2019年高考數(shù)學總復(fù)習 專題4.4 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)導(dǎo)學案 理.doc
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第四節(jié) 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì) 最新考綱 1.了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義;能畫出y=Asin(ωx+φ)的圖象,了解參數(shù)A,ω,φ對函數(shù)圖象變化的影響. 2.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型,會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題. 知識梳理 1. y=Asin(ωx+φ)的有關(guān)概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ≥0), 表示一個振動量時 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T= f== ωx+φ φ 2.作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象主要有以下兩種方法: (1)用“五點法”作圖:用“五點法”作y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的簡圖,主要是通過變量代換,設(shè)z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π來求出相應(yīng)的x,通過列表,計算得出五點的縱坐標,描點、連線后得出圖象, 如下表所示. x - ωx+φ 0 π 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 (2)用“圖象變換法”作圖:由函數(shù)y=sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象,有兩種主要途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”. ①先平移后伸縮: y=sin x的圖--------------→ y=sin(x+φ)的圖象 (相位變換) --------------→ y=sin(ωx+φ)的圖象 (周期變換) --------------→ y=Asin(ωx+φ)的圖象. ( 振幅變換) ②先伸縮后平移: y=sin x的圖象-------------→ y=sinωx的圖象 -------------→ y=sin(ωx+φ)的圖象 --------------→ y=Asin(ωx+φ)的圖象. 【方法技巧】 兩種變換的差異 先平移變換后伸縮變換,平移的量是|φ|個單位,而先伸縮變換再平移變換,平移的量是(ω>0)個單位,原因是平移變換與伸縮變換都是對x而言的. 3.必清誤區(qū) (1)把函數(shù)y=Asin ωx的圖象向右平移φ(φ>0)個單位,得到的圖象解析式為y=Asin ω(x-φ),而不是y=Asin(ωx-φ). (2)把函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象上點的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍,得到的圖象解析式為y=Asin,而不是y=Asin(ωkx+kφ). 典型例題 考點一 三角函數(shù)的圖象變換 【例1】 已知函數(shù)f(x)=3sin,x∈R. (1)畫出函數(shù)f(x)在一個周期的閉區(qū)間上的簡圖; (2)將函數(shù)y=sin x的圖像作怎樣的變換可得到f(x)的圖像? 【解析】(1)列表取值: x π π π π x- 0 π π 2π f(x) 0 3 0 -3 0 描出五個關(guān)鍵點并用光滑曲線連接,得到一個周期的簡圖. (2)先把y=sin x的圖像向右平移個單位,然后把所有點的橫坐標擴大為原來的2倍,再把所有點的縱坐標擴大為原來的3倍,得到f(x)的圖像. 【例2】 已知a=(2cosx,cos2x),b=(sinx,-),f(x)=ab. (1) 求f(x)的振幅、周期,并畫出它在一個周期內(nèi)的圖象; (2) 說明它可以由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到. 【解析】(1) f(x)=ab=sin2x-cos2x=2sin,周期T=π,振幅A=2.列表從略,圖象如下: (2) f(x)可以由y=sinx的圖象上各點右移個單位后,再將縱坐標伸長到原來的2倍,橫坐標縮短到原來的而得到. 規(guī)律方法 (1)變換法作圖像的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移,對于后者可利用ωx+φ=ω確定平移單位. (2)用“五點法”作圖,關(guān)鍵是通過變量代換,設(shè)z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π來求出相應(yīng)的x,通過列表,描點得出圖像.如果在限定的區(qū)間內(nèi)作圖像,還應(yīng)注意端點的確定. (3)“五點法”作圖的列表技巧:表中“五點”相鄰兩點的橫向距離均為. 【變式訓練1】(1)將函數(shù)y=2sin的圖像向右平移個周期后,所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 【答案】D. 【解析】函數(shù)y=2sin的周期為π,將函數(shù)y=2sin的圖像向右平移周期即個單位長度,所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為y=2sin=2sin,故選D. (2)將函數(shù)y=cos的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位,所得函數(shù)圖象的一條對稱軸是( ) A.x= B.x= C.x=π D.x= 【答案】 D 【解析】 y=cosy=cosy=cos[-],即y=cos. (3)要得到函數(shù)f(x)=cos的圖像,只需將函數(shù)g(x)=sin的圖像( ) A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度 【答案】C. 【解析】f(x)=cos=sin,故把g(x)=sin的圖像向左平移個單位,即得函數(shù)f(x)=sin的圖像,即得到函數(shù)f(x)=cos的圖像,故選C. 考點二 求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式 【例3 】 (1)(2016全國卷Ⅱ)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖像如圖所示,則( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 【答案】 A. (2)已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的最大值為4,最小值為0,最小正周期為,直線x=是其圖像的一條對稱軸,則下面各式中符合條件的解析式為( ) A.y=4sin B.y=2sin+2 C.y=2sin+2 D.y=2sin+2 【答案】D. 【解析】由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的最大值為4,最小值為0,可知b=2,A=2.由函數(shù)的最小正周期為,可知=,得ω=4.由直線x=是其圖像的一條對稱軸,可知4+φ=kπ+,k∈Z,從而φ=kπ-,k∈Z,故滿足題意的是y=2sin+2. 規(guī)律方法 確定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步驟和方法 (1)求A,b:確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則A=,b=; (2)求ω:確定函數(shù)的周期T,則可得ω=; (3)求φ:常用的方法有: ①代入法:把圖像上的一個已知點代入(此時A,ω,b已知)或代入圖像與直線y=b的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上). ②五點法:確定φ值時,往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口.“第一點”(即圖像上升時與x軸的交點)時ωx+φ=0;“第二點”(即圖像的“峰點”)時ωx+φ=;“第三點”(即圖像下降時與x軸的交點)時ωx+φ=π;“第四點”(即圖像的“谷點”)時ωx+φ=;“第五點”時ωx+φ=2π. 【變式訓練2】(1)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( ) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 【答案】 D 【解析】 由圖象可知+φ=+2mπ,+φ=+2mπ,m∈Z,所以ω=π,φ=+2mπ,m∈Z,所以函數(shù)f(x)=cos=cos的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,即2k-- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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