新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第6節(jié)　正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用

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1、 第6節(jié)　正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 用正、余弦定理解三角形 1、5、8、9、11 與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題 2、4 判斷三角形的形狀 3、10 實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 7、15 綜合應(yīng)用 6、12、13、14、16 A組 一、選擇題 1.(20xx廣東湛江十校聯(lián)考)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,已知b=2,B=30°,C=15°,則a等于(　A　) (A)22 (B)23 (C)6-2 (D)4 解析:A=180°

2、-30°-15°=135°, 由正弦定理asinA=bsinB,得a22=212, 即a=22.故選A. 2.(20xx潮州二模)在△ABC中,A=π3,AB=2,且△ABC的面積為32,則邊AC的長(zhǎng)為(　A　) (A)1 (B)3 (C)2 (D)2 解析:S△ABC=12AB·AC·sin A =12×2·AC·sinπ3=32, ∴AC=1.故選A. 3.(20xx湛江高考測(cè)試(二))若三條線段的長(zhǎng)分別為3,5,7,則用這三條線段(　C　) (A)能組成直角三角形 (B)能組成銳角三角形 (C)能組成鈍角三角形 (D)不能組成三角形 解析:依題意得,注意到任意兩邊之

3、和均大于第三邊,因此,它們能夠構(gòu)成三角形,邊長(zhǎng)為7的邊所對(duì)的內(nèi)角的余弦等于32+52-722×3×5<0,因此,該內(nèi)角是鈍角.該三角形是鈍角三角形,故選C. 4.(20xx汕頭市高三質(zhì)量測(cè)評(píng)(二))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知c=2,C=π3,△ABC的面積S△ABC=3,則△ABC的周長(zhǎng)為(　A　) (A)6 (B)5 (C)4 (D)4+23 解析:依題意得12absin C=34ab=3,ab=4,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=4?(a+b)2-3ab=4?(a+b)2=16?a+b=4?a+b+c=6,即△ABC的周長(zhǎng)是6,故

4、選A. 5.(20xx汕頭市高三質(zhì)量測(cè)評(píng)(一))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若sinCsinA=2,b2-a2=32ac,則cos B等于(　C　) (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 解析:∵ca=sinCsinA=2,即c=2a,又b2-a2=32ac,由余弦定理得 b2=c2+a2-2accos B, ∴32a×2a=4a2-4a2cos B,即cos B=14. 6.(20xx珠海一模)直線l1與l2相交于點(diǎn)A,點(diǎn)B、C分別在直線l1與l2上,若AB→與AC→的夾角為60°,且|AB→|=2,|AC→|=4,則|BC→|等于(　B　)

5、(A)22 (B)23 (C)26 (D)27 解析:由題意,△ABC中,∠A=60°,AB=2,AC=4. 由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=12, ∴BC=23. 故選B. 二、填空題 7.某居民小區(qū)為了美化環(huán)境,給居民提供更好的生活環(huán)境,在小區(qū)內(nèi)的一塊三角形空地上(如圖,單位:m)種植草皮,已知這種草皮的價(jià)格是120元/m2,則購(gòu)買(mǎi)這種草皮需要　　　　元.? 解析:三角形空地面積 S=12×123×25×sin 120°=225(m2), 故共需225×120=27000(元). 答案:27000 8.(高考北京卷)在△ABC中,若a=

6、2,b+c=7,cos B=-14,則b=　　　　.? 解析:由已知根據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accos B 得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(-14), 即15b-60=0,得b=4. 答案:4 9.(20xx潮州高三期末質(zhì)檢)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若(2b-c)cos A=acos C,則cos A=　　　　.? 解析:由(2b-c)cos A=acos C, 得2bcos A=ccos A+acos C, 2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C, 故2sin Bcos A=sin(A+C),

7、又在△ABC中,sin(A+C)=sin B>0,故cos A=12. 答案:12 10.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,則△ABC的形狀為　　　　.? 解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得 sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A, 2sinBcos A=2sin Acos A. ∴cos A=0或sin A=sin B. ∵0

8、,四邊形ABCD中,AB=5,AD=3,cos A=45,△BCD是等邊三角形. (1)求四邊形ABCD的面積; (2)求sin ∠ABD. 解:(1)由題意及余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2×AB×AD×cos A=10, ∵cos A=45, ∴sin A=35. 四邊形ABCD的面積 S=S△ABD+S△BCD =12×AB×AD×sin ∠BAD+12×BD2×sin ∠DBC =9+532. (2)由正弦定理得ADsin∠ABD=BDsinA, ∴sin ∠ABD=ADBD×sin A=91050. 12.(20xx深圳市二調(diào))在△ABC中,角A,

9、B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3,b=5,c=7. (1)求角C的大小; (2)求sin(B+π3)的值. 解:(1)由余弦定理可得 cos C=a2+b2-c22ab=32+52-722×3×5=-12, ∵0

10、 13.(高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b等于(　D　) (A)10 (B)9 (C)8 (D)5 解析:由題意知,23cos2A+2cos2A-1=0, 即cos2A=125, 又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形, 所以cos A=15. 在△ABC中,由余弦定理知72=b2+62-2b×6×15, 即b2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故選D. 14.在△ABC中,設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若 a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B

11、)且a⊥b,則B=　　　.? 解析:由a⊥b,得a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0, 利用正弦定理,可得 sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B= sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0, 即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B, 因?yàn)閟in A≠0,故cos B=12,因此B=π3. 答案:π3 15.如圖所示,A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi),B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°,30°,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°,AC=

12、0.1 km. (1)試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離會(huì)相等? (2)求B、D的距離. 解:(1)如圖所示,在△ADC中, ∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, ∴CD=AC=0.1 km, 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, ∴∠CED=90°, ∴CB是△CAD底邊AD的中垂線, ∴BD=BA. (2)在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°, 由正弦定理得ABsin∠BCA=ACsin∠ABC, ∴AB=0.1·sin60°sin15°=32+620(km), ∴BD=32+620(km). 故B、D間

13、的距離是32+620km. 16.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求證:a,b,c成等比數(shù)列; (2)若a=1,c=2,求△ABC的面積S. (1)證明:∵在△ABC中, sin B(tan A+tan C)=tan Atan C, ∴sin BsinAcosA+sinCcosC=sinAcosA·sinCcosC, ∴sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C, ∴sin Bsin(A+C)=sin Asin C, ∵A+C=π-B, ∴sin(A+C)=sin B, ∴sin2 B=sin Asin C, 由正弦定理得,b2=ac, ∴a,b,c成等比數(shù)列. (2)解:∵a=1,c=2, ∴b2=ac=2,∴b=2, ∴cos B=a2+c2-b22ac=12+22-22×1×2=34, ∵0