高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應(yīng)用 第2講 導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課件 理 新人教A版.ppt

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第2講導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 最新考綱1 了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系 能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 其中多項式函數(shù)一般不超過三次 2 了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件 會用導數(shù)求函數(shù)的極大值 極小值 其中多項式函數(shù)一般不超過三次 會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值 最小值 其中多項式函數(shù)一般不超過三次 知識梳理 1 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系已知函數(shù)f x 在某個區(qū)間內(nèi)可導 1 若f x 0 則函數(shù)y f x 在這個區(qū)間內(nèi) 2 若f x 0 則函數(shù)y f x 在這個區(qū)間內(nèi) 3 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù) 2 函數(shù)的極值與導數(shù) 1 判斷f x0 是極值的方法一般地 當函數(shù)f x 在點x0處連續(xù)且f x0 0 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 如果在x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是 如果在x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是極小值 2 求可導函數(shù)極值的步驟 求f x 求方程 的根 檢查f x 在方程f x 0的根的左右兩側(cè)的符號 如果左正右負 那么f x 在這個根處取得 如果左負右正 那么f x 在這個根處取得 極大值 f x 0 極大值 極小值 3 函數(shù)的最值與導數(shù) 1 函數(shù)f x 在 a b 上有最值的條件如果在區(qū)間 a b 上函數(shù)y f x 的圖象是連續(xù)不斷的曲線 那么它必有最大值和最小值 2 設(shè)函數(shù)f x 在 a b 上連續(xù)且在 a b 內(nèi)可導 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步驟如下 求f x 在 a b 內(nèi)的極值 將f x 的各極值與 比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 f a f b 診斷自測 1 判斷正誤 在括號內(nèi)打 或 1 函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件是f x 0 2 函數(shù)的極大值一定比極小值大 3 對可導函數(shù)f x f x0 0是x0為極值點的充要條件 4 函數(shù)的最大值不一定是極大值 函數(shù)的最小值也不一定是極小值 2 人教A選修2 2P32A4改編 如圖是f x 的導函數(shù)f x 的圖象 則f x 的極小值點的個數(shù)為 A 1B 2C 3D 4 解析由題意知在x 1處f 1 0 且其左右兩側(cè)導數(shù)符號為左負右正 答案A 3 2014 新課標全國 卷 若函數(shù)f x kx lnx在區(qū)間 1 上單調(diào)遞增 則k的取值范圍是 A 2 B 1 C 2 D 1 答案D 4 函數(shù)y 2x3 2x2在區(qū)間 1 2 上的最大值是 答案8 答案 0 1 考點一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 規(guī)律方法 1 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準確判定導數(shù)的符號 當f x 含參數(shù)時 需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論 2 若可導函數(shù)f x 在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增 減 求參數(shù)范圍問題 可轉(zhuǎn)化為f x 0 或f x 0 恒成立問題 從而構(gòu)建不等式 要注意 是否可以取到 考點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 例2 已知函數(shù)f x x alnx a R 1 當a 2時 求曲線y f x 在點A 1 f 1 處的切線方程 2 求函數(shù)f x 的極值 規(guī)律方法 1 求函數(shù)f x 極值的步驟 確定函數(shù)的定義域 求導數(shù)f x 解方程f x 0 求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根 列表檢驗f x 在f x 0的根x0左右兩側(cè)值的符號 如果左正右負 那么f x 在x0處取極大值 如果左負右正 那么f x 在x0處取極小值 2 可導函數(shù)y f x 在點x0處取得極值的充要條件是f x0 0 且在x0左側(cè)與右側(cè)f x 的符號不同 應(yīng)注意 導數(shù)為零的點不一定是極值點 對含參數(shù)的求極值問題 應(yīng)注意分類討論 訓練2 已知函數(shù)f x ax 1 lnx a R 1 討論函數(shù)f x 在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù) 2 若函數(shù)f x 在x 1處取得極值 x 0 f x bx 2恒成立 求實數(shù)b的取值范圍 考點三利用導數(shù)求函數(shù)的最值 例3 2016 濰坊模擬 已知函數(shù)f x ax2 bx c ex在 0 1 上單調(diào)遞減且滿足f 0 1 f 1 0 1 求a的取值范圍 2 設(shè)g x f x f x 求g x 在 0 1 上的最大值和最小值 解 1 由f 0 1 f 1 0 得c 1 a b 1 則f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 依題意對于任意x 0 1 有f x 0 當a 0時 因為二次函數(shù)y ax2 a 1 x a的圖象開口向上 而f 0 a 0 所以需f 1 a 1 e 0 即0 a 1 當a 1時 對于任意x 0 1 有f x x2 1 ex 0 且只在x 1時f x 0 f x 符合條件 當a 0時 對于任意x 0 1 f x xex 0 且只在x 0時 f x 0 f x 符合條件 當a 0時 因f 0 a 0 f x 不符合條件 故a的取值范圍為0 a 1 2 因g x 2ax 1 a ex g x 2ax 1 a ex 當a 0時 g x ex 0 g x 在x 0處取得最小值g 0 1 在x 1處取得最大值g 1 e 當a 1時 對于任意x 0 1 有g(shù) x 2xex 0 g x 在x 0處取得最大值g 0 2 在x 1處取得最小值g 1 0 規(guī)律方法求函數(shù)f x 在 a b 上的最大值和最小值的步驟 1 求函數(shù)在 a b 內(nèi)的極值 2 求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f a f b 3 將函數(shù)f x 的各極值與f a f b 比較 其中最大的一個為最大值 最小的一個為最小值 訓練3 已知函數(shù)f x xlnx 1 求函數(shù)f x 的極值點 2 設(shè)函數(shù)g x f x a x 1 其中a R 求函數(shù)g x 在區(qū)間 1 e 上的最小值 其中e為自然對數(shù)的底數(shù) 思想方法 1 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值可列表觀察函數(shù)的變化情況 直觀而且條理 減少失分 2 求極值 最值時 要求步驟規(guī)范 表格齊全 含參數(shù)時 要討論參數(shù)的大小 3 求函數(shù)最值時 不可想當然地認為極值點就是最值點 要通過認真比較才能下結(jié)論 一個函數(shù)在其定義域最值是唯一的 可以在區(qū)間的端點取得 易錯防范 1 注意定義域優(yōu)先的原則 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進行 2 解題時要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性求參數(shù)范圍等問題 處理好f x 0時的情況 區(qū)分極值點和導數(shù)為0的點 3 f x 為增函數(shù)的充要條件是對任意的x a b 都有f x 0且在 a b 內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f x 0 應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略 否則漏解