2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理)高效演練學(xué)案.doc
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第2講 根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理) 現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用,而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系,在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用.本專題將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行講述。 【知識(shí)梳理】 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理) 一元二次方程的兩個(gè)根為: 所以:, 定理:如果一元二次方程的兩個(gè)根為,那么: 說明:一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn),所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”.上述定理成立的前提是. 【高效演練】 1.若 是一元二次方程 的兩個(gè)根,則的值是( ) A.2 B.-2 C.4 D.-3 【解析】:方程的兩根為,,根據(jù)題意得.故選D. 【答案】D. 2.若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則α2+β2的值為( ?。? A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 【解析】∵α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴α+β=2,αβ=﹣3, ∴α2+β2=(α+β)2﹣2αβ=22﹣2(﹣3)=10.故選D. 【答案】D 3.關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根同為負(fù)數(shù),則( ) A. p>0且q>0 B. p>0且q<0 C. p<0且q>0 D. p<0且q<0 【解析】試題解析:設(shè)x1,x2是該方程的兩個(gè)負(fù)數(shù)根,則有x1+x2<0,x1x2>0, ∵x1+x2=-p,x1x2=q ∴-p<0,q>0 ∴p>0,q>0.故選A. 【答案】A 4.方程x2-(m+6)x+m2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,且滿足x1+x2=x1x2,則m的值是( ) A. -2或3 B. 3 C. -2 D. -3或2 5.規(guī)定:如果關(guān)于x的一元二次方程(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍,則稱這樣的方程為“倍根方程”.現(xiàn)有下列結(jié)論: ①方程是倍根方程; ②若關(guān)于x的方程是倍根方程,則a=3; ③若關(guān)于x的方程(a≠0)是倍根方程,則拋物線與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0)和(4,0); ④若點(diǎn)(m,n)在反比例函數(shù)的圖象上,則關(guān)于x的方程是倍根方程. 上述結(jié)論中正確的有( ?。? A.①② B.③④ C.②③ D.②④ 【解析】 ③關(guān)于x的方程(a≠0)是倍根方程,∴x2=2x1,∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3,∴拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0)和(4,0),故③正確; ④∵點(diǎn)(m,n)在反比例函數(shù)的圖象上,∴mn=4,解得x1=﹣,x2=﹣,∴x2=4x1,∴關(guān)于x的方程不是倍根方程;故選C. 【答案】C. 6.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,則=__________. 【解析】∵關(guān)于的方程: 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為, ∴, ∴. 【答案】-3 7.若方程的兩實(shí)根為a、b,則的值為_______。 【解析】∵方程x2–x–1=0的兩實(shí)根為a、b, ∴a+b=1,ab=–1, ∴. 【答案】-1 8.設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則的值為_______。 【解析】由是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 則且, 又 【答案】2017 9.關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根之積為負(fù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍 是 . 10.一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根,一個(gè)比3大,一個(gè)比3小,的取值范圍為_______。 【解析】解一:由 解得: 解二:設(shè),則如圖所示,只須,解得 【答案】 11.若關(guān)于x的一元二次方程x2–4x+k–3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2,且滿足x1=3x2,試求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根及k的值. 【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系,得 x1+x2=4①,x1x2=k–3② 又∵x1=3x2③, 聯(lián)立①、③,解方程組得, ∴k=x1x2+3=31+3=6 則方程兩根為x1=3,x2=1;k=6. 【答案】x1=3,x2=1;k=6. 12.已知關(guān)于的方程 (1)若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍; (2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2,且滿足,求實(shí)數(shù)k的值. 【解析】分析:(1)根據(jù)方程有實(shí)根可得△≥0,進(jìn)而可得[-2(k-3)]2-41(k2-4k-1)≥0,再解即可; (2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2(k-3),x1?x2=k2-4k-1,再由完全平方公式可得x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,代入x1+x2=2(k-3),x1?x2= k2-4k-1可計(jì)算出m的值. 解析:(1)∵x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0有實(shí)數(shù)根, ∴△=4(k-3)2-4(k2-4k-1)=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k≥0, 解得:k≤5; 13.已知關(guān)于的方程,根據(jù)下列條件,分別求出的值. (1) 方程兩實(shí)根的積為5; (2) 方程的兩實(shí)根滿足. 【解析】(1) ∵方程兩實(shí)根的積為5 ∴ 所以,當(dāng)時(shí),方程兩實(shí)根的積為5. (2) 由得知: ①當(dāng)時(shí),,所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根,故; ②當(dāng)時(shí),,由于 ,故不合題意,舍去. 綜上可得,時(shí),方程的兩實(shí)根滿足. 【答案】(1);(2). 14.已知關(guān)于x的一元二次方程 ,其中k為常數(shù). (1)求證:無論k為何值,方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根; (2)已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限,求k的取值范圍; (3)若原方程的一個(gè)根大于3,另一個(gè)根小于3,求k的最大整數(shù)值. 解析:(1)證明:∵△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=k2﹣6k+21=(k﹣3)2+12>0,∴無論k為何值,方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根; (2)解:∵二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限,∵二次項(xiàng)系數(shù)a=1,∴拋物線開口方向向上,∵△=(k﹣3)2+12>0,∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,∴x1+x2=5﹣k>0,x1x2=1﹣k≥0,解得k≤1,即k的取值范圍是k≤1; (3)解:設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1,x2,根據(jù)題意,得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,即x1x2﹣3(x1+x2)+9<0,又x1+x2=5﹣k,x1x2=1﹣k,代入得,1﹣k﹣3(5﹣k)+9<0,解得k<.則k的最大整數(shù)值為2. 【答案】(1)證明見解析;(2)k≤1;(3)2. 【解題反思】:本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,綜合性較強(qiáng)。 15.已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. (1) 是否存在實(shí)數(shù),使成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. (2) 求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值. 【解析】(1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù),使成立.∵ 一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴ ,又是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴ ∴ ,但. ∴不存在實(shí)數(shù),使成立.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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