新教材2021-2022學年人教A版必修第一冊 1.5.2　全稱量詞命題和存在量詞命題的否定 學案.docx

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1、1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定 核心知識目標 核心素養(yǎng)目標 1. 能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定. 2. 能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定. 3. 會判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的否定的真假. 1. 通過全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的學習，發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng). 2. 通過全稱量詞命題與存任量詞命題的否定的應用，提升邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng). ?知識探究二素養(yǎng)啟迪?情境導入 一位探險家被抓住，其首領(lǐng)說：“如果你說真話，你將被燒死，說假話,將被五馬分尸請問探險家該如何保命？提示:探險家應該說“我將被五馬分尸”. 如果土人首領(lǐng)

2、將探險家五馬分尸，那就說明探險家說的就是真話，而說真話應該被燒死;如果土人首領(lǐng)將探險家燒死，那就說明探險家說的就是假話，而說假話應該被五馬分尸.所以，土人首領(lǐng)怎么處置探險家都不行，只能讓他活著. ?知識探究 1. 全稱量詞命題的否定［問題1］下列各命題是全稱量詞命題嗎?你能寫出它們的否定嗎？ (1) 所有矩形都是平行四邊形；每一個素數(shù)都是奇數(shù)； 4.命題“X/x>-3,妒>9”的否定是，是命題（填“真”或“假”）. 解析：由于該命題是一個全稱量詞命題，因此其否定是存在量詞命題，因為原命題中"Vx>-3時,營>9”是假命題，故其否定為真命題. 答案:3x>-3,x2^9真 (2)

3、VxeR,x-2x+1^0. 提示:它們都是全稱量詞命題.命題(1)的否定是“存在一個矩形不是平行四邊形”；命題(2)的否定是“存在一個素數(shù)不是奇數(shù)”；命題(3)的否定為FxSR,x2-2x+l〈0". 梳理1全稱量詞命題的否定 全稱量 詞命題 全稱量詞命題的否定 結(jié)論 VxE M, P(x) kCM,f(x) 全稱量詞命題的否定是存在量詞 命題 2. 存在量詞命題的否定 ［問題2］下列各命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題?你能寫出它們的否定嗎？ (1) 有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；某些平行四邊形是菱形； (2) 3xeR,x2+l<0. 提示:它們是存在量詞命題

4、.其中(1)的否定為:所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)，(2)的否定是“每一個平行四邊形都不是菱形”，(3)的否定是“VxURX+imO"?梳理2存在量詞命題的否定 存在量 詞命題 存在量詞命題的否定 結(jié)論 ?小試身手 3xEM, p(x) —?p(x) 存在量詞命題的否定是全稱量詞命題 1. (2020?遼寧葫蘆島高一期中)命題“VxW0,x2T，T”的否定是(C) (A)Vx^O,x2-l<-l(B)Vx<0,x2-l<-l(C)3x^0,x2-l<-l(D)3x<0,x2-l<-l 解析:所給命題為全稱量詞命題，故其否定為存在量詞命題，同時要否定結(jié)論，所以所給命題的否定

5、為3x^0,x2-l<-l.故選C. 2. (2020?山東濰坊高一期中)命題“3x>0,x+i^3"的否定是(C)X (A)3x>0,x+i^3(B)3x>0,x+-<3XX (C)Vx>0,x+-<3(D)Vx>0,x+yXX 解析:原命題為存在量詞命題，因此其否定為全稱量詞命題，選C. 3. 若命題p是真命題,則命題一>p是命題,若命題一>p是真命題，則命題P是命題. 解析：由于原命題和其否定的真假性相反，因此所填兩空均為假命題.答案:假假麻心一探一究—?素靠培一育一 點探究點一全稱量詞命題的否定與真假判斷［例1］寫出下列全稱量詞命題的否定，并判斷所得命題的真假. (l)

6、 p:Vx^R,x'NT;q:VxE(1,2,3,4,5),-p是假命題. (2) -q:3xG(l,2,3,4,5},-^x.將集合中的元素逐個驗證，當x=l時X 不等式成立，因此「q是真命題. (3) 「S：存在一個分數(shù)不是有理數(shù).由于所有分數(shù)都是有理數(shù)，因此原命題正確，故「S是假命題. (4) ―>t:存在一個實數(shù)mo,點(mo,m)不在一次函數(shù)y=x圖象上，由于在y=x圖象上點的橫、縱坐標相等. 故是假命題.

7、即時訓練1-1:寫出下列全稱量詞命題的否定,并判斷真假. (1) 所有矩形的對角線相等；不論m取什么實數(shù),x2+x-m=0必有實數(shù)根； (2) 等圓的面積相等，周長相等. 解：(1)該命題的否定:有的矩形對角線不相等?假命題. (2) 該命題的否定:存在實數(shù)m,使得x2+x-m=0沒有實數(shù)根.當△=1+4成0,即niC；時，方程沒有實數(shù)根,故為真命題. 4該命題的否定:存在一對等圓,其面積不相等或周長不相等.假命題. 孑方法總結(jié)對全稱量詞命題否定的兩個步驟 ① 改變量詞:把全稱量詞換為恰當?shù)拇嬖诹吭~；否定結(jié)論:原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等. (1) 全稱量

8、詞命題否定后的真假判斷方法若全稱量詞命題為真命題,其否定就是假命題;若全稱量詞命題為而命題，其否定就是真命題. 寸易錯警示 對于全稱量詞命題中省略量詞的要在其否定中添加相應的量詞.一三Q探究點二存在量詞命題的否定與真假判斷 ［例2］寫出下列命題的否定，并判斷所得命題的真假. (1) p:3aER,一次函數(shù)y=x+a的圖象經(jīng)過原點；q:至少有一個直角三角形不是等腰三角形； (2) s:有些三角形是銳角三角形；t:存在一個最大的內(nèi)角小于60°的三角形. 解：⑴「p:Va《R,一次函數(shù)y=x+a的圖象不經(jīng)過原點.因為當宓0時,一次函數(shù)y二x+a的圖象經(jīng)過原點，所以「p是假命題. (2)

9、 「q:所有直角三角形都是等腰三角形.因為有一個內(nèi)角為30°的直角三角形不是等腰三角形，所以「q是假命題. (3) 「s:所有三角形都不是銳角三角形(或任意三角形都不是銳角三角形)，假命題. (4) 「t:所有三角形的最大內(nèi)角都大于或等于60°,真命題. 即時訓練2T:判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定. (1) 某些梯形的對角線互相平分；3xe(x|x是無理數(shù)｝,x2是無理數(shù)； (2) 存在keR,函數(shù)y=kx+b隨x值的增大而減小. 解：(1)假命題.任意一個梯形的對角線都不互相平分. (2)真命題.Vxe(x|x是無理數(shù)｝,妒不是無理數(shù). ⑶真命題.任意k《R,函數(shù)

10、y=kx+b不隨x值的增大而減小. 孑方法總結(jié)對存在量詞命題否定的兩個步驟 ① 改變量詞:把存在量詞換為恰當?shù)娜Q量詞；否定結(jié)論:原命題中的“有”“存在”等更改為“沒有”“不存在”等. (1) 存在量詞命題否定后的真假判斷要說明一個存在量詞命題是真命題，只需要找到一個實例即可. 存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，其真假性與存在量詞命題相反 點探究點三根據(jù)命題的否定求參數(shù)的取值范圍［例3］已知命題p:Vx^R,ax2+2x+17^0,q:3x^R,ax^+ax+lWO. (1) 若「P為真命題,求實數(shù)a的取值范圍；若「q為真命題,求實數(shù)a的取值范圍. 解:(1)因為命題p:VxGR

11、,ax'+2x+lN0,所以一＞p:mx6R,ax2+2x+l=0. 因為「P為真命題，所以a=0,或{&% 解得a=0,或aWl且a尹0,所以aWl,即實數(shù)a的取值范圍為{a|aWl}?(2)因為命題q:3xER,ax'ax+lW0. 所以—'q:Vx^R,ax2+ax+l>0. 因為「q為真命題,所以a=0,解得a=0,或0

12、aWl}. 即時訓練3T:若命題："mxo《R,使得4m品+4mx（）-330成立”是假命題,則實數(shù)m的取值范圍是. 解析：問題等價于“VxGR,4inx2+4mx-3<0成立”是真命題. 當m=0時，原不等式化為"-3<0”,VxER顯然成立;當m^O時，只需 當m^O時，只需 m<0, .4=16m2+48mV 綜上，得-3

13、量詞命題為真命題求解. ⑥備用例題 ［例1］若命題Fx°￡R,對+xo+m〈O”是假命題,則實數(shù)m的范圍是. 解析:命題Fxo《R,品+xo+m〈O”是假命題，即命題的否定為真命題，其否定為：“VxUR,x'+x+m3O"，則△=l-4mW0,解得田3上?4 答案： 4［例2］寫出下列命題的否定，并判斷真假： (1) p:3x>l,使x2-2x~3=0;p:有些素數(shù)是奇數(shù)； (2) Va,bGR,方程ax=b都有唯一解;可以被5整除的整數(shù),末位是0. 解：(1)-.p:Vx>l,x2-2x-3^0.假命題，如x=3時，x2-2x-3=0. (2) 「p:任意素數(shù)不是奇數(shù).假命

14、題,如素數(shù)3為奇數(shù). (3) 是全稱命題,其否定：3a,beR,使方程ax=b的解不唯一或不存在. 真命題，如a=0,b=0時,x^R；a=O,b乂0,解不存在. (4) 是全稱命題，其否定:存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.真命題，如15. ［例3］已知集合M={x|aWxWa+l},且“VxWM,x+l>0”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍. 解:VxeM,x+l>0恒成立，則只需{x|a+lWx+1Wa+2}中的a+l>0即可，即a>T.所以實數(shù)a的取值范圍為{a|a>T}. ?課堂達標 1. (2020?湖南長沙雅禮中學高一期中)命題Fx°UR,品+xo+l<0”的否定為(C)

15、mx()ER,品+xo+lNO (A) 3x0^R,品+xo+lWOVx￡R,x2+x+lNO (B) Vx?R,x2+x+1^0解析：由題意得原命題的否定為VxeR,x'+x+lNO.故選C. 2. (2020-遼寧遼陽高一期中)命題“VxEZ,x￡R”的否定是(D)(A)VxeZ,x住R(B)3xeZ,xeR (C)Vx任Z,x《R(D)3xeZ,x^R解析：因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以，命題:Vxez,x ￡R的否定是命題：3xez,x任R.故選D. 3. 命題Fx《R,|x|+x二0”的否定是,是命題(填“真”或“假”). 答案:VxeR,|x|+x^O假