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1、直線的方程直線的方程 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點正切值正切值 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點221yy (3)直線過點直線過點(5,10)，且到原點的距離為，且到原點的距離為5.3x4y240或或3x4y240 x3y40或或x3y40 4xy160或或x3y90 例例2. 過點過點 P(4, 6)的直線與的直線與x軸、軸、 y軸的正半軸交于軸的正半軸交于A , B兩點兩點.求求SABO 的最小值及此時直線的最小值及此時直線l 的方程的方程.解解1：設
2、：設 y6 = k (x- -4 ),（ k 0） 18242( 8 ) ()48.kk ,188kk當且僅當32240.xy 18248kk 61( 46)(4)2ABCSkk ,23”時，取“即k此時直線此時直線l 的方程為的方程為yOxP(4,6)AB6(4,0) ,(0, 46).ABkk 則則483(4).4aa 當當且且僅僅當當時時，取取“”8,12,1.812yxab 此此 時時641,ab 1,(0,0),yxabab 23124ABCaSaba 解解2：設直線方程為：設直線方程為 由直線過點由直線過點 P(4, 6), 則則6.4aba 483(4)244aa 482 3(4
3、)2448.4aa 32240.xy 所以直線所以直線l 的方程為的方程為yOxP(4,6)AB148.2OABSab 6412ab 當當且且僅僅當當時時，取取“ ”，8,12.ab 此此時時, ,. 02423yx例例2. 過點過點 P(4, 6)的直線與的直線與x軸、軸、 y軸的正半軸交于軸的正半軸交于A , B兩點兩點.求求SABO 的最小值及此時直線的最小值及此時直線l 的方程的方程.yOxP(4,6)AB641,ab 1,(0,0),yxabab 解解3：設直線方程為：設直線方程為 由直線過點由直線過點 P(4, 6), 則則642412,abab 96.ab解：設直線方程為解：設直
4、線方程為2,yx b0,y 令,2bx 得21| | |4,2 24bbSb 0,x 令.yb得(, 0 )(0 ,).2bb和和4,4.bb 或240,40.xyxy或或 2 2b 【1】某直線的斜率為某直線的斜率為- -2，直線與兩個坐標，直線與兩個坐標軸圍成一個三角形的面積為軸圍成一個三角形的面積為4，求直線的方程，求直線的方程yxo直線直線 x 軸軸 y 軸的交點為軸的交點為2b例例3.已知直線已知直線 y=0.5x 和兩定點和兩定點 A(1, 1), B(2, 2)在此直線上取一點在此直線上取一點 P,使使 | PA | 2 + | PB | 2 最小最小,求點求點 P 的坐標的坐標
5、.解：因為點解：因為點P在在直線直線 y=0.5x上，上，設設(2 , ).Pt t |PA|2+|PB|2 = (2t- -1)2+(t- -1)2 +(2t- -2)2+(t- -2)2291910().1010t 當當時時最最小小229,|,10tPAPB 此此 時時99(,).5 10P2101810tt 例例3.已知平面上兩點已知平面上兩點A ( 4, 1 ) 和和B ( 0, 4 ) 在直線在直線l：3x- -y- -1 = 0 上求一點上求一點 M, 使使| | MA |- -| MB | | 的的值最大值最大.xyoBAMB1N連接連接AB1并延長交并延長交l于于M,分析分析:
6、先求先求B關于關于l 的對稱點的對稱點B1 , 013, 092yxyx此時此時M( 2, 5 )M就是所求的點就是所求的點.l(1) 使使 | MA | + | MB | 為最小為最小.xyOlB(0,4) )1 , 4(A M解解:由圖知由圖知:A,M,B 三點共線且三點共線且 M 在線段在線段AB上時上時, | MA | + | MB | 最小最小. ,013,0643yxyx此此時時).3,34(M | M1A | + | M1B | | AB |,M1 例例4.已知平面上兩點已知平面上兩點A ( 4,1 ) 和和B ( 0,4 ) ，在直，在直線線 l：3x y 1 = 0 上求一點
7、上求一點 M,M(2) 使使| | MA | | MB | | 為最大為最大.xyolB(0,4) )1 , 4(A )3 , 3(1B 由由圖知圖知:A, B1 ,M三點共線三點共線,且且 M 在線段在線段AB1的延長線上的延長線上 時時,| MA | | MB | | 最大最大.分析分析:先求先求B關于關于 l 的對稱點的對稱點B1 , , 013, 092yxyx此時此時M( 2, 5 )例例4.已知平面上兩點已知平面上兩點A ( 4,1 ) 和和B ( 0,4 ) ，在直，在直線線 l：3x y 1 = 0 上求一點上求一點 M, 【1】設直線設直線 y = x + 1,定點定點A ( 1 , 1 ), B ( 2 , 1 ),分別在直線上求一點分別在直線上求一點 P,使使(1) | PA | + | PB | 最小并求最小值最小并求最小值;(2) | | PA | | PB | | 最大并求最大值最大并求最大值.xyO AB y = x + 1A 1( 0 , 2)PP(1) 最小值為最小值為 ，此時，此時，552(,)33P(2) 最大值為最大值為 1，此時，此時，P ( 0 , 1 ) 【1】經(jīng)過點經(jīng)過點(- -1,2),且在兩坐標軸上截距的且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線共有絕對值相等的直線共有 條條.3 3xyoA1yxaa1xy 1yxaa 3yx2yx
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