2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題57 排列組合中的常見模型.doc
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專題57 排列組合中的常見模型 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 縱觀近幾年的高考試題,排列組合問題往往以實(shí)際問題為背景,考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計(jì)數(shù)原理,同時(shí)考查分類討論的思想及解決問題的能力.除了以選擇、填空的形式考查,也往往在解答題中與古典概型概率計(jì)算相結(jié)合進(jìn)行考查. 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上,舉例說明排列組合中的常見模型的解法. (一)處理排列組合問題的常用思路: 1、特殊優(yōu)先:對(duì)于題目中有特殊要求的元素,在考慮步驟時(shí)優(yōu)先安排,然后再去處理無要求的元素. 例如:用組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),共有多少種排法? 2、尋找對(duì)立事件:如果一件事從正面入手,考慮的情況較多,則可以考慮該事的對(duì)立面,再用全部可能的總數(shù)減去對(duì)立面的個(gè)數(shù)即可. 3、先取再排(先分組再排列):排列數(shù)是指從個(gè)元素中取出個(gè)元素,再將這個(gè)元素進(jìn)行排列.但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素,所以此時(shí)就要將過程拆分成兩個(gè)階段,可先將所需元素取出,然后再進(jìn)行排列. (二)排列組合的常見模型 1、捆綁法(整體法):當(dāng)題目中有“相鄰元素”時(shí),則可將相鄰元素視為一個(gè)整體,與其他元素進(jìn)行排列,然后再考慮相鄰元素之間的順序即可. 2、插空法:當(dāng)題目中有“不相鄰元素”時(shí),則可考慮用剩余元素“搭臺(tái)”,不相鄰元素進(jìn)行“插空”,然后再進(jìn)行各自的排序 注:(1)要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊 (2)要從題目中判斷是否需要各自排序 3、錯(cuò)位排列:排列好的個(gè)元素,經(jīng)過一次再排序后,每個(gè)元素都不在原先的位置上,則稱為這個(gè)元素的一個(gè)錯(cuò)位排列.例如對(duì)于,則是其中一個(gè)錯(cuò)位排列.3個(gè)元素的錯(cuò)位排列有2種,4個(gè)元素的錯(cuò)位排列有9種,5個(gè)元素的錯(cuò)位排列有44種.以上三種情況可作為結(jié)論記住 4、依次插空:如果在個(gè)元素的排列中有個(gè)元素保持相對(duì)位置不變,則可以考慮先將這個(gè)元素排好位置,再將個(gè)元素一個(gè)個(gè)插入到隊(duì)伍當(dāng)中(注意每插入一個(gè)元素,下一個(gè)元素可選擇的空) 5、不同元素分組:將個(gè)不同元素放入個(gè)不同的盒中 6、相同元素分組:將個(gè)相同元素放入個(gè)不同的盒內(nèi),且每盒不空,則不同的方法共有種.解決此類問題常用的方法是“擋板法”,因?yàn)樵叵嗤灾恍杩紤]每個(gè)盒子里所含元素個(gè)數(shù),則可將這個(gè)元素排成一列,共有個(gè)空,使用個(gè)“擋板”進(jìn)入空檔處,則可將這個(gè)元素劃分為個(gè)區(qū)域,剛好對(duì)應(yīng)那個(gè)盒子. 7、涂色問題:涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”,在處理涂色問題時(shí),可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論,每減少一種顏色的使用,便意味著多出一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色(還要注意兩兩不相鄰的情況),先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能,再進(jìn)行涂色即可. 【經(jīng)典例題】 例1.【2017課標(biāo)II,理6】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有( ) A.12種 B.18種 C.24種 D.36種 【答案】D 【解析】 由題意可得,一人完成兩項(xiàng)工作,其余兩人每人完成一項(xiàng)工作,據(jù)此可得,只要把工作分成三份:有種方法,然后進(jìn)行全排列即可,由乘法原理,不同的安排方式共有種方法. 故選D. 例2.【重慶市2018屆三?!可匠寝r(nóng)業(yè)科學(xué)研究所將5種不同型號(hào)的種子分別試種在5塊并成一排的試驗(yàn)田里,其中兩型號(hào)的種子要求試種在相鄰的兩塊試驗(yàn)田里,且均不能試種在兩端的試驗(yàn)田里,則不同的試種方法數(shù)為 ( ) A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B (1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”;(2)元素相間的排列問題——“插空法”;(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”;(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法. 例3.【2018年理新課標(biāo)I卷】從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有_____________種.(用數(shù)字填寫答案) 【答案】16 點(diǎn)睛:該題是一道關(guān)于組合計(jì)數(shù)的題目,并且在涉及到至多至少問題時(shí)多采用間接法,總體方法是得出選3人的選法種數(shù),間接法就是利用總的減去沒有女生的選法種數(shù),該題還可以用直接法,分別求出有1名女生和有兩名女生分別有多少種選法,之后用加法運(yùn)算求解. 例4.【2017浙江卷16】從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人,副隊(duì)長1人,普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,共有______中不同的選法.(用數(shù)字作答) 【答案】660 【解析】由題意可得:總的選擇方法為種方法,其中不滿足題意的選法有種方法,則滿足題意的選法有:種. 例5.【2018年浙江卷】從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字,一共可以組成___________個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答) 【答案】1260 點(diǎn)睛:求解排列、組合問題常用的解題方法: (1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”;(2)元素相間的排列問題——“插空法”;(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”;(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法. 例6.【2017天津,理14】用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有___________個(gè).(用數(shù)字作答) 【答案】 【解析】 【名師點(diǎn)睛】計(jì)數(shù)原理包含分類計(jì)數(shù)原理(加法)和分步計(jì)數(shù)原理(乘法),組成四位數(shù)至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù),包括四位數(shù)字有一個(gè)是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類,利用加法原理計(jì)數(shù). 例7.【2018屆浙江省教育綠色評(píng)價(jià)聯(lián)盟5月考試】有7個(gè)球,其中紅色球2個(gè)(同色不加區(qū)分),白色,黃色,藍(lán)色,紫色,灰色球各1個(gè),將它們排成一行,要求最左邊不排白色,2個(gè)紅色排一起,黃色和紅色不相鄰,則有______種不同的排法(用數(shù)字回答). 【答案】408 【解析】分析:把紅色球看做一個(gè)處理,利用分類計(jì)數(shù)原理結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理,由左至右逐一排放,然后求和即可. 詳解: 1 2 3 4 5 6 排列方法有:,故答案為. 點(diǎn)睛:本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用,屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題,往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題,解答這類問題理解題意很關(guān)鍵,一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”,在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí),既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏,這樣才能提高準(zhǔn)確率. 例8.【2018屆安徽省合肥市三?!咳鐖D,給7條線段的5個(gè)端點(diǎn)涂色,要求同一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色,現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇,則不同的涂色方法種數(shù)有 A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 【答案】C 例9.【2018屆四川省成都市第七中學(xué)三診】已知參加某項(xiàng)活動(dòng)的六名成員排成一排合影留念,且甲乙兩人均在丙領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè),則不同的排法共有( ) A. 240種 B. 360種 C. 480種 D. 600種 【答案】C 【解析】分析:本題屬于有限制條件的排列問題,解題時(shí)可按照領(lǐng)導(dǎo)丙的位置分為6類,求出每一類的排法后再根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求解總的排法. 詳解:用分類討論的方法解決.如圖中的6個(gè)位置, 1 2 3 4 5 6 ①當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置1時(shí),不同的排法有種; ②當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置2時(shí),不同的排法有種; ③當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置3時(shí),不同的排法有種; ④當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置4時(shí),不同的排法有種; ⑤當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置5時(shí),不同的排法有種; ⑥當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置1時(shí),不同的排法有種. 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得不同的排法共有480種. 故選C. 例10.【2018屆甘肅省西北師范大學(xué)附屬中學(xué)沖刺診斷】第十九屆西北醫(yī)療器械展覽將于2018年5月18至20日在蘭州舉行,現(xiàn)將5名志愿者分配到3個(gè)不同的展館參加接待工作,每個(gè)展館至少分配一名志愿者的分配方案種數(shù)為 ( ) A. 540 B. 300 C. 180 D. 150 【答案】D 由分類計(jì)數(shù)原理得,共有種不同的分法,故選D. 點(diǎn)睛:本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用,有關(guān)排列組合的綜合問題,往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題,解答這類問題理解題意很關(guān)鍵,一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”,在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí),既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏,這樣才能提高準(zhǔn)確率.在某些特定問題上,也可充分考慮“正難則反”的思維方式. 【精選精練】 1.【2018屆湖南省長沙市長郡中學(xué)模擬卷(二)】《中國詩詞大會(huì)》亮點(diǎn)頗多,十場比賽每場都有一首特別設(shè)計(jì)的開場詩詞,在聲光舞美的配合下,百人團(tuán)齊聲朗誦,別有韻味.因?yàn)榍八膱霾コ龊蠓错懞芎?,所以?jié)目組決定《將進(jìn)酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場,并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰,且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰,且均不排在最后,則后六場開場詩詞的排法有( ) A. 144種 B. 48種 C. 36種 D. 72種 【答案】C 【解析】分析:采取“捆綁法”、“插空法”,利用分步計(jì)數(shù)乘法原理可得結(jié)果. 詳解:將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進(jìn)行全排列共有種排法,再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在個(gè)空里(最后一個(gè)空不排),有種排法,則后六場的排法有種,故選C. 2.【2018屆貴州省凱里市第一中學(xué)高四?!考?,從集合中各取一個(gè)數(shù),能組成( )個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)? A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B 【解析】分析:分別從集合A,B取一個(gè)數(shù)字,再全排列,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可得到答案. 詳解: 故選:B. 3.【山東省煙臺(tái)市2018年春季高考一?!坑忻麑W(xué)生站成一排照相,其中甲、乙兩人必須站在一起的排法有( ) A. 種 B. 種 C. 種 D. 種 【答案】D ②將這個(gè)整體與其余人全排列,有種情況, 則甲、乙兩人必須站在一起的排法共有種排法,故選D. 點(diǎn)睛:本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用,有關(guān)排列組合的綜合問題,往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題,解答這類問題理解題意很關(guān)鍵,一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”,在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí),既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏,這樣才能提高準(zhǔn)確率.在某些特定問題上,也可充分考慮“正難則反”的思維方式. 4.【2018屆浙江省寧波市5月模擬】若用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色填涂如圖方格,要求有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)格子顏色不同,則不同的涂色方案數(shù)有 A. 種 B. 種 C. 種 D. 種 【答案】C 【解析】分析:直接按照乘法分步原理解答. 詳解: 點(diǎn)睛:(1)本題主要考查排列組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和排列組合的基本運(yùn)算能力.解答排列組合時(shí),要思路清晰,排組分清.(2)解答本題時(shí),要注意審題,“有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)格子顏色不同”,如C和D有公共的頂點(diǎn),所以顏色不能相同. 5.【2018屆福建省泉州市5月檢查】李雷和韓梅梅兩人都計(jì)劃在國慶節(jié)的7天假期中,到“東亞文化之都--泉州”“二日游”,若他們不同一天出現(xiàn)在泉州,則他們出游的不同方案共有 A. 16種 B. 18種 C. 20種 D. 24種 【答案】C 【解析】分析:根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,“東亞文化之都﹣﹣泉州”“二日游”,任意相鄰兩天組合一起,一共有6種情況,如①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦,分兩種情況討論即可. 詳情:任意相鄰兩天組合一起,一共有6種情況,如①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦, 若李雷選①②或⑥⑦,則韓梅梅有4種選擇, 選若李雷選②③或③④或④⑤或⑤⑥,則韓梅梅有3種選擇, 故他們不同一天出現(xiàn)在泉州,則他們出游的不同方案共有2(4+6)=20, 故答案為:C. 6.【騰遠(yuǎn)2018年浙江卷紅卷】北京兩會(huì)期間,有甲、乙、丙、丁、戊位國家部委領(lǐng)導(dǎo)人要去個(gè)分會(huì)場發(fā)言(每個(gè)分會(huì)場至少人),其中甲和乙要求不再同一分會(huì)場,甲和丙必須在同一分會(huì)場,則不同的安排方案共有__________種(用數(shù)字作答). 【答案】30 【解析】分析:由題意甲和丙在同一分會(huì)場,甲和乙不在同一分會(huì)場,所以有“”和“”兩種分 點(diǎn)睛:本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用,有關(guān)排列組合的綜合問題,往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題,解答這類問題理解題意很關(guān)鍵,一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”,在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí),既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏,這樣才能提高準(zhǔn)確率.在某些特定問題上,也可充分考慮“正難則反”的思維方式. 7.【2018屆湖南省益陽市5月18日統(tǒng)考】現(xiàn)有8本雜志,其中有3本是完全相同的文學(xué)雜志,還有5本是互不相同的數(shù)學(xué)雜志,從這8本里選取3本,則不同選法的種數(shù)為__________. 【答案】26 【解析】分析:從選取的數(shù)學(xué)雜志的本數(shù)入手討論即可. 詳解:若選取的三本書沒有數(shù)學(xué)雜志,有1種選法 若選取的三本書有1本數(shù)學(xué)雜志,有種選法 若選取的三本書有2本數(shù)學(xué)雜志,有種選法 若選取的三本書有1本數(shù)學(xué)雜志,有種選法 故不同選法的種數(shù)為26. 8.【2018屆浙江省杭州市第二次檢測】盒子里有完全相同的6個(gè)球,每次至少取出1個(gè)球(取出不放回),取完為止,則共有_______種不同的取法(用數(shù)字作答). 【答案】32 9.2018年6月份上合峰會(huì)在青島召開,面向高校招募志愿者,中國海洋大學(xué)海洋環(huán)境學(xué)院的8名同學(xué)符合招募條件并審核通過,其中大一、大二、大三、大四每個(gè)年級(jí)各2名.若將這8名同學(xué)分成甲乙兩個(gè)小組,每組4名同學(xué),其中大一的兩名同學(xué)必須分到同一組,則分到乙組的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自于同一年級(jí)的分組方式共有__________種. 【答案】24 【解析】分析:首先要明確該題應(yīng)該分類討論,第一類是大一的兩名同學(xué)在乙組,第二類是大一的兩名同學(xué)不在乙組,利用組合知識(shí),求得相應(yīng)的數(shù),之后應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理,求得結(jié)果,問題得以解決. 詳解:根據(jù)題意,第一類:大一的兩名同學(xué)在乙組,乙組剩下的兩個(gè)來自不同的年級(jí),從三個(gè)年級(jí)中選兩個(gè)為種,然后分別從選擇的年級(jí)中再選擇一個(gè)學(xué)生為種,故有種; 第二類:大一的兩名同學(xué)不在乙組,則從剩下的三個(gè)年級(jí)中選擇一個(gè)年級(jí)的兩名同學(xué)在乙組,為種,然后再從剩下的兩個(gè)年級(jí)中分別選擇一人為種,這時(shí)共有種; 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得,共有種不同的分組方式. 10.【2018屆山東省煙臺(tái)市高考適應(yīng)性練習(xí)(一)】上合組織峰會(huì)將于2018年6月在青島召開,組委會(huì)預(yù)備在會(huì)議期間將這五名工作人員分配到兩個(gè)不同的地點(diǎn)參與接待工作.若要求必須在同一組,且每組至少2人,則不同分配方法的種數(shù)為__________. 【答案】8. 【解析】分析:AB捆綁在一起,分兩類,一類是A、B兩人在一組,另三人在一組,一類是A、B再加另一人在一組,另一組只有2人,還要注意有兩個(gè)地點(diǎn)是不同的. 詳解:由題意不同的分配方法為, 故答案為8. 11.【2018屆天津市河?xùn)|區(qū)二?!恳还灿?名同學(xué)參加《我的中國夢》演講比賽,3名女生和2名男生,如果男生不排第一個(gè)演講,同時(shí)兩名男生不能相鄰演講,則排序方式有_______種.(用數(shù)字作答) 【答案】36. 12.【2018屆天津市部分區(qū)質(zhì)量調(diào)查(二)】天津大學(xué)某學(xué)院欲安排4名畢業(yè)生到某外資企業(yè)的三個(gè)部門實(shí)習(xí),要求每個(gè)部門至少安排1人,其中甲大學(xué)生不能安排到部門工作的方法有_______種(用數(shù)字作答). 【答案】24 【解析】分析:根據(jù)題意,設(shè)4名畢業(yè)生為甲、,分2種情況討論:①,甲單獨(dú)一人分配到或部門,②,甲和其他人一起分配到或部門,由加法原理計(jì)算可得答案. 詳解:根據(jù)題意,設(shè)4名畢業(yè)生為甲、,分2種情況討論: ①,甲單獨(dú)一人分配到或部門,則甲有2種情況, 將分成2組,有種分組方法,再將2組全排列,分配到其他2個(gè)部門,有種情況,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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