2019年高考數(shù)學 考點分析與突破性講練 專題42 不等式選講 理.doc

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專題42 不等式選講 一、考綱要求： 1.理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R). 2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 3.通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法． 二、概念掌握和解題上注意點： 1.解絕對值不等式的基本方法 (1)利用絕對值的定義，通過分類討論，用零點分段法轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式，零點分段法的操作程序是：找零點，分區(qū)間，分段討論； (2)當不等式兩端均非負時，可通過兩邊平方的方法轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式； (3)利用絕對值的幾何意義，數(shù)形結合求解． 2.作差比較法證明不等式的步驟：(1）作差；(2）變形；(3）判斷差的符號；(4）下結論.其中“變形”是關鍵，通常將差變形成因式連乘的形式或平方和的形式，再結合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負. 3.綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進行轉(zhuǎn)換，恰當選擇已知不等式，這是證明的關鍵. 4.分析法證明不等式的注意事項：用分析法證明不等式時，不要把“逆求”錯誤地作為“逆推”，分析法的過程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說，分析法的思維是逆向思維，因此在證題時，應正確使用“要證”“只需證”這樣的連接“關鍵詞”. 三、高考考題題例分析 例1.（2018全國卷I）已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）當a=1時，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）時不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍． 【答案】（1）（，+∞）；（2）0，2] 【解析】：（1）當a=1時，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=， 由f（x）＞1， ∴或， 解得x＞， 故不等式f（x）＞1的解集為（，+∞）， 例2.（2018全國卷II）設函數(shù)f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|． （1）當a=1時，求不等式f（x）≥0的解集； （2）若f（x）≤1，求a的取值范圍． 【答案】（1）[﹣2，3]；（2）[﹣6，2] 【解析】：（1）當a=1時，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=． 當x≤﹣1時，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1， 當﹣1＜x＜2時，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2， 當x≥2時，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3， 綜上所述不等式f（x）≥0的解集為[﹣2，3]， 例3.（2018全國卷III）設函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x﹣1|． （1）畫出y=f（x）的圖象； （2）當x∈[0，+∞）時，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值． 【答案】見解析 【解析】：（1）當x≤﹣時，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x， 當﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2， 當x≥1時，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x， 則f（x）=對應的圖象為： 畫出y=f（x）的圖象； 例10.(2016全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)＜2的解集． (1)求M； (2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|＜|1＋ab|. 【答案】(1) M＝{x|－1＜x＜1}；(2)見解析 不等式選講練習題 1．已知|2x－3|≤1的解集為[m，n]． (1)求m＋n的值； (2)若|x－a|＜m，求證：|x|＜|a|＋1. 【答案】(1) m＋n＝3；(2)見解析 2．已知函數(shù)f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值為a. (1)求實數(shù)a的值； (2)解不等式f(x)≤5. 【答案】(1) a＝2；(2) 【解析】：　(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，從而解得a＝2. (2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2| ＝ 故當x≤2時，令－2x＋6≤5，得≤x≤2， 當24時，令2x－6≤5，得40)． (1)證明：f(x)≥2； (2)當a＝1時，求不等式f(x)≥5的解集． 【答案】(1)見解析；(2) 5．設函數(shù)f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值為m. (1)作出函數(shù)f(x)的圖象； (2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值． 【答案】見解析 【解析】：　(1)f(x)＝ 畫出圖象如圖， 6．已知函數(shù)f(x)＝(a≠0)． (1)求函數(shù)f(x)的定義域； (2)若當x∈[0,1]時，不等式f(x)≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 【答案】(1) ；(2) －1≤a≤5且a≠0. 【解析】：　(1)|ax－2|≤4?－4≤ax－2≤4?－2≤ax≤6， 當a>0時，函數(shù)f(x)的定義域為； 當a<0時，函數(shù)f(x)的定義域為. (2)f(x)≥1?|ax－2|≤3，記g(x)＝|ax－2|， 因為x∈[0,1]， 所以只需??－1≤a≤5， 又a≠0，所以－1≤a≤5且a≠0. 7.已知函數(shù)f(x)＝|x－2|. (1)求不等式f(x)＋x2－4>0的解集； (2)設g(x)＝－|x＋7|＋3m，若關于x的不等式f(x)2或x<－1}；(2) (3，＋∞) 8.已知函數(shù)f(x)＝|x＋a2|＋|x－a－1|. (1)證明：f(x)≥； (2)若f(4)<13，求a的取值范圍． 【答案】(1)見解析 ；(2) (－2,3)． 【解析】：　(1)證明：f(x)＝|x＋a2|＋|x－a－1| ≥|(x＋a2)－(x－a－1)| ＝|a2＋a＋1| ＝＋≥. (2)因為f(4)＝|a2＋4|＋|a－3|＝ 所以f(4)<13?或 解得－2a＋b 【解析】：　(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1， 解得00. 故ab＋1>a＋b. 12．已知函數(shù)f(x)＝|x|＋|x－1|. (1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求實數(shù)m的最大值M； (2)在(1)成立的條件下，正實數(shù)a，b滿足a2＋b2＝M，證明：a＋b≥2ab. 【答案】(1) m的最大值M＝2.；(2)見解析 13．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值． 【答案】 【解析】：　由柯西不等式得 (4＋4＋1)[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2， ∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2] ≥(2a＋2b＋c－1)2. ∵2a＋2b＋c＝8， ∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥， 當且僅當＝＝c－3時等號成立， ∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是. 14．已知函數(shù)f(x)＝k－|x－3|，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集為[－1,1]． (1)求k的值； (2)若a，b，c是正實數(shù)，且＋＋＝1. 求證：a＋2b＋3c≥9. 【答案】(1) k＝1；(2)見解析 15．已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|. (1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M； (2)設a，b∈M，證明：f(ab)＞f(a)－f(－b). 【答案】(1) M＝{x|x＜－1或x＞1}； (2)見解析 【解析】：　(1)①當x≤－1時，原不等式可化為－x－1＜－2x－2，解得x＜－1； ②當－1＜x＜－時，原不等式可化為x＋1＜－2x－2，解得x＜－1，此時原不等式無解； ③當x≥－時，原不等式可化為x＋1＜2x，解得x＞1. 綜上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．