2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.1 離散型隨機變量學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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2.1.1 離散型隨機變量 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解隨機變量及離散型隨機變量的含義.2.了解隨機變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系. 知識點一 隨機變量 思考1 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果,這種試驗結(jié)果能用數(shù)字表示嗎? 答案 可以,可用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上. 思考2 在一塊地里種10棵樹苗,成活的棵數(shù)為x,則x可取哪些數(shù)字? 答案 x=0,1,2,3,…,10. 梳理 (1)定義 在隨機試驗中,可以確定一個對應(yīng)關(guān)系,使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示,數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化,像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量. (2)隨機變量常用字母X,Y,ξ,η,…表示. 知識點二 隨機變量與函數(shù)的關(guān)系 相同點 隨機變量和函數(shù)都是一種一一對應(yīng)關(guān)系 區(qū)別 隨機變量是隨機試驗的結(jié)果到實數(shù)的一一對應(yīng),函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的一一對應(yīng) 聯(lián)系 隨機試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域,隨機變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域 知識點三 離散型隨機變量 1.定義:所有取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變量. 2.特征: (1)可用數(shù)字表示. (2)試驗之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值. (3)在試驗之前不能確定取何值. (4)試驗結(jié)果能一一列出. 1.離散型隨機變量的取值是任意的實數(shù).( ) 2.隨機變量的取值可以是有限個,也可以是無限個.( √ ) 3.離散型隨機變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值.( ) 類型一 隨機變量的概念 例1 下列變量中,哪些是隨機變量,哪些不是隨機變量?并說明理由. (1)某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量; (2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù); (3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù); (4)明年某天濟南—青島的某次列車到達青島站的時間. 考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念 題點 隨機變量的概念 解 (1)某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量可能為0,1,2,3,…,是隨機變化的,因此是隨機變量. (2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0,1,2,3,…,是隨機變化的,因此是隨機變量. (3)明年5月1日到10月1日期間,所查酒駕的人數(shù)可能為0,1,2,3,…,是隨機變化的,因此是隨機變量. (4)濟南—青島的某次列車到達青島站的時間每次都是隨機的,可能提前,可能準(zhǔn)時,也可能晚點,故是隨機變量. 反思與感悟 隨機變量的辨析方法 (1)隨機試驗的結(jié)果具有可變性,即每次試驗對應(yīng)的結(jié)果不盡相同. (2)隨機試驗的結(jié)果的不確定性,即每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個,但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果. 如果一個隨機試驗的結(jié)果對應(yīng)的變量具有以上兩點,則該變量即為隨機變量. 跟蹤訓(xùn)練1 擲均勻硬幣一次,隨機變量為( ) A.?dāng)S硬幣的次數(shù) B.出現(xiàn)正面向上的次數(shù) C.出現(xiàn)正面向上的次數(shù)或反面向上的次數(shù) D.出現(xiàn)正面向上的次數(shù)與反面向上的次數(shù)之和 考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念 題點 隨機變量的概念 答案 B 解析 擲一枚硬幣,可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上,以一個標(biāo)準(zhǔn)如正面向上的次數(shù)來描述這一隨機試驗,那么正面向上的次數(shù)就是隨機變量ξ,ξ的取值是0,1.A項中,擲硬幣的次數(shù)就是1,不是隨機變量;C項中的標(biāo)準(zhǔn)模糊不清;D項中,出現(xiàn)正面向上的次數(shù)和反面向上的次數(shù)的和必是1,對應(yīng)的是必然事件,試驗前便知是必然出現(xiàn)的結(jié)果,所以不是隨機變量.故選B. 類型二 離散型隨機變量的判定 例2 下面給出四個隨機變量: ①某高速公路上某收費站在未來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X是一個隨機變量; ②一個沿直線y=x進行隨機運動的質(zhì)點,它在該直線上的位置Y是一個隨機變量; ③某網(wǎng)站未來1小時內(nèi)的點擊量; ④一天內(nèi)的溫度η. 其中是離散型隨機變量的為( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念 題點 離散型隨機變量的概念 答案 C 解析?、偈牵驗?小時內(nèi)經(jīng)過該收費站的車輛可一一列出;②不是,質(zhì)點在直線y=x上運動時的位置無法一一列出;③是,1小時內(nèi)網(wǎng)站的訪問次數(shù)可一一列出;④不是,1天內(nèi)的溫度η是該天最低溫度和最高溫度這一范圍內(nèi)的任意實數(shù),無法一一列出.故選C. 反思與感悟 “三步法”判定離散型隨機變量 (1)依據(jù)具體情境分析變量是否為隨機變量. (2)由條件求解隨機變量的值域. (3)判斷變量的取值能否一一列舉出來,若能,則是離散型隨機變量;否則,不是離散型隨機變量. 跟蹤訓(xùn)練2?、倌匙髽蛞惶旖?jīng)過的某品牌轎車的輛數(shù)為ξ;②某網(wǎng)站中歌曲《愛我中華》一天內(nèi)被點擊的次數(shù)為ξ;③體積為1 000 cm3的球的半徑長;④射手對目標(biāo)進行射擊,擊中目標(biāo)得1分,未擊中目標(biāo)得0分,用ξ表示該射手在一次射擊中的得分.上述問題中的ξ是離散型隨機變量的是( ) A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念 題點 離散型隨機變量的概念 答案 B 解析 由題意知③中的球的半徑是固定的,可以求出來,所以不是隨機變量,而①②④是離散型隨機變量. 類型三 用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果 例3 寫出下列隨機變量可能取的值,并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果. (1)袋中有大小相同的紅球10個,白球5個,從袋中每次任取1個球,取后不放回,直到取出的球是白球為止,所需要的取球次數(shù); (2)一個袋中裝有8個紅球,3個白球,從中任取5個球,其中所含白球的個數(shù)為X. 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的結(jié)果 解 (1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X,則X=1,2,3,4,…,10,11,X=i表示前(i-1)次取到的均是紅球,第i次取到白球,這里i=1,2,3,4,…,11. (2)X的所有可能取值為0,1,2,3. X=0表示取5個球全是紅球; X=1表示取1個白球,4個紅球; X=2表示取2個白球,3個紅球; X=3表示取3個白球,2個紅球. 反思與感悟 解答此類問題的關(guān)鍵在于明確隨機變量的所有可能的取值,以及其取每一個值時對應(yīng)的意義,即一個隨機變量的取值可能對應(yīng)一個或多個隨機試驗的結(jié)果,解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果. 跟蹤訓(xùn)練3 寫出下列隨機變量可能的取值,并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果. (1)從學(xué)?;丶乙?jīng)過3個紅綠燈路口,可能遇到紅燈的次數(shù)ξ; (2)電臺在每個整點都報時,報時所需時間為0.5分鐘,某人隨機打開收音機對時間,他所等待的時間為ξ分鐘. 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的取值 解 (1)ξ可取0,1,2,3, ξ=0表示遇到紅燈的次數(shù)為0; ξ=1表示遇到紅燈的次數(shù)為1; ξ=2表示遇到紅燈的次數(shù)為2; ξ=3表示遇到紅燈的次數(shù)為3. (2)ξ的可能取值為區(qū)間[0,59.5]內(nèi)任何一個值,每一個可能取值表示他所等待的時間. 1.下列變量中,不是隨機變量的是( ) A.一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù) B.標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,水沸騰時的溫度 C.拋擲兩枚骰子,所得點數(shù)之和 D.某電話總機在時間區(qū)間(0,T)內(nèi)收到的呼叫次數(shù) 考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念 題點 隨機變量的概念 答案 B 解析 B中水沸騰時的溫度是一個確定的值. 2.10件產(chǎn)品中有3件次品,從中任取2件,可作為隨機變量的是( ) A.取到產(chǎn)品的件數(shù) B.取到正品的概率 C.取到次品的件數(shù) D.取到次品的概率 考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念 題點 隨機變量的概念 答案 C 解析 對于A中取到產(chǎn)品的件數(shù),是一個常量不是變量,B,D也是一個常量,而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2,是隨機變量. 3.下列敘述中,是離散型隨機變量的為( ) A.某人早晨在車站等出租車的時間 B.把一杯開水置于空氣中,讓它自然冷卻,每一時刻它的溫度 C.射擊十次,命中目標(biāo)的次數(shù) D.袋中有2個黑球,6個紅球,任取2個,取得1個紅球的可能性 考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念 題點 離散型隨機變量的概念 答案 C 4.從標(biāo)有1~10的10支竹簽中任取2支,設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X,那么隨機變量X可能取得的值有________個. 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的取值 答案 17 解析 X的可能取值為3,4,5,…,19,共17個. 5.甲、乙兩隊員進行乒乓球單打比賽,規(guī)定采用“七局四勝制”.用ξ表示需要比賽的局?jǐn)?shù),寫出“ξ=6”時表示的試驗結(jié)果. 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的結(jié)果 解 根據(jù)題意可知,ξ=6表示甲在前5局中勝3局且在第6局中勝出或乙在前5局中勝3局且在第6局中勝出. 1.所謂的隨機變量就是試驗結(jié)果和實數(shù)之間的一個對應(yīng)關(guān)系,隨機變量是將試驗的結(jié)果數(shù)量化,變量的取值對應(yīng)于隨機試驗的某一個隨機事件. 2.寫隨機變量表示的結(jié)果,要看三個特征:(1)可用數(shù)來表示;(2)試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值;(3)在試驗之前不能確定取值. 一、選擇題 1.將一枚均勻骰子擲兩次,不能作為隨機變量的是( ) A.兩次擲得的點數(shù) B.兩次擲得的點數(shù)之和 C.兩次擲得的最大點數(shù) D.第一次擲得的點數(shù)減去第二次擲得的點數(shù)的差 考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念 題點 隨機變量的概念 答案 A 解析 兩次擲得的點數(shù)的取值是一個數(shù)對,不是一個數(shù). 2.拋擲兩枚骰子一次,X為第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚擲出的點數(shù)之差,則X的所有可能的取值為( ) A.0≤X≤5,x∈N B.-5≤X≤0,x∈Z C.-1≤X≤6,x∈N D.-5≤X≤5,x∈Z 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的取值 答案 D 解析 兩次擲出點數(shù)均可取1~6所有整數(shù), 所以X∈[-5,5],x∈Z. 3.下列變量中,離散型隨機變量的個數(shù)為( ) ①在2 012張已編號(從1號到2 012號)的卡片中取一張,被取出的號碼為ξ; ②在2 012張已編號(從1號到2 012號)的卡片中任取三張,被取出的號碼和為X; ③某加工廠加工的某種銅管,外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差Y; ④投擲一枚骰子,正面向上的點數(shù)為ξ. A.1 B.2 C.3 D.4 考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念 題點 離散型隨機變量的概念 答案 C 解析?、壑衁取值在某一區(qū)間內(nèi),不是離散型隨機變量. 4.某人進行射擊,共有5發(fā)子彈,擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊,射擊次數(shù)為ξ,則“ξ=5”表示的試驗結(jié)果是( ) A.第5次擊中目標(biāo) B.第5次未擊中目標(biāo) C.前4次均未擊中目標(biāo) D.第4次擊中目標(biāo) 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的結(jié)果 答案 C 解析 ξ=5表示前4次均未擊中目標(biāo),故選C. 5.拋擲兩枚骰子各一次,記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為X,則“X>4”表示的試驗的結(jié)果為( ) A.第一枚為5點,第二枚為1點 B.第一枚大于4點,第二枚也大于4點 C.第一枚為6點,第二枚為1點 D.第一枚為4點,第二枚為1點 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的結(jié)果 答案 C 6.設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過5盞信號燈,Y表示汽車首次停下時已通過的信號燈的盞數(shù),則表示“遇到第5盞信號燈時首次停下”的事件是( ) A.Y=5 B.Y=4 C.Y=3 D.Y=2 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的取值 答案 B 7.一串鑰匙有6枚,只有一枚能打開鎖,依次試驗,打不開的扔掉,直到找到能開鎖的鑰匙為止,則試驗次數(shù)X的最大可能取值為( ) A.6 B.5 C.4 D.2 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的取值 答案 B 解析 由于是逐次試驗,可能前5次都打不開鎖,那么剩余的鑰匙一定能開鎖,故選B. 8.一用戶在打電話時忘了號碼的最后四位數(shù)字,只記得最后四位數(shù)字兩兩不同,且都大于5,于是他隨機撥最后四位數(shù)字(兩兩不同),設(shè)他撥到所要號碼時已撥的次數(shù)為ξ,則隨機變量ξ的所有可能取值的種數(shù)為( ) A.24 B.20 C.4 D.18 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的取值 答案 A 解析 由于后四位數(shù)字兩兩不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位數(shù)字的不同排列,故有A=24種. 9.對一批產(chǎn)品逐個進行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗結(jié)果為( ) A.第k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品 B.第k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品 C.前k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品 D.前k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的結(jié)果 答案 D 解析 由題意,得ξ=k表示第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為k,因此前k次檢測到的都是正品,第k+1次檢測到的是次品,故選D. 二、填空題 10.下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是________.(填序號) ①某賓館每天入住的旅客數(shù)量X; ②廣州某水文站觀測到一天中珠江的水位X; ③深圳歡樂谷一日接待游客的數(shù)量X; ④虎門大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X. 考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念 題點 離散型隨機變量的概念 答案 ② 11.袋中有大小相同的紅球6個,白球5個,從袋中每次任意取出1個球,直到取出的球是白球為止,所需要的取球次數(shù)為隨機變量X,則X的可能取值為________. 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的取值 答案 1,2,3,4,5,6,7 解析 由于取到是白球時,取球停止,所以取球次數(shù)可以是1,2,3,…,7. 12.一木箱中裝有8個同樣大小的籃球,分別編號為1,2,3,4,5,6,7,8,現(xiàn)從中隨機取出3個籃球,以ξ表示取出的籃球的最大號碼,則ξ=8表示的試驗結(jié)果有________種. 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的結(jié)果 答案 21 解析 ξ=8表示在3個籃球中,一個編號是8,另外兩個從剩余7個號中選2個,有C種方法,即21種. 三、解答題 13.某車間三天內(nèi)每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品,其中第一天、第二天分別生產(chǎn)了1件、2件次品,而質(zhì)檢部門每天要在生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨機抽取4件進行檢查,若發(fā)現(xiàn)有次品,則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過.若廠內(nèi)對車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制,兩天全不通過檢查得0分,通過一天、兩天分別得1分、2分.設(shè)該車間在這兩天內(nèi)總得分為ξ,寫出ξ的可能取值,并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果. 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的取值 解 ξ的可能取值為0,1,2. ξ=0表示在兩天檢查中均發(fā)現(xiàn)了次品; ξ=1表示在兩天檢查中有1天沒有檢查到次品,1天檢查到了次品; ξ=2表示在兩天檢查中都沒有發(fā)現(xiàn)次品. 四、探究與拓展 14.在一次比賽中,需回答三個問題,比賽規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,則選手甲回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值是____________. 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的取值 答案?。?00,-100,100,300 解析 ∵答對的個數(shù)可以取0,1,2,3,所對應(yīng)的得分為-300,-100,100,300,∴ξ可?。?00,-100,100,300. 15.一個袋中裝有5個白球和5個黑球,從中任取3個,其中所含白球的個數(shù)為ξ. (1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應(yīng)的ξ的值; (2)若規(guī)定抽取3個球中,每抽到一個白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管結(jié)果都加上6分.求最終得分η的可能取值,并判定η的隨機變量類型. 考點 離散型隨機變量的可能取值 題點 離散型隨機變量的取值 解 (1) ξ 0 1 2 3 結(jié)果 取得3個黑球 取得1個白球2個黑球 取得2個白球1個黑球 取得3個白球 (2)由題意可得η=5ξ+6,而ξ可能的取值范圍為{0,1,2,3},所以η對應(yīng)的各值是:50+6,51+6,52+6,53+6. 故η的可能取值為{6,11,16,21},顯然η為離散型隨機變量.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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