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1、微專題51 等差等比數(shù)列綜合問題
一、基礎(chǔ)知識:
1、等差數(shù)列性質(zhì)與等比數(shù)列性質(zhì):
等差數(shù)列
等比數(shù)列
遞推公式
通項公式
等差(比)中項
等間隔抽項
仍構(gòu)成等差數(shù)列
仍構(gòu)成等比數(shù)列
相鄰項和
成等差數(shù)列
成等比數(shù)列
2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的互化:
(1)若為等差數(shù)列,,則成等比數(shù)列
證明:設(shè)的公差為,則為一個常數(shù)
所以成等比數(shù)列
(2)若為正項等比數(shù)列,,則成等差數(shù)列
證明:設(shè)的公比為,則為常數(shù)
所以成等差數(shù)列
二、典型例題:
例1:已知等比數(shù)列中,若成等差數(shù)列,則公比( )
A.
2、 B. 或 C. D.
思路:由“成等差數(shù)列”可得:,再由等比數(shù)列定義可得:,所以等式變?yōu)椋航獾没?,?jīng)檢驗均符合條件
答案:B
例2:已知是等差數(shù)列,且公差不為零,其前項和是,若成等比數(shù)列,則( )
A. B.
C. D.
思路:從“成等比數(shù)列”入手可得:,整理后可得:,所以,則,且,所以符合要求
答案:B
小煉有話說:在等差數(shù)列(或等比數(shù)列)中,如果只有關(guān)于項的一個條件,則可以考慮將涉及的項均
3、用(或)進(jìn)行表示,從而得到(或)的關(guān)系
例3:已知等比數(shù)列中的各項均為正數(shù),且,則_______________
思路:由等比數(shù)列性質(zhì)可得:,從而,因為為等比數(shù)列,所以為等差數(shù)列,求和可用等差數(shù)列求和公式:
答案:
例4:三個數(shù)成等比數(shù)列,其乘積為,如果第一個數(shù)與第三個數(shù)各減,則成等差數(shù)列,則這三個數(shù)為___________
思路:可設(shè)這三個數(shù)為,則有,解得,而第一個數(shù)與第三個數(shù)各減2,新的等差數(shù)列為,所以有:,即,解得或者,時,這三個數(shù)為,當(dāng)時,這三個數(shù)為
答案:
小煉有話說:三個數(shù)成等比(或等差)數(shù)列時,可以中間的數(shù)為核心。設(shè)為(或),這種“對稱”的設(shè)法便于充分利用條件
4、中的乘積與和的運算。
例5:設(shè)是等差數(shù)列,為等比數(shù)列,其公比,且,若,則有( )
A. B. C. D. 或
思路:抓住和的序數(shù)和與的關(guān)系,從而以此為入手點。由等差數(shù)列性質(zhì)出發(fā),,因為,而為等比數(shù)列,聯(lián)想到與有關(guān),所以利用均值不等式可得:(故,均值不等式等號不成立)所以即
答案:B
小煉有話說:要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列擅長的運算,等差數(shù)列擅長加法,等比數(shù)列擅長乘積。所以在選擇入手點時可根據(jù)表達(dá)式的運算進(jìn)行選擇。
例6:數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,則有( )
A. B
5、.
C. D. 與的大小不確定
思路:比較大小的式子為和的形式,所以以為入手點,可得,從而作差比較,由為正項等比數(shù)列可得:,所以
答案:B
小煉有話說:要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列擅長的運算,等差數(shù)列擅長加法,等比數(shù)列擅長乘積。所以在選擇入手點時可根據(jù)表達(dá)式的運算進(jìn)行選擇。
例7:設(shè)數(shù)列是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列,是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,則( )
A. B. C. D.
思路:求和看通項,考慮,所以,,所以
答案:A
例8:(2011,江
6、蘇)設(shè),其中成公比為的等比數(shù)列,成公差為的等差數(shù)列,則的最小值是___________
思路:可知等比數(shù)列為,等差數(shù)列為 ,依題意可得①,若要最小,則要達(dá)到最小,所以在①中,每一項都要盡量取較小的數(shù),即讓不等式中的等號成立。所以,所以,驗證當(dāng)時, ,①式為,滿足題意。
答案:
例9:已知等差數(shù)列的公差,前項和為,等比數(shù)列是公比為的正整數(shù),前項和為,若,且是正整數(shù),則等于( )
A. B. C. D.
解:本題的通項公式易于求解,由可得,而處理通項公式的關(guān)鍵是要解出,由可得,所以,由,可得,所
7、以可取的值為,可得只有才有符合條件的,即,所以,所以,,則
答案:D
例10:個正數(shù)排成行列(如表),其中每行數(shù)都成等差數(shù)列,每列數(shù)都成等比數(shù)列,且所有的公比都相同,已知,則_______,___________
思路:本題抓住公比相同,即只需利用一列求出公比便可用于整個數(shù)陣,抓住已知中的,可得,從而只要得到某一行的數(shù),即可求得數(shù)陣中的每一項 。而第四列即可作為突破口,設(shè)每 行的公差為 由可得,從而,所以 。則,求和的通項公式,利用錯位相減法可求得:
答案:
小煉有話說:對于數(shù)陣問題首先可設(shè)其中的項為(第行第列),因為數(shù)陣中每行每列具備特征,所以可將其中一行或一列作為突破口,求得通項公式或者關(guān)鍵量,然后再以該行(或該列)為起點拓展到其他的行與列,從而得到整個數(shù)陣的通項公式