《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第九章 :第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)
【考綱下載】
1.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值或最值,并會解決與之有關(guān)的不等式問題.
2.會利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡單的實(shí)際問題.
[來源:]
1.生活中的優(yōu)化問題
生活中常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等一些實(shí)際問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題.
2.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟
讀題、審題、找出已知、未知 利用 導(dǎo)數(shù)
還原問題答案
2、 求解
問題得以解決
比較極值點(diǎn)與最值點(diǎn)
1.在求實(shí)際問題中的最大值和最小值時,函數(shù)的定義域有什么要求?
提示:實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.
2.在求實(shí)際問題的最值時,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點(diǎn),則該極值與函數(shù)的最值有什么關(guān)系?
提示:有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題,一般指的是單峰函數(shù),也就是說在實(shí)際問題中,如
3、果遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點(diǎn),那么不與區(qū)間端點(diǎn)比較,就可以知道這個極值點(diǎn)就是最大(小)值點(diǎn).
1. (2013·浙江高考)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是( )
解析:選B 在(-1,0)上,f′(x)單調(diào)遞增,所以f(x)圖象的切線斜率呈遞增趨勢;在(0,1)上,f′(x)單調(diào)遞減,所以f(x)圖象的切線斜率呈遞減趨勢.
2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf′(x)的圖象可能是 ( )
解析:選C ∵f(x)在x=-
4、2處取得極小值,∴在x=-2附近的左側(cè)f′(x)<0,當(dāng)x<-2時,xf′(x)>0.在x=-2附近的右側(cè)f′(x)>0,當(dāng)-2
5、,對任意x∈R,2,則f(x)>2x+4的解集為( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
解析:選B 令函數(shù)g(x)=f(x)-2x-4,則g′(x)=f′(x)-2>0,因此,g(x)在R上是增函數(shù),又g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0.所以,原不等式可化為g(x)>g(-1),由g(x)的單調(diào)性,可得x>-1.
5.函數(shù)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間,則a的取值范圍是________.
解析:f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間,即函數(shù)f(x)恰有兩個極值點(diǎn),即f′(x)=0有兩個
6、不等實(shí)根.∵f(x)=ax3+x,∴f′(x)=3ax2+1.要使f′(x)=0有兩個不等實(shí)根,則a<0.
答案:(-∞,0)
壓軸大題巧突破(四)
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根
[典例] (2013·山東高考)(13分)設(shè)函數(shù)f(x)=+c(e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù),c∈R).[來源:]
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值;
(2)討論關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù).
[化整為零破難題]
(1)先對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),再求解不等式f′(x)>0或f′(x)<0,即可得出其單調(diào)區(qū)間.由于其在定義域內(nèi)有唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),所以可得其最
7、大值.
(2)基礎(chǔ)問題1:方程|ln x|=f(x)中既有指數(shù),也有對數(shù),如何求解?
求方程|ln x|=f(x)根的個數(shù),應(yīng)構(gòu)造函數(shù)g(x)=|ln x|-f(x),轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個數(shù)問題.
基礎(chǔ)問題2:如何判斷函數(shù)g(x)=|ln x|-f(x)的零點(diǎn)個數(shù)?
函數(shù)g(x)=|ln x|-f(x)的零點(diǎn)即為g(x)的圖象與x軸的交點(diǎn),因此, 問題轉(zhuǎn)化為判斷g(x)的圖象與x軸公共點(diǎn)的個數(shù).
基礎(chǔ)問題3:函數(shù)g(x)的圖象不能利用描點(diǎn)法畫出,如何判斷其與x軸公共點(diǎn)的個數(shù)?
可根據(jù)函數(shù)g(x)的單調(diào)性與極值的情況,大體畫出g(x)的圖象,從而確定圖象與x軸公共點(diǎn)的個數(shù).
8、
利用導(dǎo)數(shù)可以證明,函數(shù)g(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,故g(x)有最小值g(1).故當(dāng)g(1)>0時,圖象與x軸沒有公共點(diǎn);當(dāng)g(1)=0時,圖象與x軸有唯一公共點(diǎn);當(dāng)g(1)<0時,圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)不能確定(因?yàn)間(x)的定義域?yàn)?0,+∞),而不是R).
基礎(chǔ)問題4:如何判斷g(1)<0時,g(x)的圖象與x軸公共點(diǎn)的個數(shù)?
若存在x0∈(1,+∞),且g(x0)>0,則在(1,+∞)上存在零點(diǎn);若存在x1∈(0,1),且g(x1)>0,則在(0,1)上存在零點(diǎn).因此只需判斷g(x)>0在(0,1)和(1,+∞)上是否有解即可.
[規(guī)范解答不失分]
9、
(1)f′(x)=(1-2x)e-2x,由f′(x)=0,解得x=. 2分
當(dāng)x<時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,最大值為f=e-1+c. 4分
(2)令g(x)=|ln x|-f(x)=|ln x|-xe-2x-c,x∈(0,+∞).(ⅰ)當(dāng)x∈(1,+∞)時,ln x>0,則g(x)=ln x-xe-2x-c,所以g′(x)=e-2x.因?yàn)?x-1>0,>0,所以g′(x)>0,
因此g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增
10、. 6分
(ⅱ)①ln x<0,則g(x)=-ln x-xe-2x-c,所以g′(x)=e-2x.因?yàn)閑2x∈(1,e2),e2x>1>x>0,所以-<-1.又2x-1<1,所以-+2x-1<0,即g′(x)<0.因此g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.
綜合(ⅰ)(ⅱ)可知,當(dāng)x∈(0,+∞)時,g(x)≥g(1)=-e-2-c. 8分[來源:]
當(dāng)g(1)=-e-2-c>0,即c<-e-2時,g(x)沒有零點(diǎn),故關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為0;
11、 9分
當(dāng)g(1)=-e-2-c=0,即c=-e-2時,g(x)只有一個零點(diǎn),故關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)的個數(shù)為1; 10分[來源:]
②
a.當(dāng)x∈(1,+∞)時,由(1)知
③
要使g(x)>0,只需使ln x-1-c>0,即x∈(e1+c,+∞);11分
b.當(dāng)x∈(0,1)時,由(1)知
③
要使g(x)>0,只
12、需-ln x-1-c>0,即x∈(0,e-1-c);所以c>-e-2時,g(x)有兩個零點(diǎn),
故關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為2. 12分
綜上所述,
當(dāng)c<-e-2時,關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為0;
當(dāng)c=-e-2時,關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為1;
當(dāng)c>-e-2時,關(guān)于x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為2.13分
[易錯警示要牢記]
易錯
點(diǎn)一
①處易忽視定義域?yàn)?0,+∞),得出“x<1時,ln x<0”的錯誤結(jié)論
易錯
點(diǎn)二
②處極易認(rèn)為:g(1)>0時,沒有零點(diǎn);g(1)=0時,有一個零點(diǎn);從而想當(dāng)然認(rèn)為g(1)<0有兩個零點(diǎn),造成解題步驟不完整而失分
易錯
點(diǎn)三
③處易忽視xe-2x+c在x=處取得最大值,不能將不等式適當(dāng)改變,從而無法判斷g(x)的符號,導(dǎo)致解題失誤或解題步驟不完整而失分