高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第五節(jié)直接證明與間接證明演練知能檢測

上傳人:仙*** 文檔編號:61794321 上傳時間:2022-03-12 格式:DOC 頁數(shù):4 大?。?49.50KB
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1、▼▼▼2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料▼▼▼ 第五節(jié) 直接證明與間接證明 [全盤鞏固] 1.用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理數(shù)根,那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù).用反證法證明時,下列假設(shè)正確的是(  ) A.假設(shè)a、b、c都是偶數(shù) B.假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù) C.假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù) D.假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù) 解析:選B “至少有一個”的否定為“都不是”. 2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值(  ) A.恒為負值 B

2、.恒等于零 C.恒為正值 D.無法確定正負 解析:選A 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)

3、f.[來源:] 4.若P=+,Q=+(a≥0),則P、Q的大小關(guān)系是(  ) A.P>Q B.P=Q C.P

4、差數(shù)列又非等比數(shù)列 解析:選B 由已知條件,可得 由②③,得代入①,得+=2b,即x2+y2=2b2.故x2,b2,y2成等差數(shù)列. 6.如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值,則(  ) A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形 C.△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形 D.△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形 解析:選D 由條件知,△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0,則A1B1C1是銳角三角形,假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形. 由得

5、那么A2+B2+C2=,這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾. 所以假設(shè)不成立,又由已知可得△A2B2C2不是直角三角形,所以△A2B2C2是鈍角三角形. 7.用反證法證明命題“a,b∈R,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一個能被5整除”,那么假設(shè)的內(nèi)容是_________________________________________________________. 解析:“至少有n個”的否定是“最多有n-1個”,故應(yīng)假設(shè)a,b中沒有一個能被5整除. 答案:a,b中沒有一個能被5整除 8.設(shè)a、b是兩個實數(shù),給出下列條件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2

6、>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a、b中至少有一個大于1”的條件是________(填序號).[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 解析:若a=,b=,則a+b>1.但a<1,b<1,故①推不出; 若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出; 若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出; 對于③,即a+b>2,則a、b中至少有一個大于1. 反證法:假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b>2矛盾, 因此假設(shè)不成立,故a、b中至少有一個大于1. 答案:③ 9.若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存

7、在一點c,使f(c)>0,則實數(shù)p的取值范圍是________. 解析:法一:(補集法)令解得p≤-3或p≥, 故滿足條件的p的范圍為. 法二:(直接法) 依題意有f(-1)>0或f(1)>0,即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0,得-0,->1.求證:> . 證明:∵->1,a>0,∴0, 只需證·>1,只需證1+a-b-ab>1,[來源:] 只需證a-b-ab>0,即>1,即->1.這是已知條件,所以原不等式成立. 11.設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項和. (1)若{a

8、n}為等差數(shù)列,推導(dǎo)Sn的計算公式; (2)若a1=1,q≠0,且對所有正整數(shù)n,有Sn=.判斷{an}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論.[來源:學(xué)§科§網(wǎng)] 解:(1)法一:設(shè){an}的公差為d,則 Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d], 又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d], ∴2Sn=n(a1+an),∴Sn=. 法二:設(shè){an}的公差為d,則 Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d], 又Sn=an+an-1+…+a1=[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+…+a1, ∴

9、2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+…+[2a1+(n-1)d]=2na1+n(n-1)d, ∴Sn=na1+d. (2){an}是等比數(shù)列.證明如下: ∵Sn=,∴an+1=Sn+1-Sn=-==qn. ∵a1=1,q≠0,∴當n≥1時,有==q, 因此,{an}是首項為1且公比為q的等比數(shù)列. 12.(2013·北京高考)給定數(shù)列a1,a2,…,an,對i=1,2,3,…,n-1,該數(shù)列前i項的最大值記為Ai,后n-i項ai+1,ai+2,…,an的最小值記為Bi,di=Ai-Bi. (1)設(shè)數(shù)列{an}為3,4,7,1,寫出d1,d2,d3的值;

10、(2)設(shè)a1,a2,…,an(n≥4)是公比大于1的等比數(shù)列,且a1>0,證明:d1,d2,…,dn-1是等比數(shù)列; (3)設(shè)d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差數(shù)列,且d1>0,證明:a1,a2,…,an-1是等差數(shù)列. 解:(1)d1=2,d2=3,d3=6.(2)證明:因為a1>0,公比q>1, 所以a1,a2,…,an是遞增數(shù)列.因此,對i=1,2,…,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1. 于是對i=1,2,…,n-1,di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1(1-q)qi-1. 因此di≠0且=q(i=1,2,…,n-2),即d1,d2,…,dn-1是等比數(shù)列. (3

11、)證明:設(shè)d為d1,d2,…,dn-1的公差.對1≤i≤n-2,因為Bi≤Bi+1,d>0, 所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai. 又因為Ai+1=max{Ai,ai+1},所以ai+1=Ai+1>Ai≥ai. 從而a1,a2,…,an-1是遞增數(shù)列.因此Ai=ai(i=1,2,…,n-1). 又因為B1=A1-d1=a1-d1

12、an-1是等差數(shù)列. [沖擊名校] 設(shè)集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{an}的集合:①≤an+1;②an≤M,其中n∈N*,M是與n無關(guān)的常數(shù). (1)若{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,a3=4,S3=18,試探究{Sn}與集合W之間的關(guān)系; (2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項為bn=5n-2n,且{bn}∈W,M的最小值為m,求m的值; (3)在(2)的條件下,設(shè)Cn=[bn+(m-5)n]+,求證:數(shù)列{Cn}中任意不同的三項都不能成為等比數(shù)列. 解:(1)∵a3=4,S3=18,∴a1=8,d=-2.∴Sn=-n2+9n.

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