新編高三數(shù)學(xué) 第67練 直線與圓錐曲線綜合練

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1、 第67練 直線與圓錐曲線綜合練 訓(xùn)練目標(biāo) 會(huì)判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，能熟練應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決有關(guān)問題． 訓(xùn)練題型 (1)求曲線方程；(2)求參數(shù)范圍；(3)長(zhǎng)度、面積問題；(4)與向量知識(shí)交匯應(yīng)用問題． 解題策略 聯(lián)立直線與曲線方程，轉(zhuǎn)化為二次方程問題，再利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式、方程組、不等式組，結(jié)合已知條件解決具體問題. 一、選擇題 1．(20xx·鄭州質(zhì)檢)過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F作傾斜角為135°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 2．設(shè)a，b是關(guān)于t的方

2、程t2cos θ＋tsin θ＝0的兩個(gè)不等實(shí)根，則過A(a，a2)，B(b，b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線－＝1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知直線l的斜率為k，它與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若＝2，則|k|等于(　　) A．2 B. C. D. 二、填空題 4．已知直線kx－y＋1＝0與雙曲線－y2＝1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，若x軸上的點(diǎn)M(3,0)到A，B兩點(diǎn)的距離相等，則k的值為________． 5．(20xx·唐山一模)F是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂

3、足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B.若2＝，則C的離心率是________． 6．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C1：＋＝1(a1>b1>0)與雙曲線C2的公共的左，右焦點(diǎn)，橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，△MF1F2是以線段MF1為底邊的等腰三角形，且|MF1|＝2，若橢圓C1的離心率e∈，則雙曲線C2的離心率的取值范圍是________． 三、解答題 7．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)，其焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，直線l：x＋2y－2＝0與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B， (1)若點(diǎn)A是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)，求橢圓的方程； (2)若線段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取

4、值范圍． 8.(20xx·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)第三次診斷)已知點(diǎn)A(－2,0)，B(2，0)，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P滿足A·B＝－3. (1)求曲線C的方程； (2)若過定點(diǎn)M(0，－2)的直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍； (3)若動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)在曲線C上，求u＝的取值范圍． 9．(20xx·重慶巫溪中學(xué)第五次月考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)相同，且橢圓C上一點(diǎn)與橢圓C的左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為2＋2. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l：y＝kx＋m(k，m∈R)與橢圓

5、C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△AOB的重心G滿足：·＝－，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．  答案精析 1．D　[由題意得，拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，又直線AB的傾斜角為135°，故直線AB的方程為y＝－x＋2.代入拋物線方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦AB的長(zhǎng)應(yīng)為x1＋x2＋4＝12＋4＝16.] 2．A　[由根與系數(shù)的關(guān)系，得a＋b＝－tan θ，ab＝0，則a，b中必有一個(gè)為0，另一個(gè)為－tan θ.不妨設(shè)A(0,0)，B(－tan θ，tan2θ)，則直線AB的方程為y＝－xtan θ.根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

6、程，得雙曲線的漸近線方程為y＝±xtan θ，顯然直線AB是雙曲線的一條漸近線，所以過A，B兩點(diǎn)的直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)．] 3．A　[根據(jù)拋物線過焦點(diǎn)弦的結(jié)論＋＝，得＋＝1，又因?yàn)閨AF|＝2|BF|， 所以|BF|＝，|AF|＝3，則弦長(zhǎng)|AB|＝，又弦長(zhǎng)|AB|＝(α為直線AB的傾斜角)， 所以sin2α＝，則cos2α＝，tan2α＝8，即k2＝8，所以|k|＝2，故選A.] 4. 解析　聯(lián)立直線與雙曲線方程 得(1－2k2)x2－4kx－4＝0， ∵直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)， ∴ 解得－1

7、x2＝. 設(shè)P為AB的中點(diǎn)， 則P(，＋1)， 即P(，)． ∵M(jìn)(3,0)到A，B兩點(diǎn)距離相等， ∴MP⊥AB， ∴kMP·kAB＝－1，即k·＝－1，得k＝或k＝－1(舍)，∴k＝. 5. 解析　由已知得漸近線為l1：y＝x，l2：y＝－x，由條件得，F(xiàn)到漸近線的距離|FA|＝b，則|FB|＝2b， 在Rt△AOF中，|OF|＝c，則|OA|＝＝a.設(shè)l1的傾斜角為θ，即∠AOF＝θ，則∠AOB＝2θ. 在Rt△AOF中，tan θ＝，在Rt△AOB中，tan 2θ＝，而tan 2θ＝， 即＝，即a2＝3b2， 所以a2＝3(c2－a2)， 所以e2＝＝，又e>1

8、， 所以e＝. 6. 解析　設(shè)雙曲線C2的方程為－＝1(a2>0，b2>0)，由題意知|MF1|＝2，|F1F2|＝|MF2|＝2c，其中c2＝a＋b＝a－b，又根據(jù)橢圓與雙曲線的定義得 ??a1－a2＝2c，其中2a1,2a2分別為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)． 因?yàn)闄E圓的離心率e∈，所以≤≤，所以c≤a1≤c，而a2＝a1－2c，所以c≤a2≤c，所以≤≤4，即雙曲線C2的離心率的取值范圍是. 7．解　(1)由橢圓的離心率為， 得a＝c，∵直線l與x軸交于A點(diǎn)， ∴A(2,0)，∴a＝2，c＝，b＝， ∴橢圓方程為＋＝1. (2)由e＝，可設(shè)橢圓E的方程為＋＝1， 聯(lián)

9、立 得6y2－8y＋4－a2＝0， 若線段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|＝2a，則線段AB與橢圓E有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解． 設(shè)f(y)＝6y2－8y＋4－a2， ∴即 ∴≤a2≤4， 故a的取值范圍是≤a≤2. 8．解　(1)設(shè)P(x，y)，A·B＝(x＋2，y)(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3， 得P點(diǎn)軌跡(曲線C)方程為x2＋y2＝1， 即曲線C是圓． (2)可設(shè)直線l的方程為y＝kx－2， 其一般方程為kx－y－2＝0， 由直線l與曲線C有交點(diǎn)，得≤1，得k≤－或k≥， 即所求k的取值范圍是(－∞，－

10、]∪[，＋∞)． (3)由動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，設(shè)定點(diǎn)N(1，－2)， 則直線QN的斜率kQN＝＝u， 又點(diǎn)Q在曲線C上，故直線QN與圓有交點(diǎn)， 設(shè)直線QN的方程為y＋2＝u(x－1)， 即ux－y－u－2＝0. 當(dāng)直線與圓相切時(shí)，＝1， 解得u＝－， 當(dāng)u不存在時(shí)，直線與圓相切， 所以u(píng)∈(－∞，－]． 9．解　(1)依題意得 即 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立得方程組 消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 則 設(shè)△AOB的重心為G(x，y)， 由·＝－， 可得x2＋y2＝.② 由重心公式可得G(，)， 代入②式，整理可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4?(x1＋x2)2＋[k(x1＋x2)＋2m]2＝4，③ 將①式代入③式并整理， 得m2＝， 代入(*)得k≠0， 則m2＝＝1＋＝1＋. ∵k≠0，∴t＝>0，∴t2＋4t>0， ∴m2>1，∴m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．