學案15 點、直線、平面之間的位置關系

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1、1.1.理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解四個理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解四個 公理及等角定理可作為理論依據(jù)公理及等角定理可作為理論依據(jù). .2 2. .以立以立體幾何的定義體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點公理和定理為出發(fā)點, ,認識和理認識和理 解空間中線解空間中線、面平行面平行、垂直的有關性質(zhì)與判定定理垂直的有關性質(zhì)與判定定理. .3.3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖 形的位置關系的簡單命題形的位置關系的簡單命題. . 學案學案15 15 點、直線、平面之間的位置關系點、直線、平面之間的位置關系 1.(20091

2、.(2009湖南湖南) )平行六面體平行六面體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,既與既與 ABAB共面也與共面也與CCCC1 1共面的棱的條數(shù)為共面的棱的條數(shù)為 ( )( ) A.3 B.4 C.5 D.6 A.3 B.4 C.5 D.6 解析解析 如圖所示如圖所示, ,用列舉法知用列舉法知 符合要求的棱為符合要求的棱為 BCBC、CDCD、C C1 1D D1 1、BBBB1 1、AAAA1 1. . C C2.(20092.(2009湖南湖南) )正方體正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱上到異的棱上到異 面直線

3、面直線ABAB、CCCC1 1的距離相等的點的個數(shù)為的距離相等的點的個數(shù)為 ( )( ) A.2 B.3 C.4 D.5 A.2 B.3 C.4 D.5 解析解析 如圖所示如圖所示, ,棱棱BCBC的中點的中點MM 到異面直線到異面直線ABAB、CCCC1 1的距離都等的距離都等 于棱長的一半于棱長的一半, ,點點D D、B B1 1到異面直到異面直 線線ABAB、CCCC1 1的距離都等于棱長的距離都等于棱長, ,棱棱 A A1 1D D1 1的中點到異面直線的中點到異面直線ABAB、CCCC1 1 的距離都等于棱長的的距離都等于棱長的 倍倍. . 25C C3.3.平面平面 平面平面 的一

4、個充分條件是的一個充分條件是 ( )( ) A. A.存在一條直線存在一條直線a a, , B. B.存在一條直線存在一條直線a a, , C. C.存在兩條平行直線存在兩條平行直線a a, ,b b, , D. D.存在兩條異面直線存在兩條異面直線a a, ,b b, , 解析解析 故排故排 除除A.A. 故排除故排除B.B. 故故 排除排除C. C. /,/aa/,aa /,/,baba/,/,baba,/,/,/,aaaalal若,/,/,alaal則若,/,/,/,/,balbblaal則若D D4.4.已知兩條直線已知兩條直線m m, ,n n, ,兩個平面兩個平面 給出下面四個命給

5、出下面四個命 題題: : 其中正確命題的序號是其中正確命題的序號是 ( )( ) A. A. B. B. C. C. D. D. 解析解析 中中, ,m m, ,n n有可能是異面直線有可能是異面直線; ;中中, ,n n有可能在有可能在 上上, ,都不對都不對, ,故選故選C. C. nmnm,/,/nmnmnmnm/,/nmnm,/,/C C,題型一題型一 空間點、線、平面之間的位置關系空間點、線、平面之間的位置關系【例【例1 1】如圖所示】如圖所示, ,平面平面ABEFABEF平平 面面ABCDABCD, ,四邊形四邊形ABEFABEF與與ABCDABCD都都 是直角梯形是直角梯形,BA

6、DBAD=FABFAB=90=90, , G G, ,H H分別為分別為 FAFA, ,FDFD的中點的中點. . (1) (1)證明證明: :四邊形四邊形BCHGBCHG是平行四邊形；是平行四邊形； (2)(2)C C, ,D D, ,F F, ,E E四點是否共面四點是否共面? ?為什么為什么? ? (3) (3)設設ABAB= =BEBE, ,證明證明: :平面平面ADEADE平面平面CDECDE. . ,21/,21/AFBEADBC方法一方法一 (1)(1)證明證明 由題意知由題意知, ,FGFG= =GAGA, ,FHFH= =HDHD, ,所以所以 所以四邊形所以四邊形BCHGB

7、CHG是平行四邊形是平行四邊形. . (2)(2)解解 C C, ,D D, ,F F, ,E E四點共面四點共面. .理由如下：理由如下： G G是是FAFA的中點知的中點知, , 所以所以EFEFBGBG. .由由(1)(1)知知BGBGCHCH, ,所以所以EFEFCHCH, ,故故ECEC, ,FHFH共面共面. .又點又點D D在直線在直線FHFH上上. .所以所以C C, ,D D, ,F F, ,E E四點共面四點共面. . ,21/AFBE由,/GFBE,/,21/,21/BCGHADBCADGH又(3)(3)證明證明 連接連接ECEC, ,由由ABAB= =BEBE, , 及

8、及BAGBAG=90=90知知ABEGABEG是正方形是正方形. .故故BGBGEAEA. .由題設知由題設知FAFA, ,ADAD, ,ABAB兩兩垂直兩兩垂直, ,故故ADAD平平面面FABEFABE, ,因此因此EAEA是是EDED在平面在平面FABEFABE內(nèi)的射影，內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理根據(jù)三垂線定理, ,BGBGEDED. .又又EDEDEAEA= =E E, ,所以所以BGBG平面平面ADEADE. .由由(1)(1)知知CHCHBGBG, ,所以所以CHCH平面平面ADEADE. .由由(2)(2)知知CHCH平面平面CDECDE, ,得平面得平面ADEADE平面平面CDEC

9、DE. . AGBE/方法二方法二 由題設知由題設知FAFA, ,ABAB, ,ADAD兩兩兩互相垂直兩互相垂直, ,如圖如圖, ,以以A A為坐標原為坐標原點點, ,以射線以射線ABAB為為x x軸正方向軸正方向, ,以射以射線線ADAD為為y y軸正方向軸正方向, ,以射線以射線AFAF為為z z軸正方向軸正方向, ,建立直角坐標系建立直角坐標系A Axyzxyz. .(1)(1)證明證明 設設ABAB= =a a, ,BCBC= =b b, ,BEBE= =c c, ,則由題設得則由題設得A A(0,0,0),(0,0,0),B B( (a a,0,0),0,0),C C( (a a,

10、,b b,0),0),D D(0,2(0,2b b,0),0),E E( (a a,0,0,c c),),G G(0,0,(0,0,c c),),H H(0,(0,b b, ,c c).).所以所以 =(0,=(0,b b,0),0), =(0,=(0,b b,0),0),于是于是又點又點G G不在直線不在直線BCBC上，上，所以四邊形所以四邊形BCHGBCHG是平行四邊形是平行四邊形. .(2)(2)解解 C C, ,D D, ,F F, ,E E四點共面四點共面. .理由如下：理由如下：由題設知由題設知F F(0,0,2(0,0,2c c),),所以所以 =(-=(-a a,0,0,c c

11、), =(-), =(-a a,0,0,c c),), 又又C CEFEF, ,H HFDFD, ,故故C C, ,D D, ,E E, ,F F四點共面四點共面. . GHBC.BCGH EFCH,CHEF (3) (3)證明證明 由由ABAB= =BEBE, ,得得c c= =a a, ,所以所以 =(-=(-a a,0,0,a a),), =( =(a a,0,0,a a),),又又 =(0,2=(0,2b b,0),0), 因此因此 即即CHCHAEAE, ,CHCHADAD. . 又又ADADAEAE= =A A, ,所以所以CHCH平面平面ADEADE. . 故由故由CHCH平面平

12、面CDFECDFE, ,得平面得平面ADEADE平面平面CDECDE. .【探究拓展探究拓展】要證明四邊形】要證明四邊形BCHGBCHG是平行四邊形是平行四邊形, ,只要只要 證明證明 即可即可; ;要證明要證明C C, ,D D, ,E E, ,F F共面共面, , 可通過證明四邊形可通過證明四邊形CDEFCDEF中至少有一組對邊平行或兩中至少有一組對邊平行或兩 邊的延長線相交即可邊的延長線相交即可; ;要證明面面垂直通常轉(zhuǎn)化成為要證明面面垂直通常轉(zhuǎn)化成為 證明線面垂直證明線面垂直. . CHAEAD, 0, 0ADCHAECHHCGBBCGH/,/或變式訓練變式訓練1 1 在正方體在正方體

13、ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,E E、F F分別分別 為棱為棱AAAA1 1、CCCC1 1的中點的中點, ,則在空間中與三條直線則在空間中與三條直線A A1 1D D1 1、 EFEF、CDCD都相交的直線都相交的直線 ( )( ) A. A.不存在不存在 B.B.有且只有兩條有且只有兩條 C.C.有且只有三條有且只有三條 D.D.有無數(shù)條有無數(shù)條 解析解析 如圖所示如圖所示, ,在平面在平面ADDADD1 1 A A1 1內(nèi)延長內(nèi)延長DEDE與與D D1 1A A1 1的的 延長線相交于一點延長線相交于一點H H, ,則則DHDH為為 所求直線所

14、求直線, ,在平面在平面DCCDCC1 1D D1 1內(nèi)延內(nèi)延 長長D D1 1F F與與DCDC的延長線相交于點的延長線相交于點 G G, ,則則D D1 1G G為滿足條件的直線為滿足條件的直線. .取取EFEF的中點的中點O O, ,則則A A1 1C C一定經(jīng)過一定經(jīng)過O O, ,這樣就找到了滿足條這樣就找到了滿足條件的三條直線件的三條直線. .若取若取DCDC的中點的中點K K, ,OEOE的中點的中點MM, ,A A1 1H H的中點的中點N N, ,則則K K、MM、N N三點共線三點共線. .下面證明這個結(jié)論下面證明這個結(jié)論: :以以D D1 1為坐標原點建立如圖所示的為坐標原

15、點建立如圖所示的空間直角坐標系空間直角坐標系, ,設正方體的棱長為設正方體的棱長為2.2.則則K K(0,1,2),(0,1,2),E E(2,0,1),(2,0,1),O O(1,1,1),(1,1,1),N N(3,0,0). (3,0,0). MM是是OEOE的中點，的中點，).1 ,21,23(M,21414149|,14213|222KMKN|KNKN|=|=|KMKM|+|+|MNMN|.|.K K、MM、N N三點共線三點共線, ,即直線即直線KNKN滿足條件滿足條件. .這已找到了四條滿足題意的直線這已找到了四條滿足題意的直線, ,同理還可以找到更同理還可以找到更多與三條直線多

16、與三條直線A A1 1D D1 1、DCDC、EFEF相交的直線相交的直線. .答案答案 D D ,21414149|MN題型二題型二 線線、線面位置關系線線、線面位置關系【例【例2 2】(2009(2009江蘇江蘇) )如圖如圖, ,在直在直 三棱柱三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中中E E、F F分分 別是別是A A1 1B B、A A1 1C C的中點的中點, ,點點D D在在 B B1 1C C1 1上上, ,A A1 1D DB B1 1C C. . 求證求證:(1):(1)EFEF平面平面ABCABC; ; (2) (2)平面平面A A1 1FDFD平面平面B

17、BBB1 1C C1 1C C. . 證明證明 (1)(1)由由E E、F F分別是分別是A A1 1B B、A A1 1C C的中點知的中點知EFEFBCBC. . 又又EFEF平面平面ABCABC, ,BCBC平面平面ABCABC. . 所以所以EFEF平面平面ABCABC. . (2) (2)因為三棱柱因為三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1為直三棱柱，為直三棱柱， 所以所以BBBB1 1面面A A1 1B B1 1C C1 1, ,BBBB1 1A A1 1D D, , 又又A A1 1D DB B1 1C C, ,BBBB1 1B B1 1C C= =B B1 1,

18、 , 所以所以A A1 1D D面面BBBB1 1C C1 1C C， 又又A A1 1D D面面A A1 1FDFD, ,所以平面所以平面A A1 1FDFD平面平面BBBB1 1C C1 1C C. .【探究拓展探究拓展】證明線面平行】證明線面平行, ,通常用線面平行的判定通常用線面平行的判定 定理或由面面平行證明線面平行定理或由面面平行證明線面平行; ;證明線面垂直證明線面垂直, ,常常 用線面垂直的判定定理用線面垂直的判定定理; ;在解決線線平行、線面平行在解決線線平行、線面平行 的問題時的問題時, ,若題目中出現(xiàn)了中點若題目中出現(xiàn)了中點, ,往往可考慮中位線往往可考慮中位線 來進行證

19、明來進行證明. . 變式訓練變式訓練2 2 (2009 (2009海南海南) )如圖所如圖所 示示, ,四棱錐四棱錐S SABCDABCD的底面是正方的底面是正方 形形, ,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 倍倍, ,P P為側(cè)棱為側(cè)棱SDSD上的點上的點. . (1) (1)求證求證: :ACACSDSD; ; (2) (2)若若SDSD平面平面PACPAC, ,求二面角求二面角 P PACACD D的大小的大小; ; (3) (3)在在(2)(2)的條件下的條件下, ,側(cè)棱側(cè)棱SCSC上是否存在一點上是否存在一點E E, ,使得使得 BEBE平面平面PACPAC, ,若

20、存在若存在, ,求求 的值的值; ;若不存在若不存在, ,試說試說 明理由明理由. .2ECSE(1)(1)證明證明 連結(jié)連結(jié)BDBD, ,設設ACAC交交BDBD于于O O，由題意由題意SOSOACAC. .在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,ACACBDBD, ,所以所以ACAC平面平面SBDSBD, ,所以所以ACACSDSD. . (2)(2)解解 設正方形邊長為設正方形邊長為a a, ,則則SDSD= =又又ODOD= = 所以所以SDOSDO=60=60, ,連結(jié)連結(jié)OPOP, ,由由(1)(1)知知ACAC平面平面SBDSBD，所以所以ACACOPOP, ,且且ACACOD

21、OD, ,所以所以PODPOD是二面角是二面角P PACACD D的平面角的平面角. .由由SDSD平面平面PACPAC, ,知知SDSDOPOP, ,所以所以PODPOD=30=30, ,即二面角即二面角P PACACD D的大小為的大小為3030. . .2a,22a(3)(3)解解 在棱在棱SCSC上存在一點上存在一點E E, ,使使BEBE平面平面PACPAC, ,由由(2)(2)可得可得PDPD= = 故可在故可在SPSP上取一點上取一點N N，使使PNPN= =PDPD, ,過過N N作作PCPC的平行線與的平行線與SCSC的交點即為的交點即為E E. .連結(jié)連結(jié)BNBN. .在在

22、BDNBDN中中, ,知知BNBNPOPO, ,又由于又由于NENEPCPC, ,故平面故平面BENBEN平面平面PACPAC, ,得得BEBE平面平面PACPAC, ,由于由于SNSN: :NPNP=2:1,=2:1,故故SESE: :ECEC=2:1. =2:1. ,42a方法二方法二 (1)(1)證明證明 連結(jié)連結(jié)BDBD, ,設設ACAC交于交于BDBD于于O O, ,由題意知由題意知SOSO平面平面ABCDABCD. .以以O O為坐標原點為坐標原點, , 分別為分別為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸正方向軸正方向, ,建立坐標系建立坐標系O Oxyzxyz, ,如圖所示如圖所示

23、. .設底面邊長為設底面邊長為a a，則高，則高SOSO= = 故故OCOCSDSD, ,所以所以ACACSDSD. . OSOCOB,.26a, 0),26, 0 ,22(),0 ,22, 0(),0 ,22, 0(),0 , 0 ,22(),26, 0 , 0(SDOCaaSDaOCaCaDaS于是(2)(2)解解 由題設知由題設知, ,平面平面PACPAC的一個法向量的一個法向量 平面平面DACDAC的一個法向量的一個法向量設所求二面角為設所求二面角為所求二面角所求二面角P PACACD D的大小為的大小為3030. .),26, 0a,22(aDS ),26, 0 , 0(aOS ,2

24、3|cos,DSOSDSOS則(3)(3)解解 在棱在棱SCSC上存在一點上存在一點E E使使BEBE平面平面PACPAC. .由由(2)(2)知知 是平面是平面PACPAC的一個法向量，的一個法向量， 即當即當SESE: :ECEC=2:1=2:1時時, ,而而BEBE不在平面不在平面PACPAC內(nèi)內(nèi), ,故故BEBE平面平面PACPAC. . ,310),26),1 (22,22(,tDSBEattaaCStBCCEBCBECStCE而則設,DSBE DS),0 ,22,22(),26,22, 0(),26, 0 ,22(aaBCaaCSaaDS且題型三題型三 面面位置關系面面位置關系【例

25、【例3 3】(2009(2009天津天津) )如圖如圖, ,在在 五面體五面體ABCDEFABCDEF中中, ,FAFA平面平面 ABCDABCD, ,ADADBCBCFEFE, ,ABABADAD, , MM為為ECEC的中點的中點, ,AFAF= =ABAB= =BCBC= =FEFE = = ADAD. . (1) (1)求異面直線求異面直線BFBF與與DEDE所成的角的大?。凰傻慕堑拇笮。?(2)(2)證明證明: :平面平面AMDAMD平面平面CDECDE; ; (3) (3)求二面角求二面角A ACDCDE E的余弦值的余弦值. . 21方法一方法一 (1)(1)解解 由題設知由題

26、設知, ,BFBFCECE，所以，所以CEDCED( (或或 其補角其補角) )為異面直線為異面直線BFBF與與DEDE所成的角所成的角, ,設設P P為為ADAD的中的中 點點, ,連結(jié)連結(jié)EPEP, ,PCPC. . 又又FAFA平面平面ABCDABCD, ,所以所以EPEP 平面平面ABCDABCD, ,而而PCPC、ADAD都在都在 平面平面ABCDABCD內(nèi)內(nèi), ,故故EPEPPCPC, ,EPEP ADAD. .由由ABABADAD, ,可得可得PCPC ADAD. .設設FAFA= =a a, ,則則EPEP= =PCPC= =PDPD= =a a, ,CDCD= =DEDE=

27、=ECEC= = a a, ,故故 CEDCED=60=60 所以異面直線所以異面直線BFBF與與DEDE所成的角的大小為所成的角的大小為6060. . ,/./,/PCABEPFAAPFE同理所以因為2(2)(2)證明證明 因為因為DCDC= =DEDE且且MM為為CECE的中點，的中點，所以所以DMDMCECE，連結(jié)，連結(jié)MPMP, ,則則MPMPCECE. .又又MPMPDMDM= =MM, ,故故CECE平面平面AMDAMD，而而CECE平面平面CDECDE, ,所以平面所以平面AMDAMD平面平面CDECDE. .(3)(3)解解 設設Q Q為為CDCD的中點的中點, ,連結(jié)連結(jié)PQ

28、PQ, ,EQEQ. .因為因為CECE= =DEDE, ,所以所以EQEQCDCD. .因為因為PCPC= =PDPD, ,所以所以PQPQCDCD, ,故故EQPEQP為為二面角二面角A ACDCDE E的平面角的平面角. .由由(1)(1)可得可得, ,EPEPPQPQ, ,EQEQ= = PQPQ= = 于是在于是在RtRtEPQEPQ中中,cos,cosEQPEQP= = 所以二面角所以二面角A ACDCDE E的余弦值為的余弦值為 ,26a.22a.33EQPQ.33方法二方法二 如圖所示如圖所示, ,建立空間直建立空間直 角坐標系角坐標系, ,點點A A為坐標原點為坐標原點, ,

29、設設 ABAB=1,=1,依題意得依題意得B B(1,0,0),(1,0,0),C C(1,(1, 1,0), 1,0),D D(0,2,0),(0,2,0),E E(0,1,1),(0,1,1), F F(0,0,1),(0,0,1),(1)(1)解解 =(-1,0,1), =(0,-1,1),=(-1,0,1), =(0,-1,1),于是于是所以異面直線所以異面直線BFBF與與DEDE所成的角的大小為所成的角的大小為6060. . ).21, 1 ,21(MBFDE.2122100|,cosDEBFDEBFDEBF(2)(2)證明證明 因此因此CECEAMAM, ,CECEADAD. .又

30、又AMAMADAD= =A A, ,故故CECE平面平面AMDAMD. .而而CECE平面平面CDECDE, ,所所以平面以平面AMDAMD平面平面CDECDE. .(3)(3)解解 設平面設平面CDECDE的法向量為的法向量為u u=(=(x x, ,y y, ,z z),),則則令令x x=1,=1,可得可得u u=(1,1,1).=(1,1,1).又由題設又由題設, ,平面平面ACDACD的一個法向量的一個法向量v v=(0,0,1).=(0,0,1). 0, 0),0 , 2 , 0(),1 , 0 , 1(),21, 1 ,21(ADCEAMCEADCEAM可得由. 0, 0. 0,

31、 0zyzxDEuCEu于是 因為二面角因為二面角A ACDCDE E為銳角為銳角, ,所以其余弦值為所以其余弦值為 【探究拓展探究拓展】本小題要考查異面直線所成的角、平面】本小題要考查異面直線所成的角、平面 與平面垂直、二面角等基礎知識與平面垂直、二面角等基礎知識, ,考查用空間向量解考查用空間向量解 決立體幾何問題的方法決立體幾何問題的方法, ,考查空間想像能力、運算能考查空間想像能力、運算能 力和推理論證能力力和推理論證能力. . .3313100|,cos,vuvuvu所以.33變式訓練變式訓練3 3 如圖所示如圖所示, ,矩形矩形ABCDABCD 和梯形和梯形BEFCBEFC所在平面

32、互相垂直所在平面互相垂直, , BEBECFCF,BCFBCF=CEFCEF=90=90, , ADAD= ,= ,EFEF=2.=2.(1)(1)求證求證: :AEAE平面平面DCFDCF; ;(2)(2)當當ABAB的長為何值時的長為何值時, ,二面角二面角A AEFEFC C的大小為的大小為 6060? ? 3方法一方法一 (1)(1)證明證明 過點過點E E作作EGEGCFCF交交CFCF于于G G, ,連結(jié)連結(jié)DGDG. .可得四邊形可得四邊形BCGEBCGE為矩形，為矩形，又四邊形又四邊形ABCDABCD為矩形，為矩形，所以所以 從而四邊形從而四邊形ADGEADGE為平行四邊形，為

33、平行四邊形，故故AEAEDGDG. .因為因為AEAE平面平面DCFDCF, ,DGDG平面平面DCFDCF, ,所以所以AEAE平面平面DCFDCF. . ,/EGAD(2)(2)解解 過點過點B B作作BHBHEFEF交交FEFE的延長線于的延長線于H H, ,連結(jié)連結(jié)AHAH. .由平面由平面ABCDABCD平面平面BEFCBEFC, ,ABABBCBC, ,得得ABAB平面平面BEFCBEFC，從而從而AHAHEFEF, ,所以所以AHBAHB為二面角為二面角A AEFEFCC的平面角的平面角. .在在RtRtEFGEFG中中, ,因為因為EGEG= =ADAD= ,= ,EFEF=2

34、,=2,所以所以CFECFE=60=60, ,FGFG=1,=1,又因為又因為CECEEFEF, ,所以所以CFCF=4,=4,從而從而BEBE= =CGCG=3.=3.于是于是BHBH= =BEBEsinsinBEHBEH= = 因為因為ABAB= =BHBHtantanAHBAHB, ,所以當所以當ABAB為為 時時, ,二面角二面角A AEFEFC C的大小為的大小為6060. . 3.23329方法二方法二 如圖所示如圖所示, ,以點以點C C為坐標原為坐標原點點, ,以以CBCB、CFCF和和CDCD所在直線分別作所在直線分別作為為x x軸、軸、y y軸和軸和z z軸軸, ,建立空間

35、直角坐建立空間直角坐標系標系C Cxyzxyz. .設設ABAB= =a a, ,BEBE= =b b, ,CFCF= =c c, ,則則C C(0,0,0),(0,0,0),A A( ,0,( ,0,a a),),B B( ,0,0),( ,0,0),E E( ,( ,b b,0),0),F F(0,(0,c c,0).,0).333(1)(1)證明證明 =(0,=(0,b b,-,-a a),), =( ,0,0), =(0,=( ,0,0), =(0,b b,0),0),所以所以 從而從而CBCBAEAE, ,CBCBBEBE. .所以所以CBCB平面平面ABEABE. .因為因為CBC

36、B平面平面DCFDCF，所以平面所以平面ABEABE平面平面DCFDCF. .故故AEAE平面平面DCFDCF. .(2)(2)解解 因為因為 =( ,=( ,c c- -b b,0), =( ,0), =( ,b b,0). ,0). AEBECB, 0, 0BECBAECB3. 4, 3, 2)(3, 0)(3, 2| , 02cbbcbcbEFCEEF解得所以CEEF33所以所以E E( ,3,0),( ,3,0),F F(0,4,0).(0,4,0).設設n n=(1,=(1,y y, ,z z) )與平面與平面AEFAEF垂直，垂直，又因為又因為BABA平面平面BEFCBEFC, =

37、(0,0, =(0,0,a a),),所以當所以當ABAB為為 時時, ,二面角二面角A AEFEFC C的大小為的大小為6060. . 3).33, 3, 1 (, 0, 0anEFnAEn解得則BA.29,2127433|,cos|2aaaaBAnBAnBAn解得所以29題型四題型四 折疊問題折疊問題【例【例4 4】如圖】如圖1,1,E E, ,F F分別是矩形分別是矩形ABCDABCD的邊的邊ABAB, ,CDCD的中的中 點點, ,G G是是EFEF上的一點上的一點, ,將將GABGAB, ,GCDGCD分別沿分別沿ABAB, ,CDCD 翻折成翻折成G G1 1ABAB, ,G G2

38、 2CDCD, ,并連接并連接G G1 1G G2 2, ,使得平面使得平面G G1 1ABAB 平面平面ABCDABCD, ,G G1 1G G2 2ADAD, ,且且G G1 1G G2 2ADAD. .連接連接BGBG2 2, ,如如 圖圖2.2. (1)(1)證明證明: :平面平面G G1 1ABAB平面平面G G1 1ADGADG2 2；(2)(2)當當ABAB=12,=12,BCBC=25,=25,EGEG=8=8時時, ,求直線求直線BGBG2 2和平面和平面 G G1 1ADGADG2 2所成的角的正弦值所成的角的正弦值. . 方法一方法一 (1)(1)證明證明 因為平面因為平

39、面G G1 1ABAB平面平面ABCDABCD, ,平面平面G G1 1ABAB平面平面ABCDABCD= =ABAB, ,ADADABAB, , AD AD平面平面ABCDABCD, ,所以所以ADAD平面平面G G1 1ABAB, ,又又ADAD平面平面G G1 1ADGADG2 2, ,所以平面所以平面G G1 1ABAB平面平面G G1 1ADGADG2 2. . (2)(2)解解 過點過點B B作作BHBHAGAG1 1于點于點H H, ,連接連接G G2 2H H. .由由(1)(1)的結(jié)論可知的結(jié)論可知, ,BHBH平面平面G G1 1ADGADG2 2, ,所以所以BGBG2

40、2H H是是BGBG2 2和平面和平面G G1 1ADGADG2 2所成的角所成的角. . 因為平面因為平面G G1 1ABAB平面平面ABCDABCD，平面平面G G1 1ABAB平面平面ABCDABCD= =ABAB, ,G G1 1E EABAB，G G1 1E E平面平面G G1 1ABAB, ,所以所以G G1 1E E平面平面ABCDABCD, ,故故G G1 1E EEFEF. .因為因為G G1 1G G2 2ADAD, ,ADAD= =EFEF, ,所以可在所以可在EFEF上取一點上取一點O O, ,使使EOEO= =G G1 1G G2 2, ,又因為又因為G G1 1G

41、G2 2ADADEOEO，所以四邊形，所以四邊形G G1 1EOGEOG2 2是矩形是矩形. . 由題設由題設ABAB=12,=12,BCBC=25,=25,EGEG=8,=8,則則GFGF=17.=17.所以所以G G2 2O O= =G G1 1E E=8,=8,G G2 2F F=17,=17,OFOF= =15,= =15,G G1 1G G2 2= =EOEO=10.=10.因為因為ADAD平面平面G G1 1ABAB, ,G G1 1G G2 2ADAD, ,所以所以G G1 1G G2 2平面平面G G1 1ABAB, ,從而從而G G1 1G G2 2G G1 1B B. .=

42、6=62 2+8+82 2+10+102 2=200=200，BGBG2 2= = 又又AGAG1 1= = 由由BHBHAGAG1 1= =G G1 1E EABAB, ,得得BHBH= = 故故sinsinBGBG2 2H H= = 即直線即直線BGBG2 2與平面與平面G G1 1ADGADG2 2所成的角的正弦值為所成的角的正弦值為 22817 22121222GGEGBEBG故. 210,108622.54810128.2521221015482BGBH.25212方法二方法二 (1)(1)證明證明 因為平面因為平面G G1 1ABAB平面平面ABCDABCD, ,平面平面G G1

43、1ABAB平面平面ABCDABCD= =ABAB, ,G G1 1E EABAB, ,G G1 1E E平面平面G G1 1ABAB, ,所以所以G G1 1E E平面平面ABCDABCD，從而從而G G1 1E EADAD. .又又ABABADAD，所以所以ADAD平面平面G G1 1ABAB. .因為因為ADAD 平面平面G G1 1ADGADG2 2, ,所以平面所以平面G G1 1ABAB平面平面G G1 1ADGADG2 2. .(2)(2)解解 由由(1)(1)可知可知, ,G G1 1E E平面平面ABCDABCD. .故以故以E E為原點為原點, ,分別以直線分別以直線EBEB

44、, ,EFEF, ,EGEG1 1為為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸建立空間直角坐標系軸建立空間直角坐標系( (如圖所示如圖所示),),由題設由題設ABAB=12,=12,BCBC=25,=25,EGEG=8,=8,則則EBEB=6,=6,EFEF=25,=25,EGEG1 1=8,=8,相關各點的坐標分別是相關各點的坐標分別是A A(-6,0,0),(-6,0,0),D D(-6,25,0),(-6,25,0),G G1 1(0,0,8),(0,0,8),B B(6,0,0).(6,0,0).所以所以 =(0,25,0), =(6,0,8).=(0,25,0), =(6,0,8).設設

45、n n=(=(x x, ,y y, ,z z) )是平面是平面G G1 1ADGADG2 2的一個法向量，的一個法向量，故可取故可取n n=(4,0,-3).=(4,0,-3).過點過點G G2 2作作G G2 2O O平面平面ABCDABCD于點于點O O，AD1AG086, 025. 0, 01zxyAGnADn得由因為因為G G2 2C C= =G G2 2D D, ,所以所以OCOC= =ODOD, ,于是點于是點O O在在y y軸上軸上, ,因為因為G G1 1G G2 2ADAD，所以所以G G1 1G G2 2EFEF, ,G G2 2O O= =G G1 1E E=8.=8.設

46、設G G2 2(0,(0,m m,8) (0,8) (0m m25),25),由由17172 2=8=82 2+(25-+(25-m m) )2 2, ,解得解得m m=10=10，所以所以G G2 2(0,10,8),(0,10,8),所以所以 =(0,10,8)-(6,0,0)=(-6,10,8).=(0,10,8)-(6,0,0)=(-6,10,8).設設BGBG2 2和平面和平面G G1 1ADGADG2 2所成的角是所成的角是 即直線即直線BGBG2 2與平面與平面G G1 1ADGADG2 2所成的角的正弦值為所成的角的正弦值為 ,.25212348106|2424|sin2222

47、222nBGnBG則.252122BG【探究拓展探究拓展】解決折疊問題的關鍵是弄清折疊前后的解決折疊問題的關鍵是弄清折疊前后的 不變量和變化量不變量和變化量, ,一般情況下一般情況下, ,線段長度是不變量線段長度是不變量, ,而而 折痕同側(cè)的各種關系不發(fā)生變化折痕同側(cè)的各種關系不發(fā)生變化, ,折痕兩側(cè)的位置關折痕兩側(cè)的位置關 系將發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的關鍵系將發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的關鍵. .變式訓練變式訓練4 4 已知等腰梯形已知等腰梯形PBCDPBCD中中,(,(如圖如圖1),1),PBPB=3,=3, DCDC=1=1, ,PDPD= =BCBC= = A A是是PBP

48、B邊上一點邊上一點, ,且且ADADPBPB, ,現(xiàn)將現(xiàn)將 PADPAD沿沿ADAD折起折起, ,使平面使平面PADPAD平面平面ABCDABCD( (如圖如圖2).2). (1) (1)證明證明: :平面平面PADPAD平面平面PCDPCD; ; (2) (2)試在棱試在棱PBPB上確定一點上確定一點MM, ,使截面使截面AMCAMC把幾何體分把幾何體分 成兩部分的體積比成兩部分的體積比V VPDCMAPDCMA: :V VMACBMACB=2:1;=2:1; (3) (3)在點在點MM滿足滿足(2)(2)的條件下的條件下, ,判斷直線判斷直線PDPD是否平行于是否平行于 平面平面AMCAM

49、C, ,并說明理由并說明理由. . ,2(1)(1)證明證明 由題意知由題意知: :CDCDADAD, ,又平面又平面PADPAD平面平面ABCDABCD, ,所以所以CDCD平面平面PADPAD, ,又又CDCD平面平面PCDPCD, ,所以所以, ,平面平面PADPAD平面平面PCDPCD. .(2)(2)解解 由由(1)(1)知知PAPA平面平面ABCDABCD, ,所以平面所以平面PABPAB平面平面ABCDABCD, ,在在PBPB上取一點上取一點MM，作作MNMNABAB于于N N，則則MNMN平面平面ABCDABCD, ,設設MNMN= =h h, ,則則V VMMABCABC=

50、 = S SABCABCh h,3122131hh 31要使要使V VPDCMAPDCMA: :V VMACBMACB=2:1,=2:1,解得解得h h= = 即即MM為為PBPB的中點的中點. .(3)(3)解解 連接連接BDBD交交ACAC于點于點O O, ,因為因為ABABCDCD, ,ABAB=2,=2,CDCD=1,=1,由三角形相似得由三角形相似得BOBO=2=2ODOD, ,所以所以O O不是不是BDBD的中點的中點, ,又又MM為為PBPB的中點的中點, ,所以在平面所以在平面PBDPBD中中, ,直線直線OMOM與與PDPD相交相交, ,所以直線所以直線PDPD與平面與平面A

51、MCAMC不平行不平行. . .21112213131PASVABCDABCDP,21, 1:23: )321(hh即【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】 (2009(2009山東山東) )如圖如圖, ,在直四棱柱在直四棱柱 ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,底面底面ABCDABCD 為等腰梯形為等腰梯形, ,ABABCDCD, ,ABAB=4,=4, BCBC= =CDCD=2,=2,AAAA1 1=2,=2,E E、E E1 1、F F分別分別 是棱是棱ADAD、AAAA1 1、ABAB的中點的中點. . (1) (1)證明證明: :直線直線EEEE1 1平面平

52、面FCCFCC1 1； (2)(2)求二面角求二面角B BFCFC1 1C C的余弦值的余弦值. . (1)(1)證明證明 在直四棱柱在直四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,取取A A1 1B B1 1的中的中點點F F1 1，連接連接A A1 1D D, ,C C1 1F F1 1, ,CFCF1 1, ,因為因為ABAB=4,=4,CDCD=2,=2,且且ABABCD,CD,所以所以 所以四邊形所以四邊形A A1 1F F1 1CDCD為平行四邊為平行四邊形，所以形，所以CFCF1 1A A1 1D D, ,又因為又因為E E、E E1 1分別是

53、棱分別是棱ADAD、AAAA1 1的中點的中點, ,所以所以EEEE1 1A A1 1D D, ,所以所以CFCF1 1EEEE1 1, ,又因為又因為EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1，CFCF1 1平面平面FCCFCC1 1, ,所以直線所以直線EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1. . 6 6分分,/11FACD(2)(2)解解 因為因為ABAB=4,=4,BCBC= =CDCD=2,=2,F F是棱是棱ABAB的中點的中點, ,所以所以BFBF= =BCBC= =CFCF, ,BCFBCF為正三角形為正三角形, ,取取CFCF的中點的中點O O, ,則則OBOBCFCF, ,

54、又因為直四棱柱又因為直四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,CCCC1 1平面平面ABCDABCD, ,所以所以CCCC1 1BOBO, ,所以所以OBOB平面平面CCCC1 1F F, ,過過O O在平面在平面CCCC1 1F F內(nèi)作內(nèi)作OPOPC C1 1F F, ,垂足為垂足為P,P, 連接連接BPBP, ,則則OPBOPB為二面角為二面角B BFCFC1 1C C的一個平面角的一個平面角, 9, 9分分在在BCFBCF為正三角形中為正三角形中, ,OBOB= = 在在RtRtCCCC1 1F F中中, ,OPFOPFCCCC1 1F F, ,

55、3 在在RtRtOPBOPB中中, ,BPBP= =coscosOPBOPB= 11= 11分分所以二面角所以二面角B BFCFC1 1C C的余弦值為的余弦值為 1212分分.222221,2211OPFCOFCCOP,21432122OBOP,7721422BPOP.771.1.解決平行問題的常用方法解決平行問題的常用方法: :證線線平行的問題常證線線平行的問題常 用方法用方法:):)利用定義利用定義.).)利用公理利用公理4.)4.)利用線面平利用線面平 行的性質(zhì)定理證明行的性質(zhì)定理證明. .) )利用線面垂直的性質(zhì)定理證利用線面垂直的性質(zhì)定理證 明明.).)利用面面平行的性質(zhì)定理證明利

56、用面面平行的性質(zhì)定理證明. .證明線面平證明線面平 行問題的常用方法行問題的常用方法:):)利用定義證明利用定義證明.).)利用線面利用線面 平行的判定定理證明平行的判定定理證明.).)利用面面平行的重要結(jié)論利用面面平行的重要結(jié)論 證明證明. .證明面面平行的常用方法證明面面平行的常用方法:) )利用定義證明利用定義證明. . ) )利用面面平行的判定定理證明利用面面平行的判定定理證明.).)利用線面垂直利用線面垂直 的重要結(jié)論證明的重要結(jié)論證明. .特別提醒特別提醒: :在平行問題中在平行問題中, ,平行關系平行關系 的轉(zhuǎn)化是重要的數(shù)學思想的轉(zhuǎn)化是重要的數(shù)學思想, ,在應用中在應用中, ,應

57、認真領悟應認真領悟“線線平行線線平行線面平行線面平行面面平行面面平行”這三種平行關系這三種平行關系 的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化. .2.2.解決垂直問題的常用方法解決垂直問題的常用方法: :線線垂直問題線線垂直問題:):)利利 用定義用定義.).)利用線面垂直的定義利用線面垂直的定義. .線面垂直線面垂直:) )利利 用線面垂直的定義用線面垂直的定義( (反證法或向量法反證法或向量法) ).).)線面垂直的線面垂直的 判定定理判定定理.).)利用線面垂直的判定定理的推論證明利用線面垂直的判定定理的推論證明. . ) )利用面面垂直的性質(zhì)定理證明利用面面垂直的性質(zhì)定理證明.).)利用面面平行利用面面平行 的重

58、要結(jié)論證明的重要結(jié)論證明. .面面垂直面面垂直:):)利用定義證明利用定義證明. . ) )利用面面垂直的判定定理利用面面垂直的判定定理. .3.3.空間角問題的常見解法空間角問題的常見解法: :直線與平面所成角直線與平面所成角: :作出作出 直線與平面所成的角直線與平面所成的角, ,關鍵是作垂線關鍵是作垂線, ,找射影找射影. .兩異兩異 面直線所成的角面直線所成的角:):)平移法平移法. .)補形法補形法. .)向量法向量法. . 二面角的常用方法二面角的常用方法:):)定義法定義法. .）利用線面垂直）利用線面垂直關系來確定二面角的平面角關系來確定二面角的平面角.一、選擇題一、選擇題1.

59、1.給定空間中的直線給定空間中的直線l l及平面及平面 , ,條件條件“直線直線l l與平面與平面 內(nèi)兩條相交直線都垂直內(nèi)兩條相交直線都垂直”是是“直線直線l l與平面與平面 垂直垂直” 的的 ( )( ) A. A.充分非必要條件充分非必要條件 B.B.必要非充分條件必要非充分條件 C.C.充要條件充要條件 D.D.既非充分又非必要條件既非充分又非必要條件 解析解析 由線面垂直的判定定理知是充要條件由線面垂直的判定定理知是充要條件. . C C2.(20092.(2009全國全國)已知二面角已知二面角 為為6060, ,動點動點 P P、Q Q分別在面分別在面 內(nèi)內(nèi), ,P P到到 的距離為

60、的距離為 , ,Q Q到到 的的 距離為距離為 則則P P、Q Q兩點之間距離的最小值為兩點之間距離的最小值為 ( )( ) A. B.2 C. D.4 A. B.2 C. D.4 解析解析 如圖如圖, ,過過P P作作PEPE 交交 于于 E E, ,在平面在平面 內(nèi)過點內(nèi)過點E E作作EFEFl l, ,則則 PFEPFE=60=60, ,由由P P到到 的距離為的距離為 知知PEPE= =PFPF=2.=2.同理可求平面同理可求平面 內(nèi)的點內(nèi)的點Q Q到棱到棱l l的距離為的距離為4.4.當當將二面角展開將二面角展開, ,P P、Q Q的連線與的連線與l l垂直時垂直時, ,P P、Q

61、Q兩點之間兩點之間l、3, 323223. 3 的距離最短的距離最短( (此時在二面角內(nèi)此時在二面角內(nèi), ,P P、Q Q應是二面角平面應是二面角平面 角邊上的兩點）角邊上的兩點）. . 其最小值應為其最小值應為d d2 2=4+16-2=4+16-24 42 2cos 60cos 60=12,=12, d d= = 答案答案 C C3.3.已知已知m m, ,n n是兩條不同直線是兩條不同直線, , 是三個不同平面是三個不同平面, , 下列命題中正確的是下列命題中正確的是 ( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 由線面的位置關系可知由線面的位置關系可知B B正

62、確正確. . . 32,/,則若nmnm/,則若nmnm/,/,/則若/,/,/則若mmB B4.(20094.(2009江西江西) )如圖如圖, ,正四面體正四面體 ABCDABCD的頂點的頂點A A, ,B B, ,C C分別在兩兩分別在兩兩 垂直的三條射線垂直的三條射線OxOx, ,OyOy, ,OzOz上上, , 則在下列命題中則在下列命題中, ,錯誤的為錯誤的為( )( ) A. A.O OABCABC是正三棱錐是正三棱錐 B.B.直線直線OBOB平面平面ACDACD C. C.直線直線ADAD與與OBOB所成的角是所成的角是4545 D. D.二面角二面角D DOBOBA A為為4

63、545 解析解析 將原圖補為正方體不難得出將原圖補為正方體不難得出B B錯誤錯誤, ,故選故選B. B. B B5.5.已知三棱柱已知三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的側(cè)棱與底面邊長都相等的側(cè)棱與底面邊長都相等, , A A1 1在底面在底面ABCABC內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為ABCABC的中心的中心, ,則則ABAB1 1與底面與底面 ABCABC所成角的正弦值等于所成角的正弦值等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 設棱柱的側(cè)棱與底面設棱柱的側(cè)棱與底面 邊長均為邊長均為a a, ,O O為為ABCABC的中心的中心, , 如圖如圖,

64、,連接連接AOAO, ,則則AOAO= = A A1 1O O平面平面ABCABC, , A A1 1O O= = 又在三棱柱又在三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中中, ,A A1 1B B1 1平面平面ABCABC, , .33a.36a31323332點點B B1 1到平面到平面ABCABC的距離為的距離為d d= =連接連接ABAB1 1、A A1 1B B、BOBO, ,設設A A1 1B B與與ABAB1 1交點為交點為H H. .在在RtRtA A1 1BOBO中中, ,A A1 1B B= =a a. .四邊形四邊形AAAA1 1B B1 1B B為菱形為菱

65、形,A A1 1H HABAB1 1, ,設設ABAB1 1與底面與底面ABCABC成的角為成的角為答案答案 B B .3,2312121aABaHAAAAH,.323136sin1aaABd則.36a6.(20096.(2009海南海南) )如圖所示如圖所示, ,正方體正方體 ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為1 1，線，線 段段B B1 1D D1 1上有兩個動點上有兩個動點E E、F F, ,且且EFEF = = 則下列結(jié)論中錯誤的是則下列結(jié)論中錯誤的是( )( ) A. A.ACACBEBE B. B.EFEF平面平面ABCDABCD C.

66、 C.三棱錐三棱錐A ABEFBEF的體積為定值的體積為定值 D.D.異面直線異面直線AEAE, ,BFBF所成的角為定值所成的角為定值 ,22解析解析 由正方體的性質(zhì)可知由正方體的性質(zhì)可知, ,ACAC平面平面BBBB1 1D D1 1D D, ,則則ACACBEBE, ,所以所以A A正確正確; ;易知易知B B正確正確; ;因因B B到直線到直線B B1 1D D1 1的距離是的距離是1,1,而而EFEF= = 點點A A到平面到平面BBBB1 1D D1 1D D的距離為常量的距離為常量 所所以三棱錐以三棱錐A ABEFBEF的體積的體積V VA ABEFBEF= =所以所以C C正確正確. .答案答案 D D ,22,22,121222212131二、填空題二、填空題7.(20097.(2009江蘇江蘇) )在平面上在平面上, ,若兩個正三角形的邊長比若兩個正三角形的邊長比 為為1:2,1:2,則它們的面積比為則它們的面積比為1:4,1:4,類似地類似地, ,在空間中在空間中, ,若若 兩個正四面體的棱長比為兩個正四面體的棱長比為1:2,1:2,則它們的體積比為則它們的體積比