數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 3 二倍角的三角函數(shù)(二) 北師大版必修4

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1、3 二倍角的三角函數(shù)(二)第三章 三角恒等變形學(xué)習(xí)目標1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，體會其中的三角恒等變換的基本思想方法.2.了解三角恒等變換的特點、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法.3.能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及三角恒等式的證明和一些簡單的應(yīng)用.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)知識點一半角公式我們知道倍角公式中，“倍角是相對的”，那么對余弦的二倍角公式，若用2替換，結(jié)果怎樣？答案思考1思考2答案思考3利用tan 和倍角公式又能得到tan 與sin ，cos 有怎樣的關(guān)系？答案正弦、余弦、正切的半角公式梳理梳理sin _，cos _，tan _知識點二輔助角

2、公式思考1asin xbcos x化簡的步驟有哪些？答案(2)定角度，確定一個角滿足：思考2在上述化簡過程中，如何確定所在的象限？答案答案答案所在的象限由a和b的符號確定.輔助角公式梳理梳理題型探究類型一應(yīng)用半角公式求值解答(1)若沒有給出角的范圍，則根號前的正負號需要根據(jù)條件討論.(2)由三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)式的值的步驟：先化簡所求的式子；觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從角和三角函數(shù)名稱入手).反思與感悟解答類型二三角恒等式的證明證明左邊右邊，原式得證.證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證.對恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡的原則，從左邊推到右邊

3、或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一，變更論證等方法.常用定義法、化弦法、化切法、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法.反思與感悟證明原等式成立.類型三利用輔助角公式研究函數(shù)性質(zhì)解答(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；解答(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.(1)為了研究函數(shù)的性質(zhì)，往往要充分利用三角變換公式轉(zhuǎn)化為正弦型(余弦型)函數(shù)，這是解決問題的前提.(2)解此類題時要充分運用兩角和(差)、二倍角公式、輔助角轉(zhuǎn)換公式消除差異，減少角的種類和函數(shù)式的項數(shù)，為討論函數(shù)性質(zhì)提供保障.反思與感悟解答(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；解答(2)求

4、函數(shù)h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值時x的集合.類型四三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用解答例例4如圖，ABCD是一塊邊長為100 m的正方形地皮，其中AST是半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點P在ST上，相鄰兩邊CQ、CR正好落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值.解解如圖，連接AP，設(shè)PAB(090)，延長RP交AB于M，則AM90cos ，MP90sin .所以PQMB10090cos ，PRMRMP10090sin .所以S矩形PQCRPQPR(10090cos )(10090

5、sin )10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .此類問題關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)模型，首先要選準角，有利于表示所需線段，其次要確定角的范圍.反思與感悟解答跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4某工人要從一塊圓心角為45的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為1 m，求割出的長方形桌面的最大面積(如圖).解解連接OC，設(shè)COB，則045，OC1.ABOBOAcos ADcos sin ，S矩形ABCDABBC(cos sin )sin sin2sin cos 當(dāng)堂訓(xùn)練23451答案解析23451答案解析答案解析2345123451答案解析4.函數(shù)f(x)sin xcos x，x 的最小值為 .123451解答234512.輔助角公式asin xbcos x sin(x)，其中滿足： 與點(a，b)同象限；tan (或sin ，cos ).規(guī)律與方法1.學(xué)習(xí)三角恒等變換，千萬不要只顧死記硬背公式，而忽視對思想方法的理解，要學(xué)會借助前面幾個有限的公式來推導(dǎo)后繼公式，立足于在公式推導(dǎo)過程中記憶公式和運用公式.3.研究形如f(x)asin xbcos x的函數(shù)性質(zhì)，都要運用輔助角公式化為一個整體角的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的形式.因此輔助角公式是三角函數(shù)中應(yīng)用較為廣泛的一個重要公式，也是高考常考的考點之一.對一些特殊的系數(shù)a，b應(yīng)熟練掌握，本課結(jié)束