新版高三數學復習 第2篇 第10節(jié) 導數的概念與計算

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2、 1 第二篇　第10節(jié) 一、選擇題 1．(20xx四川廣元二診)如圖所示是某一容器的三視圖，現向容器中勻速注水，則容器中水面的高度h隨時間t變化的函數圖象可能是(　　) 解析：由三視圖知容器為錐形漏斗，在向容器中勻速注水過程中，水升高得越來越慢，高度h隨時間t的變化率越來越小，表現在切線上就是切線的斜率在減小，故選B. 答案：B 2．(20xx廣東惠州模擬

3、)設P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為[0，]，則點P橫坐標的取值范圍為(　　) A．[－1，－] B．[－1,0] C．[0,1] D.[，1] 解析：設P(x0，y0)，P點處切線傾斜角為α， 則0≤tan α≤1， 由f(x)＝x2＋2x＋3， 得f′(x)＝2x＋2， 令0≤2x0＋2≤1， 得－1≤x0≤－. 故選A. 答案：A 3．(20xx東北三省三校聯考)已知函數f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝處函數f(x)與g(x)的圖象的切線平行，則實數a的值為(　　) A. B. C．1 D．4

4、 解析：在x＝處兩函數圖象的切線平行， 即兩個函數的導數值相等． 由f′(x)＝，g′(x)＝， 所以＝， 即1＝4a， 得a＝. 答案：A 4．函數f(x)＝sin2的導數是(　　) A．f′(x)＝2sin B．f′(x)＝4sin C．f′(x)＝sin D．f′(x)＝2sin 解析：由于f(x)＝sin2 ＝ ＝－cos， ∴f′(x)＝4×sin ＝2sin， 故選D. 答案：D 5．已知函數f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0 C．

5、x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 解析：∵點(0，－1)不在f(x)＝xln x上， ∴設切點為(x0，y0)． 又f′(x)＝1＋ln x， ∴ 解得x0＝1，y0＝0. ∴切點為(1,0)， ∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直線l的方程為y＝x－1， 即x－y－1＝0. 故選B. 答案：B 6．(20xx河北保定一模)設函數f(x)＝|sin x|的圖象與直線y＝kx(k>0)有且僅有三個公共點，這三個公共點橫坐標的最大值為α，則α等于(　　) A．－cos α B．tan α C．sin α D．π 解析：如圖，若直線與函數有且僅有三個公共點

6、， 則直線y＝kx與曲線y＝－sin x(x∈[π，2π])相切， 設切點為(α，－sin α)， 則－sin α＝kα且k＝－cos α， 所以α＝tan α. 故選B. 答案：B 二、填空題 7．(20xx江西南昌模擬)已知函數f(x)＝sin x＋cos x，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的導函數，則＝________. 解析：f′(x)＝cos x－sin x， 由f′(x)＝2f(x)得－cos x＝3sin x， 即tan x＝－. ＝ ＝ ＝ ＝. 答案： 8．(20xx廣東江門調研)曲線y＝ln(2x)上任意一點P到直線y＝2x

7、的距離的最小值是________． 解析：如圖，所求最小值即曲線上斜率為2的切線與y＝2x兩平行線間的距離， 也即切點到直線y＝2x的距離． 由y＝ln x， 則y′＝＝2， 得x＝，y＝ln(2×)＝0， 即與直線y＝2x平行的曲線y＝ln(2x)的切線的切點坐標是(，0)，y＝ln(2x)上任意一點P到直線y＝2x的距離的最小值，即＝. 答案： 9．(20xx山師大附中期末)已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f(x)在點M(1，f(1))處的切線方程為________________． 解析：f′(x)＝2f′(1)＋，

8、令x＝1得f′(1)＝2f′(1)＋1， 即f′(1)＝－1， 此時f(x)＝－2x＋ln x，f(1)＝－2， 故所求的切線方程為y＋2＝－(x－1)， 即x＋y＋1＝0. 答案：x＋y＋1＝0 10.定義在R上的函數f(x)滿足f(4)＝1，f′(x)為f(x)的導函數，已知y＝f′(x)的圖象如圖所示，若兩個正數a、b滿足f(2a＋b)<1，則的取值范圍是________． 解析：觀察圖象，可知f(x)在(－∞，0]上是減函數，在[0，＋∞)上是增函數， 由f(2a＋b)<1＝f(4)，可得 畫出以(a，b)為坐標的可行域(如圖陰影部分所示)， 而可看成(a，b)

9、與點P(－1，－1)連線的斜率，可求得選項C為所求． 答案：(，5) 三、解答題 11．設函數f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值． 解：(1)f′(x)＝a－， 于是 解得或 因a，b∈Z， 故f(x)＝x＋. (2)在曲線上任取一點x0，x0＋. 由f′(x0)＝1－知，過此點的切線方程為 y－＝1－(x－x0)． 令x＝1得y＝， 切線與直線x＝1交點為1，. 令y＝x

10、得y＝2x0－1， 切線與直線y＝x交點為(2x0－1,2x0－1)． 直線x＝1與直線y＝x的交點為(1,1)． 從而所圍三角形的面積為 －1|2x0－1－1| ＝|2x0－2| ＝2. 所以，所圍三角形的面積為定值2. 12．(20xx浙江永嘉縣聯合體第二學期聯考)已知點M是曲線y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一點，曲線在M處的切線為l，求：(1)斜率最小的切線方程； (2)切線l的傾斜角α的取值范圍． 解：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1， ∴當x＝2時，y′＝－1，y＝， ∴斜率最小的切線過， 斜率k＝－1， ∴切線方程為x＋y－＝0. (2)由(1)得k≥－1， ∴tan α≥－1， ∴α∈∪.