)不共線的三個點(diǎn)的坐標(biāo) 然后確定平面內(nèi)兩條直線的方向向量 最后用待定系數(shù)法求出平面法向量 1 設(shè)兩條直線所成角為 為銳角 則直線的方向向量的夾角與 A 相等B 互補(bǔ)C 互余D 相等或互補(bǔ) 答案 D 4 在空間直角坐標(biāo)系中 平面xOz的一個法向量是 A 1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 D 0 1 1 答案 B5 若直線l的方向向量為a 1 0 2 平面 的法向量為u 2 0 4 則 A l B l C l D l與 斜交 答案 B 解析 u 2a a u u為平面 的法向量 l 如圖所示 在正方體ABCD A1B1C1D1中 M N分別是C1C B1C1的中點(diǎn) 求證 MN 平面A1BD 線面平行 如圖 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 AB 5 AA1 4 點(diǎn)D是AB的中點(diǎn) 1 求證 AC BC1 2 求證 AC1 平面CDB1 如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 E F G H M N分別是正方體六個面的中心 求證 平面EFG 平面HMN 面面平行 分析 用向量證明面面平行有兩個途徑 利用面面平行的判定定理 即證明一個平面內(nèi)的兩個不共線向量都平行于另一個平面 證明兩個平面的法向量平行 總結(jié)反思 證明面面平行的向量方法有兩種 第一種是分別求出兩平面的法向量 再證明兩法向量平行 第二種是證明一個平面有兩不共線向量平行于另一平面 轉(zhuǎn)化為線面平行的問題 在正方體ABCD A1B1C1D1中 E F G分別為C1D1 B1C1 CC1的中點(diǎn) 求證 平面A1DB 平面EFG 證明 以D為原點(diǎn) 直線DA DC DD1分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 在正方體ABCD A1B1C1D1中 E F分別是BB1 D1B1的中點(diǎn) 求證 EF 平面B1AC 分析 可以從純幾何的角度和向量運(yùn)算的角度進(jìn)行證明 線面垂直 解析 證法一 如圖 取A1B1的中點(diǎn)G 連接EG FG A1B 則FG A1D1 EG A1B 總結(jié)反思 用向量法證明線面垂直的方法與步驟 1 基向量法 確定基向量作為空間的一個基底 用基向量表示有關(guān)直線的方向向量 找出平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量 并分別用基向量表示 分別計(jì)算有關(guān)直線的方向向量與平面相交直線的方向向量的數(shù)量積 根據(jù)數(shù)量積為0 證得線線垂直 然后由線面垂直的判定定理得出結(jié)論 2 坐標(biāo)法方法一 建立空間直角坐標(biāo)系 將直線的方向向量用坐標(biāo)表示 找出平面內(nèi)兩條相交直線 并用坐標(biāo)表示它們的方向向量 分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積 得到數(shù)量積為0 方法二 建立空間直角坐標(biāo)系 將直線的方向向量用坐標(biāo)表示 求出平面的法向量 判斷直線的方向向量與平面的法向量平行 在正三棱錐P ABC中 三條側(cè)棱兩兩互相垂直 G是 PAB的重心 E F分別為BC PB上的點(diǎn) 且BE EC PF FB 1 2 求證 平面GEF 平面PBC 面面垂直 證明 證法1 如圖 以三棱錐的頂點(diǎn)P為原點(diǎn) 以PA PB PC所在直線分別作為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 證明 FA 平面ABCD FA AD FA AB 又AD AB AF AD AB兩兩垂直 如圖 建立空間直角坐標(biāo)系 點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)AB 1 如圖 在棱長AB AD 2 AA1 3的長方體AC1中 點(diǎn)E是平面BCC1B1上的一個動點(diǎn) 點(diǎn)F是CD的中點(diǎn) 試確定點(diǎn)E的位置 使D1E 平面AB1F 探索性問題 在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1的棱BC DD1上是否分別存在點(diǎn)E F 使得B1E 平面ABF 若存在 請證明你的結(jié)論 并求出E F滿足的條件 若不存在 說明理由 誤解 若在建系不恰當(dāng) 則會導(dǎo)致運(yùn)算煩瑣 甚至出錯 致使結(jié)論錯誤 若不知如何把線面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系 則本例無法繼續(xù)求解 正解 建立如圖空間直角坐標(biāo)系 總結(jié)反思 1 準(zhǔn)確確定點(diǎn)的坐標(biāo)認(rèn)真審題 分清題設(shè)條件 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及合理設(shè)出待定點(diǎn)的坐標(biāo) 本例中E F要在正方體的棱上 其坐標(biāo)必需滿足條件h m 0 1 2 合理轉(zhuǎn)化已知條件根據(jù)題設(shè)條件 將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系 準(zhǔn)確運(yùn)用向量運(yùn)算解答 例如本例中 處的轉(zhuǎn)化