2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué)案 新人教A版必修4.doc

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2.3.4　平面向量共線的坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解用坐標(biāo)表示兩向量共線的條件．(難點(diǎn))2.能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線；并掌握三點(diǎn)共線的判斷方法．(重點(diǎn))3.兩直線平行與兩向量共線的判定．(易混點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 平面向量共線的坐標(biāo)表示 (1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb. (2)如果用坐標(biāo)表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a，b(b≠0)共線． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)向量(1,2)與向量(4,8)共線．(　　) (2)向量(2,3)與向量(－4，－6)反向．(　　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0，則＝.(　　) [解析]　(1)正確．因?yàn)?4,8)＝4(1,2)，所以向量(1,2)與向量(4,8)共線． (2)正確．因?yàn)?－4，－6)＝－2(2,3)，所以向量(2,3)與向量(－4，－6)反向． (3)錯(cuò)誤．當(dāng)x2y2≠0時(shí)＝. [答案]　(1)√　(2)√　(3) 2．下列各對(duì)向量中，共線的是(　　) A．a(chǎn)＝(2,3)，b＝(3，－2) B．a(chǎn)＝(2,3)，b＝(4，－6) C．a(chǎn)＝(，－1)，b＝(1，) D．a(chǎn)＝(1，)，b＝(，2) D　[A，B，C中各對(duì)向量都不共線，D中b＝a，兩個(gè)向量共線．] 3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，則y＝________. －4　[∵a∥b，∴＝，解得y＝－4.] [合 作 探 究攻 重 難] 判定直線平行、三點(diǎn)共線 　(1)已知A，B，C三點(diǎn)共線，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，則C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(　　) A．－13　　　 B．9　　　 C．－9　　　 D．13 (2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？ [思路探究]　(1)→→ (2)→ (1)C　[(1)設(shè)C(6，y)，∵∥， 又＝(－8,8)，＝(3，y＋6)， ∴－8(y＋6)－38＝0， ∴y＝－9.] (2)[解]　∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， ＝(2－1,7－5)＝(1,2)． 又22－41＝0， ∴∥. 又＝(2,6)，＝(2,4)， ∴24－26≠0， ∴A，B，C不共線， ∴AB與CD不重合， ∴AB∥CD. [規(guī)律方法]　向量共線的判定方法 提醒：向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式極易寫錯(cuò)，如寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對(duì)的，因此要理解并記熟這一公式，可簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相減． [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352230】 [證明]?。剑?，＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵74－8＝0， ∴∥，且，有公共點(diǎn)A， ∴A，B，C三點(diǎn)共線. 已知平面向量共線求參數(shù) 　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352231】 [思路探究]　法一：可利用b與非零向量a共線等價(jià)于b＝λa(λ>0，b與a同向；λ<0，b與a反向)求解； 法二：可先利用坐標(biāo)形式的等價(jià)條件求k，再利用b＝λa判定同向還是反向． [解]　法一：(共線向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 當(dāng)ka＋b與a－3b平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以 解得k＝λ＝－. 當(dāng)k＝－時(shí)，ka＋b與a－3b平行，這時(shí)ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， 因?yàn)棣耍剑?0， 所以ka＋b與a－3b反向． 法二：(坐標(biāo)法)由題知ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)， 因?yàn)閗a＋b與a－3b平行， 所以(k－3)(－4)－10(2k＋2)＝0， 解得k＝－. 這時(shí)ka＋b＝＝－(a－3b)， 所以當(dāng)k＝－時(shí)，ka＋b與a－3b平行，并且反向． [規(guī)律方法]　利用向量平行的條件處理求值問(wèn)題的思路： (1)利用共線向量定理a＝λb(b≠0)列方程組求解． (2)利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0直接求解． [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知a＝(1,1)，b＝(x2，x＋λ)且a∥b，則實(shí)數(shù)λ的最小值是________． －　[因?yàn)閍∥b，所以x2－x－λ＝0， 即λ＝x2－x＝2－≥－， 所以λ的最小值為－.] 向量共線的綜合應(yīng)用 　(1)已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，則2sin αcos α等于(　　) A．3 B．－3 C．－ D． (2)如圖2318所示，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352232】 圖2318 [思路探究]　(1)先由a∥b推出sin α與cos α的關(guān)系，求tan α，再用“1”的代換求2sin αcos α. (2)要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需求出向量的坐標(biāo)，由與共線得到＝λ，利用與共線的坐標(biāo)表示求出λ即可；也可設(shè)P(x，y)，由∥及∥，列出關(guān)于x，y的方程組求解． (1)C　[(1)因?yàn)閍∥b，所以cos α1－(－2)sin α＝0即cos α＝－2sin α，tan α＝－， 所以2sin αcos α＝＝ ＝＝－. (2)法一：(定理法)由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)，＝－＝(－2,6)． 由與共線得(4λ－4)6－4λ(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3)． 法二：(坐標(biāo)法)設(shè)P(x，y)，則＝(x，y)，因?yàn)椋?4,4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng). 又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線，則得(x－4)6－y(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3)．] [規(guī)律方法]　向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用 (1)已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)判定兩向量共線.聯(lián)系平面幾何平行、共線知識(shí)，可以證明三點(diǎn)共線、直線平行等幾何問(wèn)題.要注意區(qū)分向量的共線、平行與幾何中的共線、平行. (2)已知兩個(gè)向量共線，求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)，求參數(shù)的值，求軌跡方程.要注意方程思想的應(yīng)用，向量共線的條件，向量相等的條件等都可作為列方程的依據(jù). [跟蹤訓(xùn)練] 3．如圖2319，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC與BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)． 圖2319 [解]　設(shè)＝λ＝λ(11－1,6－2)＝(10λ，4λ)． 易得＝(－11,1)， ∴＝＋＝(10λ－11,4λ＋1)． 又＝(－8,4)，而與共線， ∴4(10λ－11)＋8(4λ＋1)＝0， 解得λ＝. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)， ∴＝(5,2)＝(xP－1，yP－2)， ∴ 即 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,4). 共線向量與線段分點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算 [探究問(wèn)題] 1．設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)？ 提示：如圖所示，∵P為P1P2的中點(diǎn)， ∴＝， ∴－＝－， ∴＝(＋) ＝， ∴線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)是. 2．設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是什么？ 提示：點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，分兩種情況： ①當(dāng)＝時(shí)，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋ ＝； ②當(dāng)＝時(shí)， ＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝. 3．當(dāng)＝λ時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？ 提示：∵＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ， ∴＝ ＝(x1，y1)＋(x2，y2) ＝＋ ＝， ∴P. 　已知點(diǎn)A(3，－4)與點(diǎn)B(－1,2)，點(diǎn)P在直線AB上，且||＝2||，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352233】 [思路探究]　點(diǎn)P在直線AB上，包括點(diǎn)P在線段AB內(nèi)和在線段AB的延長(zhǎng)線上，因此應(yīng)分類討論． [解]　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， ||＝2||. 當(dāng)P在線段AB上時(shí)，＝2， ∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)， ∴解得 ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為. 當(dāng)P在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，＝－2， ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)， ∴解得 ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(－5,8)． 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或(－5,8)． 母題探究：1.若將本例條件“||＝2||”改為“＝3”其他條件不變，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． [解]　因?yàn)椋?，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x,2－y)， 所以解得 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 2．若將本例條件改為“經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2,3)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，且||＝3||”，求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)． [解]　由題設(shè)知，A，B，P三點(diǎn)共線，且||＝3||，設(shè)A(x,0)，B(0，y)， ①點(diǎn)P在A，B之間，則有＝3， ∴(－x，y)＝3(－2－x,3)， 解得x＝－3，y＝9， 點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－3,0)，(0,9)． ②點(diǎn)P不在A，B之間， 則有＝－3，同理， 可求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，(0，－9)． 綜上，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－3,0)，(0,9)或，(0，－9)． [規(guī)律方法]　在求有向線段分點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，不必過(guò)分強(qiáng)調(diào)公式記憶，可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題后解方程組求解，同時(shí)應(yīng)注意分類討論. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是 (　　) A．a(chǎn)＝(0,0)，b＝(2,3) B．a(chǎn)＝(1，－3)，b＝(2，－6) C．a(chǎn)＝(4,6)，b＝(6,9) D．a(chǎn)＝(2,3)，b＝(－4,6) D　[只有D選項(xiàng)中兩個(gè)向量不共線，可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底，故選D.] 2．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，則與a＋2b共線的向量可以是(　　) A．(，－1) B．(－1，－) C．(－，－1) D．(－1，) D　[因?yàn)閍＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，所以向量a＋2b與(－1，)是共線向量．故選D.] 3．已知兩點(diǎn)A(2，－1)，B(3,1)，則與平行且方向相反的向量a可以是 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352234】 A．(1，－2) B．(9,3) C．(－2,4) D．(－4，－8) D　[由題意，得＝(1,2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合條件的只有D項(xiàng)，故選D.] 4．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b等于________． (－4，－8)　[∵a∥b，∴1m－(－2)2＝0， ∴m＝－4，∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)， ∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．] 5．設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線？ [解]　∵＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(10－k，k－12)， 又A，B，C三點(diǎn)共線， ∴由兩向量平行的充要條件，得(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 解得k＝－2或k＝11. 即當(dāng)k＝－2或k＝11時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線．