新編高三數(shù)學(xué) 第35練 高考大題突破練三角函數(shù)與平面向量

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1、 第35練 高考大題突破練——三角函數(shù)與平面向量 訓(xùn)練目標(biāo) (1)平面向量與三角函數(shù)解三角形的綜合訓(xùn)練；(2)數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想． 訓(xùn)練題型 (1)三角函數(shù)化簡(jiǎn)，求值問題；(2)三角函數(shù)圖象及性質(zhì)；(3)解三角形；(4)向量與三角形的綜合． 解題策略 (1)討論三角函數(shù)的性質(zhì)，可先進(jìn)行三角變換，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式或復(fù)合函數(shù)；(2)以向量為載體的綜合問題，要利用向量的運(yùn)算及性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，脫去向量外衣. 1.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π. (1)求ω和φ

2、的值； (2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值． 2．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大小； (2)若2bcos A＝(ccosA＋acosC)，BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為，求△ABC的面積． 3．(20xx·貴陽(yáng)第二次聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝(a＋b，sin A－sin C)，向量n＝(c，sin A－sin B)，且m∥n. (1)求角B的大??； (2)設(shè)BC的中點(diǎn)為

3、D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此時(shí)△ABC的面積． 4.(20xx·天津一中月考)已知函數(shù)f(x)＝cos＋sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域； (2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足2·＝ab，c＝2，f(A)＝－，求△ABC的面積S. 5．“鄭一”號(hào)宇宙飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)的區(qū)域安排了同一條直線上的三個(gè)救援中心(記為B，C，D)．當(dāng)返回艙距地面1萬米的P點(diǎn)的時(shí)(假定以后垂直下落，并在A點(diǎn)著陸)，C救援中心測(cè)得飛船位于其

4、南偏東60°方向，仰角為60°，B救援中心測(cè)得飛船位于其南偏西30°方向，仰角為30°，D救援中心測(cè)得著陸點(diǎn)A位于其正東方向． (1)求B，C兩救援中心間的距離； (2)D救援中心與著陸點(diǎn)A間的距離．  答案精析 1．解　(1)因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，所以f(x)的最小正周期T＝π， 從而ω＝＝2. 又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z， 即φ＝－＋kπ，k∈Z. 由－≤φ<，得k＝0， 所以φ＝－. (2)由(1)，得f(x)＝sin(2x－)， 所以f()＝sin(2·－)＝，即s

5、in(α－)＝. 由<α<，得0<α－<， 所以cos(α－)＝ ＝＝. 因此cos(α＋)＝sin α ＝sin[(α－)＋] ＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin ＝×＋×＝. 2．解　(1)由余弦定理，得cosB＝＝＝. 因?yàn)锽是三角形的內(nèi)角，所以B＝. (2)由正弦定理，得＝＝， 代入2bcos A＝(ccosA＋acosC)， 可得2sin BcosA＝(sin CcosA＋sin AcosC)， 即2sin BcosA＝sin B. 因?yàn)锽∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以cosA＝， 所以A＝，則C＝π－A－B＝. 設(shè)AC＝m(m>

6、0)，則BC＝m， 所以CM＝m. 在△AMC中，由余弦定理，得 AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos， 即()2＝m2＋m2－2·m·m·(－)，整理得m2＝4，解得m＝2. 所以S△ABC＝CA·CBsin＝×2×2×＝. 3．解　(1)因?yàn)閙∥n， 所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0. 由正弦定理，得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理，得cosB＝＝＝. 因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝. (2)設(shè)∠BAD＝θ，則在△BAD中， 由B＝，可知θ∈(0，)． 由正弦定理及AD＝

7、，得＝＝＝2， 所以BD＝2sin θ，AB＝2sin(－θ)＝cosθ＋sin θ. 所以a＝2BD＝4sin θ，c＝AB＝cosθ＋sin θ. 從而a＋2c＝2cos θ＋6sin θ＝4sin(θ＋)． 由θ∈(0，)，可知θ＋∈(，)， 所以當(dāng)θ＋＝，即θ＝時(shí)，a＋2c取得最大值4. 此時(shí)a＝2，c＝， 所以S△ABC＝acsinB＝. 4．解　(1)∵函數(shù)f(x)＝cos＋sin2x＝cos 2x－sin 2x＋＝－sin 2x， ∴最小正周期T＝＝π， 值域?yàn)? (2)∵2·＝ab， ∴2ab·cos(π－C)＝ab，cosC＝－，∴C＝. 又f(A)

8、＝－， ∴－sin 2A＝－，sin 2A＝， ∴A＝，∴B＝. 由正弦定理，得＝＝， 即＝＝，解得a＝－，b＝2. ∴S＝ab·sinC＝－1. 5．解　(1)由題意知PA⊥AC，PA⊥AB， 則△PAC，△PAB均為直角三角形， 在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°， 解得AC＝， 在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°， 解得AB＝，又∠CAB＝90°， BC＝＝萬米． (2)sin∠ACD＝sin∠ACB＝，cos∠ACD＝－， 又∠CAD＝30°， 所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝， 在△ADC中，由正弦定理，得＝，AD＝＝萬米．