山東省濟南市槐蔭區(qū)九年級數(shù)學(xué)下冊 第2章 二次函數(shù)（1）復(fù)習(xí)教案 （新版）北師大版.doc

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第二章二次函數(shù)（1） 一、復(fù)習(xí)目標(biāo) 1、理解二次函數(shù)的概念； 2、會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象； 3、會用配方法和公式確定拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標(biāo)； 4、會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式； 二、課時安排 1課時 三、復(fù)習(xí)重難點 用配方法和公式確定拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標(biāo)；用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式； 四、教學(xué)過程 （一）知識梳理 1．二次函數(shù)的概念 一般地，形如　 (a，b，c是常數(shù)，　 　)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)． [注意] (1)等號右邊必須是整式；(2)自變量的最高次數(shù)是2；(3)當(dāng)b＝0，c＝0時，y＝ax2是特殊的二次函數(shù)． 2．二次函數(shù)的圖象 二次函數(shù)的圖象是一條　 　，它是軸對稱圖形，其對稱軸平行于　　軸． [注意] 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的形狀、大小、開口方向只與a有關(guān)． 3．二次函數(shù)的性質(zhì) 4.二次函數(shù)圖象的平移 一般地，平移二次函數(shù)y＝ax2的圖象可得到二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象． [注意] 抓住頂點坐標(biāo)的變化，熟記平移規(guī)律，左加右減，上加下減． （二）題型、方法歸納 類型一　二次函數(shù)的定義應(yīng)用 例1　已知拋物線y＝(m＋1)xm2＋m的開口向下，求m的值． [解析] 本題容易考慮不全面，只考慮m＋1＜0，而忽略拋物線是二次函數(shù)的圖象，自變量x的次數(shù)為2.由拋物線開口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2. 解：根據(jù)題意，得解得m＝－2. 解答這類問題要明確兩點：(1)函數(shù)圖象是拋物線，所以是二次函數(shù)；(2)拋物線的開口只與二次項系數(shù)有關(guān)． 類型二　二次函數(shù)圖象的平移 例2　如果將拋物線y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐標(biāo)向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線y＝x2－2x＋1，則b＝________，c＝________. [解析] ∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，y＝x2＋bx＋c＝2＋， 又拋物線y＝(x－1)2是y＝2＋向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到的，故y＝2＋可看作是y＝(x－1)2向右平移2個單位，再向下平移3個單位得到的． ∴y＝2＋＝(x－1－2)2－3，即y＝x2＋bx＋c＝x2－6x＋9－3＝x2－6x＋6，∴b＝－6，c＝6. 在平移的過程中，拋物線的形狀始終保持不變，而拋物線的形狀只與二次項系數(shù)有關(guān)，所以要求平移后(或前)拋物線的表達式，只需求出平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)即可． 解這一類題目，需將一般表達式化為頂點式，抓住頂點位置的改變，根據(jù)平移規(guī)律進行解答． 類型三　二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用 例3　已知矩形ABCD 中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖X2－1)． (1)寫出A，B，C，D及AD的中點E的坐標(biāo)； (2)求以E為頂點、對稱軸平行于y軸，并且經(jīng)過點B，C的拋物線的表達式； (3)求對角線BD與上述拋物線除點B以外的另一交點P的坐標(biāo)； (4)△PEB的面積與△PBC的面積具有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論． [解析] 利用矩形的性質(zhì)可以得到A，B，C，D及AD的中點E的坐標(biāo)，然后利用頂點式求出拋物線的表達式． 解：(1)A(0,1)，B(0，－1)，C(4，－1)，D(4,1)，E(2,1)． (2)設(shè)拋物線的表達式為：y＝a(x－2)2＋1， ∵拋物線經(jīng)過點B(0，－1)， ∴a(0－2)2＋1＝－1，解得a＝－. ∴拋物線的表達式為：y＝－ (x－2)2＋1. 經(jīng)驗證，拋物線y＝－(x－2)2＋1經(jīng)過點C(4，－1)． (3)直線BD的表達式為：y＝x－1， 解方程組 得 ∴點P的坐標(biāo)為. (4)S△PEB ＝S△PBC . S△PBC ＝4＝3.過P，E分別作PP′⊥BC，EE′⊥BC，垂足分別為P′，E′，S△PEB＝22＋1－3＝，∴S△PEB＝S△PBC. 類型四　二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用 例4　已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＜0)過A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四點，則y1與y2的大小關(guān)系是(　　) A．y1＞y2　　　B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．不能確定 [解析] A　結(jié)合圖形，找到A、O、B、C四個點的大致位置，容易看出y1與y2的大小關(guān)系． 解決此類問題的關(guān)鍵是求出拋物線的對稱軸，由a的正負性就可以知道拋物線的增減性，可以結(jié)合圖形進行判別．如果所給的點沒有在對稱軸的同一側(cè)，可以利用拋物線的對稱性，找到這個點的對稱點，然后根據(jù)增減性再作判斷． 類型五　求二次函數(shù)的表達式 例5　已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象如圖X2－2所示，它與x軸的一個交點坐標(biāo)為(－1,0)，與y軸的交點坐標(biāo)為(0,3)． (1)求出b，c的值，并寫出此二次函數(shù)的表達式； (2)根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍． [解析] 由于二次函數(shù)經(jīng)過具體的兩個點，可以把這兩個點的坐標(biāo)代入即可求出表達式，然后根據(jù)圖象求出自變量x的取值范圍． 解：(1)把(－1,0)，(0,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 所以y＝－x2＋2x＋3. (2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， 所以，由圖象可知，函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍是－1＜x＜3. 求二次函數(shù)的表達式一般用待定系數(shù)法，但要根據(jù)不同條件，設(shè)出恰當(dāng)?shù)谋磉_式：(1)若給出拋物線上任意三點，通常可設(shè)一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c；(2)若給出拋物線的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值，通常可設(shè)頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k；(3)若給出拋物線與x軸的交點，或?qū)ΨQ軸和對稱軸與x軸的交點距離，通常可設(shè)交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)． （三）典例精講 例6　如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2－4x＋c的圖象與坐標(biāo)軸交于點A(－1,0)和點B(0，－5)． (1)求該二次函數(shù)的表達式； (2)已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最?。埱蟪鳇cP的坐標(biāo)． [解析] 把點A(－1,0)和點B(0，－5)代入表達式即可求出a和c的值，△ABP的周長中的邊長AB是確定的，只要求出PA與PB的和最小即可，因此要把PA和PB轉(zhuǎn)化到一條線上，在此還要利用拋物線的對稱性． 解：(1)根據(jù)題意， 得 解得 ∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2－4x－5. (2)令y＝0，得二次函數(shù)y＝x2－4x－5的圖象與x軸的另一個交點坐標(biāo)C(5,0)． 由于P是對稱軸x＝2上一點， 連接AB(如圖X2－4)，由于AB＝＝， 要使△ABP的周長最小，只要PA＋PB最?。? 由于點A與點C關(guān)于對稱軸x＝2對稱，連接BC交對稱軸于點P，則PA＋PB＝BP＋PC＝BC，根據(jù)兩點之間，線段最短，可得PA＋PB的最小值為BC. 因而BC與對稱軸x＝2的交點P就是所求的點． 設(shè)直線BC的表達式為y＝kx＋b， 根據(jù)題意，可得 解得 所以直線BC的表達式為y＝x－5. 因此直線BC與對稱軸x＝2的交點坐標(biāo)是方程組的解，解得 所求點P的坐標(biāo)為(2，－3)． （四）歸納小結(jié) 說一說：通過二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，你應(yīng)該學(xué)什么？你學(xué)會了什么？ 1、理解二次函數(shù)的概念； 2、會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象； 3、會用配方法和公式確定拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標(biāo)； 4、會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式； （五）隨堂檢測 1.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx＋a的圖象不經(jīng)過(　　) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，函數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表所示： 點A(x1，y1)、B(x2，y2)在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)1y2 B．y10，y2>0 B．y1<0，y2<0 C．y1<0，y2>0 D．y1>0，y2<0 4．拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得圖象的表達式為y＝x2－2x－3，則b、c的值為(　　) A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2 5．坐標(biāo)平面上，若移動二次函數(shù)y＝2(x－175)(x－176)＋6的圖形，使其與x軸交于兩點，且此兩點的距離為1單位，則移動方式可為(　　) A．向上移動3單位 B．向下移動3單位 C．向上移動6單位 D．向下移動6單位 6．將拋物線y＝x2－2x向上平移3個單位，再向右平移4個單位等到的拋物線是___________________________________． 7.如圖為拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖像，A、B、C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點，且OA＝OC＝1，則下列關(guān)系中正確的是(　　) A．a(chǎn)＋b＝－1 B．a(chǎn)－b＝－1 C．b<2a D．a(chǎn)c<0 8.如圖所示，若正方形的棱長不變，CM＝DM，NH＝EH，MN與CH的延長線交于P點，則tan∠NPH的值為________． 9.將直角邊長為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，點C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點A、C及點B(－3,0)． (1)求該拋物線的解析式； (2)若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交AC于點E，連接AP，當(dāng)△APE的面積最大時，求點P的坐標(biāo)． 【答案】 1.D 2.B 3.B 4.B 5.D 6. y＝(x－5)2＋2或y＝x2－10x＋27 7.B 8. 9. 解：(1)由題意知：A(0,6)，C(6,0)， 設(shè)經(jīng)過點A、B、C的拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋c， 則解得： ∴該拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋6. (2)如圖，設(shè)點P(x,0)， ∵PE∥AB，∴△CPE∽△CBA. ∴＝2. 又∵S△ABC＝BCOA＝27， ∴＝2. ∴S△CPE＝＝x2－4x＋12. S△ABP＝BPOA＝3x＋9. 設(shè)△APE的面積為S， 則S＝S△ABC－S△ABP－S△CPE＝－x2＋x＋6＝－2＋. 當(dāng)x＝時，S最大值為.點P的坐標(biāo)為. 五、板書設(shè)計 二次函數(shù)（1） 1、理解二次函數(shù)的概念； 2、會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象； 3、會用配方法和公式確定拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標(biāo)； 4、會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式； 類型講解： 典例精析： 六、作業(yè)布置 單元檢測試題（一） 七、教學(xué)反思