2019-2020年蘇教版必修5高中數(shù)學(xué)1.1《正弦定理》word教學(xué)設(shè)計(jì).doc

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2019-2020年蘇教版必修5高中數(shù)學(xué)1.1《正弦定理》word教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)目標(biāo)： 1. 掌握正弦定理及其證明，能夠運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量 問(wèn)題； 2. 通過(guò)對(duì)任意三角形的邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和自主探索能力； 3. 提供適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣． 教學(xué)重點(diǎn)： 正弦定理及其證明過(guò)程． 教學(xué)難點(diǎn)： 正弦定理的推導(dǎo)和證明． 教學(xué)過(guò)程： 一、問(wèn)題情境 從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量，從大禹治水到都江堰的修建，從天文觀測(cè)到精密儀器的制造，人們都離不開(kāi)對(duì)幾何圖形的測(cè)量、設(shè)計(jì)和計(jì)算．測(cè)量河流兩岸兩碼頭之間的距離，確定待建隧道的長(zhǎng)度，確定衛(wèi)星的角度與高度等等，所有這些問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊或角的問(wèn)題，這就需要我們進(jìn)一步探索三角形中的邊角關(guān)系． 探索1　我們前面學(xué)習(xí)過(guò)直角三角形中的邊角關(guān)系，在Rt中，設(shè)，那么邊角之間有哪些關(guān)系？ ，，，，，，，,,…… 探索2　在Rt中，我們得到，對(duì)于任意三角形，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？ 二、學(xué)生活動(dòng) 把學(xué)生分成兩組，一組驗(yàn)證結(jié)論對(duì)于銳角三角形是否成立，另一組驗(yàn)證結(jié)論對(duì)于鈍角三角形是否成立． 學(xué)生通過(guò)畫(huà)三角形、測(cè)量長(zhǎng)度及角度，再進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)論成立． 教師再通過(guò)幾何畫(huà)板軟件進(jìn)行驗(yàn)證（如圖1）．對(duì)于驗(yàn)證的結(jié)果不成立的情況，指出這是由于測(cè)量的誤差或者計(jì)算的錯(cuò)誤造成的．引出課題——正弦定理． 圖1 三、建構(gòu)數(shù)學(xué) 探索3　這個(gè)結(jié)論對(duì)于任意三角形可以證明是成立的．不妨設(shè)為最大角，若為直角，我們已經(jīng)證明結(jié)論成立，如何證明為銳角、鈍角時(shí)結(jié)論成立？ 師生共同活動(dòng)，注意啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生作輔助線，將銳角、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，進(jìn)而探索證明過(guò)程．經(jīng)過(guò)討論，可歸納出如下證法． 證法一　若為銳角（圖2（1）），過(guò)點(diǎn)作于，此時(shí)有,，所以,即． 同理可得,所以． （1） 　　　　　　圖2　　　　　　?。?） 若為鈍角（圖2（2）），過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，此時(shí)有，且，同理可得．綜上可得，結(jié)論成立． 證法二　利用三角形的面積轉(zhuǎn)化，先作出三邊上的高、、，則，，． 所以= =，每項(xiàng)同時(shí)除以， 得 探索4　充分挖掘三角形中的等量關(guān)系，可以探索出不同的證明方法，我們知道向量也是解決問(wèn)題的重要工具，因此能否從向量的角度來(lái)證明這個(gè)結(jié)論呢？ 在中，有，設(shè)為最大角，過(guò)點(diǎn)作于，（圖3），于是，設(shè)與的夾角為，則，其中，當(dāng)為銳角或者直角時(shí)，；當(dāng)為鈍角時(shí)，．故可得，即．同理可得．因此． 這里運(yùn)用向量的數(shù)量積將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式，我們運(yùn)用不同的方法證明了三角形中的一個(gè)重要定理． 探索5　這個(gè)式子中包含哪幾個(gè)式子？每個(gè)式子中有幾個(gè)量？它可以解決斜三角型中的哪些類型的問(wèn)題？ 三個(gè)式子： ，，． 每個(gè)式子中都有四個(gè)量，如果已知其中三個(gè)可求出第四個(gè)． 正弦定理可以解決兩類三角形問(wèn)題： （1）已知兩角與任一邊，求其他兩邊和一角（兩角夾一邊需要先用三角形內(nèi)角和定理求出第三角，再使用正弦定理）； （2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）． 四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 例題 在中： （1）已知，，，求，，； （2）已知，，，求，，； （3）已知，，，解這個(gè)三角形． 解　（1）由正弦定理得，即， 因此　　 所以　　，或． 由于　　 故　　　也符合要求，從而本題有兩個(gè)解或． 　　　①當(dāng)時(shí)，， ． 　　?、诋?dāng)時(shí)， ． （2）由正弦定理得，即 所以,或． 由于，故不符合要求， 從而本題只有一解 ， ． （3）由正弦定理得，所以無(wú)解． 學(xué)生思考：已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，為什么分別會(huì)出現(xiàn)兩解、一解和無(wú)解的情況呢？ 鞏固練習(xí)： 1.（口答）一個(gè)三角形的兩角和邊分別是和，若角所對(duì)邊的長(zhǎng)為8，那么角所對(duì)邊的長(zhǎng)是 . 2.(板演) 在中： （1）已知，求，； （2）已知，求，． 3.（板演）根據(jù)下列條件解三角形： （1），， （2），， 五、回顧小結(jié) 本節(jié)課同學(xué)們通過(guò)自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理．正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對(duì)角的關(guān)系，其關(guān)系式和諧、對(duì)稱．它可以解決斜三角型中這樣的幾類問(wèn)題：已知三角形中兩邊與一邊的對(duì)角，可求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角；已知三角形中的兩角與任意一邊，可求出其他的邊和角；已知三角形中兩邊與它們的對(duì)角這四個(gè)元素中的兩個(gè)元素，可研究出另外兩個(gè)元素的關(guān)系． 六、課外作業(yè) 課本P11習(xí)題1.1第1，2題．