高考數(shù)學一輪復習 第五章 平面向量 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算課件 文

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1、第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算總綱目錄教材研讀1.向量的有關(guān)概念考點突破2.向量的線性運算3.共線向量定理考點二向量的線性運算考點二向量的線性運算考點一向量的有關(guān)概念考點三共線向量定理的應用考點三共線向量定理的應用1.向量的有關(guān)概念向量的有關(guān)概念教材研讀教材研讀名稱定義備注向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的長度(或模)向量由方向和長度確定,不受位置影響零向量長度為0的向量;其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量

2、不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0|aa2.向量的線性運算向量的線性運算向量運算的常用結(jié)論向量運算的常用結(jié)論(1)在ABC中,D是BC的中點,則=(+);(2)O為ABC的重心的充要條件是+=0;(3)四邊形ABCD中,E為AD的中點,F為BC的中點,則+=2.AD12ACABOAOBOCABDCEF3.共線向量定理共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù),使得b=a.1.下列說法正確的是()A.就是所在的直線平行于所在的直線B.長度相等的向量叫相等向量C.零向量長度等于0D.共線向量是在同一條直線上的向量ABCDABCD答案答案C包含所在的直線

3、與所在的直線平行和重合兩種情況,故A錯;相等向量不僅要求長度相等,還要求方向相同,故B錯;零向量長度為0,故C正確;共線向量可以是在同一條直線上的向量,也可以是所在直線互相平行的向量,故D錯.ABCDABCDC2.(2016北京西城期末)設(shè)M是ABC所在平面內(nèi)一點,且=,則=()A.-B.+C.(-)D.(+)BMMCAMABACABAC12ABAC12ABAC答案答案 DM是ABC所在平面內(nèi)一點,且=,M為BC的中點,=(+).故選D.BMMCAM12ABACD3.(2017北京海淀二模)已知向量a=(x,1),b=(3,-2),若ab,則x=()A.-3B.-C.D.322332答案答案

4、Ba=(x,1),b=(3,-2),且ab,-2x-3=0,x=-.32B4.(2017北京海淀期中)在正方形ABCD中,E是線段CD的中點,若=+,則-=.AEABBD答案答案 1212解析解析在正方形ABCD中,E是線段CD的中點,因為=+=+=-+=+=+=+,所以=,=1,所以-=,故答案為.AEADDEBC12ABDCDB12ABABBD12AB32ABBDABBD321212考點一向量的有關(guān)概念考點一向量的有關(guān)概念考點突破考點突破典例典例1給出下列命題:(1)若|a|=|b|,則a=b;(2)若A、B、C、D是不共線的四點,則=是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;(3)若a=b

5、,b=c,則a=c;(4)兩向量a、b相等的充要條件是|a|=|b|且ab;(5)如果ab,bc,那么ac.其中假命題的個數(shù)為()A.2B.3C.4D.5ABDCB答案答案B解析解析(1)不正確.兩個向量的模相等,但它們的方向不一定相同,因此由|a|=|b|推不出a=b.(2)正確.若=,則|=|且.又A、B、C、D是不共線的四點,四邊形ABCD是平行四邊形.反之,若四邊形ABCD是平行四邊形,則ABDC且與方向相同,因此=.(3)正確.a=b,a、b的長度相等且方向相同.b=c,b、c的長度相等且方向相同.a、c的長度相等且方向相同,a=c.(4)不正確.當ab,但方向相反時,即使|a|=|

6、b|,也不能得到a=b,故ABDCABDCABDCABDCABDC| |,aba b不是a=b的充要條件.(5)不正確.若b=0,則a與c不一定共線.易錯警示易錯警示(1)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量,它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.解題時,不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一談.(4)非零向量a與的關(guān)系:是a方向上的單位向量.|aa|aa1-1設(shè)a,b都是非零向量,下列四個條件中,使=成立的充分條件是()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab且|a|=|b|aa|bb答案答案 C因為向量的方向與向量a相同,向量的

7、方向與向量b相同,且=,所以向量a與向量b方向相同,故可排除選項A,B,D.當a=2b時,=,故a=2b是=成立的充分條件.|aa|bb|aa|bb|aa2|2 |bb|bb|aa|bbC1-2給出下列命題:兩個具有公共終點的向量一定是共線向量.兩個向量不能比較大小,但它們的模能比較大小.若a=0(為實數(shù)),則必為零.若a=b(,為實數(shù)),則a與b共線.其中錯誤命題的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案答案C錯誤,兩向量是否共線要看其方向,而不是起點或終點.正確,因為向量既有大小,又有方向,故兩個向量不能比較大小,但兩個向量的模均為實數(shù),故可以比較大小.錯誤,當a=0時,無論為何值,均有a=

8、0.錯誤,當=0時,a=b=0,此時,a與b可以是任意向量.故選C.C1-3如圖,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,則圖中與相等的向量有.OC答案答案,ABEDFO,ABEDFO典例典例2(1)(2017北京西城一模)在ABC中,點D滿足=3,則()A.=+B.=-C.=+D.=-(2)(2016北京海淀期末)如圖,正方形ABCD中,E為DC的中點,若=+,則+的值為()BCBDAD13AB23ACAD13AB23ACAD23AB13ACAD23AB13ACAEABAC考點二向量的線性運算考點二向量的線性運算A.B.-C.1D.-11212答案答案(1)C(2)A解析解析(1)點D滿足=3,=

9、+=+=+(-)=+.故選C.(2)因為E為DC的中點,所以=+=+=+(+)=+,故=-+,所以=-,=1,所以+的值為.BCBDADABBDAB13BCAB13ACAB23AB13ACACABAD12AB12ABAD12ABDEAD12ABAEAE12ABAC12121.平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況:可直接運用相應運算法則求解.(2)含圖形的情況:將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來求解.方法指導方法指導2.利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準確作出圖形,確定每一個點的位置.(2)

10、利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.(3)比較、觀察可知所求.2-1在ABC中,=c,=b.若點D滿足=2,則=()A.b+cB.c-bC.b-cD.b+cABACBDDCAD1323532323132313答案答案D由題意可知=-=b-c,=2,=(b-c),則=+=+=c+(b-c)=b+c.故選D.BCACABBDDCBD23BC23ADABBDAB23BC232313D2-2(2017北京海淀一模)在ABC中,點D滿足=2-,則()A.點D不在直線BC上B.點D在BC的延長線上C.點D在線段BC上D.點D在CB的延長線上ADABAC答案答案 D=2-=+-=+

11、.如圖,以B為始點,作=,連接AD,則+=+=.D和D重合,點D在CB的延長線上,故選D.ADABACABABACABCBBDCBABCBABBDADADD典例典例3設(shè)兩個非零向量a與b不共線.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求證:A,B,D三點共線;(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.ABBCCD考點三共線向量定理的應用考點三共線向量定理的應用解析解析(1)證明:=a+b,=2a+8b,=3(a-b),=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,共線,又它們有公共點B,A,B,D三點共線.(2)ka+b與a+kb共線,存在實數(shù),使ka+b=(a+kb),即(k

12、-)a=(k-1)b.又a,b是兩個不共線的非零向量,k-=k-1=0.ABBCCDBDBCCDABABBDk2-1=0.k=1.1.共線向量定理的應用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線,也可以由向量共線求參數(shù)的值.(2)若a,b不共線,則a+b=0的充要條件是=0,這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應用非常廣泛.方法技巧方法技巧2.證明三點共線的方法若=,則A、B、C三點共線.ABAC變式變式3-1若將本例(1)中“=2a+8b”改為“=a+mb”,則m為何值時,A、B、D三點共線?BCBC解析解析 +=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,即=4a+(m-3)b.若A、B、D三點共線,則

13、存在實數(shù),使=,即4a+(m-3)b=(a+b),解得m=7.故當m=7時,A、B、D三點共線.BCCDBDBDAB4,3,m變式變式3-2若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”,則k為何值?解析解析因為ka+b與a+kb反向共線,所以存在實數(shù),使ka+b=(a+kb)(0),所以所以k=1.又0,k=,所以k=-1.故當k=-1時,兩向量反向共線.,1,kk3-3設(shè)兩個非零向量a與b不共線,若a與b的起點相同,且a,tb,(a+b)的終點在同一條直線上,求實數(shù)t的值.13解析解析a,tb,(a+b)三個向量的終點在同一條直線上,且a與b的起點相同,a-tb與a-(a+b)共線,即a-tb與a-b共線,存在實數(shù),使a-tb=,解得=,t=.131323132133ab21,31,3t3212