2019-2020年人教版高中數(shù)學選修1-1教案:2-3-1 雙曲線及其標準方程.doc
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2019-2020年人教版高中數(shù)學選修1-1教案:2-3-1 雙曲線及其標準方程 項目 內容 課題 2.3.1 雙曲線及其標準方程 (共 1 課時) 修改與創(chuàng)新 教學 目標 知識與技能:使學生理解并掌握雙曲線的定義,掌握雙曲線的標準方程的推導及標準方程。 過程與方法:了解雙曲線的實際背景,經歷從具體情境中抽象出雙曲線模型的過程,感受雙曲線定義在解決實際問題中的作用。 情感、態(tài)度與價值觀:通過對雙曲線的定義及標準方程的學習,滲透數(shù)形結合的思想,啟發(fā)我們在研究問題時,抓住問題的本質。 教學重、 難點 重點:雙曲線的定義和雙曲線的標準方程. 難點:雙曲線的標準方程的推導. 教學 準備 多媒體課件 教學過程 (一)復習提問 1.橢圓的定義是什么? 平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.教師要強調條件:(1)平面內;(2)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù);(3)常數(shù)2a>| F1F2||. 2.橢圓的標準方程? (二)雙曲線的概念 把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”,那么點的軌跡會怎樣?它的方程是怎樣的呢? 1.簡單實驗(邊演示、邊說明) 如圖,定點F1、F2是兩個按釘,MN是一個細套管,兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管,點M移動時,|MF1|-|MF2|是常數(shù),這樣就畫出曲線的一支;由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù),可以畫出另一支. 注意:常數(shù)要小于| F1F2||,否則作不出圖形.這樣作出的曲線就叫做雙曲線. 2.設問 問題1:定點F1、F2與動點M不在平面上,能否得到雙曲線? 請學生回答,不能.強調“在平面內”. 問題2:|MF1|與|MF2|哪個大? 請學生回答,不定:當M在雙曲線右支上時,|MF1|>|MF2|;當點M在雙曲線左支上時,|MF1|<|MF2|. 問題3:點M與定點F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|? 請學生回答,不一定,也可以是|MF2|-|MF1|.正確表示為||MF2|-|MF1||. 問題4:這個常數(shù)是否會大于等于|F1F2|? 請學生回答,應小于|F1F2|且大于零.當常數(shù)=|F1F2|時,軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線;當常數(shù)>|F1F2|時,無軌跡. 3.定義 在上述基礎上,引導學生概括雙曲線的定義: 平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點,兩個焦點之間的距離叫做焦距. 教師指出:雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶,不要死記. (三)雙曲線的標準方程 現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這時設問:求橢圓的方程的一般步驟方法是什么?不要求學生回答,主要引起學生思考,隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導. 標準方程的推導: (1)建系設點 取過焦點F1、F2的直線為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24) 建立直角坐標系. 設M(x,y)為雙曲線上任意一點,雙曲線的焦距是2c(c>0),那么F1、F2的坐標分別是(-c,0)、(c,0).又設點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù). (2)點的集合 由定義可知,雙曲線就是集合: P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=2a}. (3)代數(shù)方程 (4)化簡方程(由學生演板) 將這個方程移項,兩邊平方得: 化簡整理得: (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). (以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導.) 由雙曲線定義,2c>2a 即c>a,所以c2-a2>0. 設c2-a2=b2(b>0),代入上式得: b2x2-a2y2=a2b2. 這就是雙曲線的標準方程. 兩種標準方程的比較(引導學生歸納): 說明: (1)雙曲線標準方程中,a>0,b>0,但a不一定大于b; (2)如果x2項的系數(shù)是正的,那么焦點在x軸上;如果y2項的系數(shù)是正的,那么焦點在y軸上.注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上. (3)雙曲線標準方程中a、b、c的關系是c2=a2+b2,不同于橢圓方程中c2=a2-b2. (四)例題講解: 1.求滿足下列的雙曲線的標準方程:焦點F1(-3,0)、F2(3,0),且2a=4; 3.已知兩點F1(-5,0)、F2(5,0),求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程.如果把這里的數(shù)字6改為12,其他條件不變,會出現(xiàn)什么情況? 解:由定義,所求點的軌跡是雙曲線,因為c=5,a=3,所以b2=c2-a2=52-32=42. 因為2a=12,2c=10,且2a>2c. 所以動點無軌跡. (五)課時小結 1.定義:平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡. 3.圖形: 4.焦點:F1(-c,0)、F2(c,0);F1(0,-c)、F2(0,c). 5.a、b、c的關系:c2=a2+b2 五、布置作業(yè) 1.根據(jù)下列條件,求雙曲線的標準方程: (1)焦點的坐標是(-6,0)、(6,0),并且經過點A(-5,2); 3.已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m<0<m+n),求其焦點坐標. 板書設計 2.3.1 雙曲線及其標準方程 1.雙曲線的定義 2. 雙曲線的標準方程 例 (1)焦點在x軸上 (2)焦點在y軸上 教學反思 1.為讓學生更深刻地理解雙曲線的定義,在給出定義后,讓學生分析:平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于| F1F2|)的點的軌跡是什么?大于| F1F2|)的點的軌跡是什么? 2.標準方程的推導,在老師的指導下,讓學生自己推導,以提高學生的運算能力。- 配套講稿:
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