高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 第3節(jié) 一元二次不等式及其解法課件 理 新人教A版.ppt

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第3節(jié)一元二次不等式及其解法 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型 通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù) 一元二次方程的關(guān)系 會(huì)解一元二次不等式 對(duì)給定的一元二次不等式 會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖 整合 主干知識(shí) 1 一元二次不等式及標(biāo)準(zhǔn)形式只含有一個(gè)未知數(shù) 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式不等式叫做一元二次不等式 其標(biāo)準(zhǔn)形式為ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 其中a 0 2 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解過程用程序框圖表示為 3 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表 x x x1 x x x1 x x1 x x2 或x x2 x a x b 0 解析 原不等式化為 x 1 x 2 0 解得 2 x 1 故原不等式的解集為 2 1 答案 C 答案 C提示 一元二次不等式區(qū)間的端點(diǎn)值為對(duì)應(yīng)方程的根 答案 A 解析 由x2 x 12 0得 x 3 x 4 0 x 4或x 3 答案 4 3 5 已知不等式x2 2x k2 1 0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立 則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 提示 取值范圍 定義域 值域解集應(yīng)用集合或區(qū)間表示 聚集 熱點(diǎn)題型 思路點(diǎn)撥 1 將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 2 對(duì)參數(shù)a與0 1的關(guān)系分類討論求解 一元二次不等式的解法 名師講壇 1 分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 2 在解含參數(shù)的不等式時(shí) 應(yīng)注意分類討論 其分類標(biāo)準(zhǔn)一般有三種 按二次項(xiàng)系數(shù)分為a 0和a 0 有時(shí)需分a 0與a0 0 0時(shí) 按兩根的大小進(jìn)行分類 變式訓(xùn)練 1 1 不等式ax2 bx c 0的解集為 x 20的解集為 解析 令f x ax2 bx c 則f x ax2 bx c 結(jié)合圖象 可得ax2 bx c 0的解集為 x 3 x 2 答案 x 3 x 2 2 解關(guān)于x的不等式ax2 2 2x ax a R 典例賞析2 1 若不等式mx2 2x 1 0恒成立 則m的取值范圍是 2 若關(guān)于x的不等式ax2 x 2a 0的解集為 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 思路點(diǎn)撥 1 首先對(duì)不等式中二次項(xiàng)系數(shù)m討論確定不等式類型然后求解 2 題中條件等價(jià)于 關(guān)于x的不等式ax2 x 2a 0恒成立 與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題 名師講壇 1 解決恒成立問題一定要分清哪個(gè)為變量哪個(gè)為參數(shù) 一般地 知道范圍的為變量 所求量為參數(shù) 變式訓(xùn)練 2 1 若關(guān)于x的不等式x2 ax a 0的解集為R 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 2 若關(guān)于x的不等式x2 ax a 3的解集不是空集 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 1 由題意知 a2 4a 0 解得 4 a 0 因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為 4 a 0 2 由題意知關(guān)于x的一元二次方程x2 ax a 3 0有解 因此有 a 2 4 3 a a2 4a 12 0 所以a 6或a 2 因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為 a 6或a 2 答案 1 4 0 2 6 2 典例賞析3 某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元 輛 出廠價(jià)為12萬元 輛 年銷售量為10000輛 本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求 計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量 適度增加投入成本 若每輛車投入成本增加的比例為x 0 x 1 則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0 75x 同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0 6x 已知年利潤(rùn) 出廠價(jià) 投入成本 年銷售量 元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用 1 寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式 2 為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加 則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi) 思路點(diǎn)撥 1 依據(jù) 年利潤(rùn) 出廠價(jià) 投入成本 年銷售量 寫出 2 年利潤(rùn)有所增加 即y 12 10 10000 0 解此不等式即可得x的范圍 名師講壇 不等式應(yīng)用題常以函數(shù) 數(shù)列為背景出現(xiàn) 多是解決現(xiàn)實(shí)生活 生產(chǎn)中的最優(yōu)化問題 在解題中主要涉及到不等式的解法等問題 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是解不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵 變式訓(xùn)練 3 某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品 并每100元納稅10元 又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn) 計(jì)劃可收購a萬擔(dān) 政府為了鼓勵(lì)收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品 決定將征稅率降低x x 0 個(gè)百分點(diǎn) 預(yù)測(cè)收購量可增加2x個(gè)百分點(diǎn) 2 原計(jì)劃稅收為200a 10 20a 萬元 依題意得a 100 2x 10 x 20a 83 2 化簡(jiǎn)得x2 40 x 84 0 解得 42 x 2 又 0 x 10 0 x 2 備課札記 提升 學(xué)科素養(yǎng) 理 數(shù)形結(jié)合思想在不等式問題中的應(yīng)用 注 對(duì)應(yīng)文數(shù)熱點(diǎn)突破之三十 若x 0時(shí) 均有 a 1 x 1 x2 ax 1 0 則a 審題視角 當(dāng)a 1時(shí) a 1 x 10恒成立 而當(dāng)a 1時(shí) f x a 1 x 1與g x x2 ax 1均過點(diǎn) 0 1 故可用數(shù)形結(jié)合思想解題 解析 1 當(dāng)a 1時(shí) 對(duì)x 0 恒有 a 1 x 10 恒有x2 ax 1 0 由于二次函數(shù)y x2 ax 1的圖象開口向上 式不恒成立 即a 1時(shí) 原不等式不會(huì)恒成立 方法點(diǎn)睛 1 對(duì)于常規(guī)方法不易解決的不等式問題 可構(gòu)造函數(shù) 利用數(shù)形結(jié)合的方法解決 2 解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是 找到參數(shù)a分類討論的標(biāo)準(zhǔn) 將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象間的關(guān)系問題 借助函數(shù)圖象特征 找到兩函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系 2013 新課標(biāo)全國(guó)卷 高考 若存在正數(shù)x使2x x a 1成立 則a的取值范圍是 A B 2 C 0 D 1 答案 D 1 一個(gè)技巧若一元二次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后 化為ax2 bx c 0 或 0 其中a 0 的形式 其對(duì)應(yīng)的方程ax2 bx c 0有兩個(gè)不等實(shí)根x1 x2 x1 x2 此時(shí) b2 4ac 0 則可根據(jù) 大于取兩邊 小于夾中間 求解集 2 兩點(diǎn)提醒 1 解含參數(shù)的一元二次不等式 若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù) 可先考慮因式分解 再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論 若不易因式分解 則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論 分類要不重不漏 2 二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí) 則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零 然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)的情形 以便確定解集的形式