新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 5.7　三角函數(shù)的應(yīng)用 學(xué)案.docx

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1、5.7三角函數(shù)的應(yīng)用途知識(shí)探究-素養(yǎng)啟迪 核心知識(shí)目標(biāo) 核心素養(yǎng)目標(biāo) 1. 會(huì)用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題. 2. 體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型. 通過實(shí)際問題，構(gòu)建三角函數(shù)數(shù)學(xué)模型， 重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù) 學(xué)建模的核心素養(yǎng). ?知識(shí)探究 三角函數(shù)的應(yīng)用 梳理三角函數(shù)的應(yīng)用 (1) 函數(shù)y=Asin(3x+。),A>0,?>0中參數(shù)的物理意義 (2) 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 ① 三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化的規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著重要作用. ② 實(shí)際問題的背景往往比較

2、復(fù)雜,而且需要綜合應(yīng)用多門學(xué)科的知識(shí)才能完成，因此在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，不僅要注意從復(fù)雜的實(shí)際背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，而且還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)來解決問題. 即時(shí)訓(xùn)練3-1:某海濱區(qū)域的某個(gè)觀測點(diǎn)觀測到該處水深y（米）是隨 著一天的時(shí)間t（0WtW24,單位小時(shí)）呈周期性變化，某天各時(shí)刻t的 水深數(shù)據(jù)的近似值如表： t/時(shí) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖，從①y二Asin（cot+Q,②y二Acos（3t+

3、伊）+b,③y=-Asin?t+b（A>0,3〉0,-jt<0〈O）中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型,并求出該擬合模型的函數(shù)解析式. 解:根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示： 依題意，選②y=Acos(31+伊)+b作為函數(shù)模型， rrk|a2.4一0.6八八12.4+0.6<- 所以A==0.9,b==1.5,22 因?yàn)門二竺二12,0) 所以3二6 所以y=0.9cosGt+e)+1.5. 6 又因?yàn)楹瘮?shù)y=0.9cos(?t+0)+1.5的圖象過點(diǎn)(3,2.4),6 所以2.4=0.9Xcos(-X3+^)+l.5,6 所以cos(；+Q=1, 所以sin 又

4、因?yàn)??！?<0,所以0=-p 所以y=0.9cos(:t-；)+1.5=0.9sin-t+l.5. 6寸方法總結(jié) 在處理曲線擬合和預(yù)測的問題時(shí),通常需以下幾個(gè)步驟根據(jù)原始數(shù)據(jù)，繪出散點(diǎn)圖. (1) 通過散點(diǎn)圖，作出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線. (2) 根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí),求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式. (3) 利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問題進(jìn)行預(yù)測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù). ?備用例題 ［例1］圖為大型觀覽車主架示意圖.點(diǎn)0為輪軸中心，距地面高為32m(即OM=32m).巨輪半徑為30m,點(diǎn)P為吊艙與輪的連接點(diǎn)，吊艙高2M即PM=2m),巨輪

5、轉(zhuǎn)動(dòng)一周需15min.某游客從點(diǎn)M進(jìn)入吊艙后，巨輪開始按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)3周后停止,記轉(zhuǎn)動(dòng)過程中該游客所乘吊艙的底部為點(diǎn)W. 試建立點(diǎn)帕距地面的高度h(m)關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系, 并寫出定義域；求轉(zhuǎn)動(dòng)過程中點(diǎn)M'超過地面45m的總時(shí)長. 解：(1)如圖所示，以0為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系xOy, 設(shè)以O(shè)x為始邊，按逆時(shí)針方向經(jīng)過時(shí)間t(min)轉(zhuǎn)動(dòng)至終邊0Pz所形成的角為靠驀，則點(diǎn)P'的縱坐標(biāo)為30sin(籍t-；), JL。乙所以此點(diǎn)距地面的高度為h=30sin(—t--)+32-2 =30(l-cos^t),te[0,45].⑵當(dāng)點(diǎn)M'超過地面45m時(shí),

6、h=30(l-cos|^t)>45,即cos—1<--, 152所以竺+2kn<—1<—+2kn,kGZ, 3153即5+15k

7、動(dòng)物體的初相是 JL\JO(D) (A)三x-?陰 1033(C)三g 103解析:運(yùn)動(dòng)物體的相位是-X-?,初相是-?.故選D. JLUK_ZK-Z如圖所示，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置0的位移s(cm) 與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s=6sin(2Jit+?),則單擺來回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為s. 解析：因?yàn)閱螖[運(yùn)動(dòng)的周期為T二尹二1,故單擺來回?cái)[動(dòng)一次所需時(shí)間271 為1S. 答案:1如圖表示相對(duì)于平均海平面的某海灣的水面高度h(ni)在某天0? 24時(shí)的變化情況，則水面高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式為? 解析:根據(jù)題圖設(shè)h二Asin(st+。),則A=6,T二

8、12,竺二12,所以。二匕點(diǎn)(6,0)為“五點(diǎn)”作圖法中的第一點(diǎn),所以蘭X6+o二0,6 所以0二一Ji,所以h=6sin(-t-n)=-6sin^t,te[0,24]. 答案:h=-6sin-t,[0,24]6 sin(n 解析：由題意可知點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的角速度是牙二n(弧度/秒),那么點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后ZPOx=ITt+號(hào),又三角函數(shù)的定義可知，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是sin(IT因此該質(zhì)點(diǎn)到X軸的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式是y二故選A. 3.在兩個(gè)彈簧上各有一個(gè)質(zhì)量分別為Mi和M2的小球做上下自由振動(dòng). 已知它們?cè)跁r(shí)間t(s)離開平衡位置的位移sjcm)和s2(cm)分別由Si=5sin(2t

9、+￡),s2=10cos2t確定，則當(dāng)t二籍s時(shí),Si與S2的大小關(guān)系 63是(C)(A)si>s2(B)si

10、k=5,6 故這段時(shí)間水深的最大值為3+5=8(m).故選C. 顯課堂探究-素養(yǎng)培育 三Q探究點(diǎn)一三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用 ［例1］已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)，其中0 WtW24,記y二f(t),下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 經(jīng)長期觀測,y二f(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)y二Acos?t+b的圖象 (1) 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期、振幅及函數(shù)解析式； ⑵根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時(shí)才對(duì)沖

11、浪愛好者開放，請(qǐng)依據(jù)⑴的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8:00到20:00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)？ 解：(1)由表中數(shù)據(jù)可知,T=12, 所以3二6 又t=0時(shí)，y=l.5, 所以A+b=1.5; t=3時(shí)，y=l.0,得b=l.0, 所以振幅為!， 函數(shù)解析式為y=|cos^t+l(OWtW24). (2) 因?yàn)閥>l時(shí)，才對(duì)沖浪愛好者開放， 所以y=；cos?t+l〉l,26 cos-t>0,2kn--<-t<2kJi+-,6262 即12k-3

12、個(gè)小時(shí)沖浪愛好者可以進(jìn)行活動(dòng)，即 即時(shí)訓(xùn)練1_1:海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮. 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐?在通常情況下,船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠 近碼頭;卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深的關(guān)系表: 時(shí)刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 時(shí)刻 15:00 18:00 21:00 24:00 水深/米 7.5 5.0 2.5 5.0 ⑴若用函數(shù)f(t)=Asin(ot+)+h(A>0,co>0,9I〈；）來近似描述這 個(gè)

13、港口的水深和時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定函數(shù)表 達(dá)式; ⑵一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米,安全條例規(guī)定 要有2.25米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口? 解：（1）水深和時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，周期T=12. 所以％ —a7.5一2.5517.5+2.5(- 可知—虧h=—一二5. 所以f(t)二:sin(?t+Q+5. 26 當(dāng)t二3時(shí)f(3)=7.5. 即sin(3X-+^)=l. 6 因?yàn)镮9I<7,所以。二0. 所以函數(shù)表達(dá)式為f(t)=Esin蘭t+5.(0〈tW24)26 (2)船底與水面的距離為4米,船底與洋底的

14、距離為2.25米, 所以yN6.25,BP-sin-t+5^6.25. 26 可得62 所以蘭+2knC-tW竺+2kn,keZ. 666 解得lWtW5或13WtW17. 故得該船lWtW5或13WtW17,能進(jìn)入港口滿足安全要求. 寸方法總結(jié) 解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟 申清題意 建立函數(shù)模型 解答函數(shù)模型 讀憧題目中的“文字”“圖象”“符號(hào)”等語言,理解所反映的實(shí)際問題的背景，提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問建 整理數(shù)據(jù)，引入變量,找出變化規(guī)律，運(yùn)用巳掌握的三角函數(shù)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，即建立三角函數(shù)模型 利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)解答得到的三角函數(shù)模型，

15、求得結(jié)果得出結(jié)論 得出結(jié)論 將所得結(jié)論翻譯成實(shí)際問題的答案 拿易錯(cuò)警示 (1) 實(shí)際問題中要注意函數(shù)的定義域. (2) 建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的，這就需要根據(jù)實(shí)際背景對(duì)問題的解進(jìn)行具體分析. 三。探究點(diǎn)二三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用［例2］已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系為I二Asin(3t+9). 在一個(gè)周期內(nèi)的圖 (1) 如圖所示的是I二Asin(3t+e)(3>0,象根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I=Asin(3t+0)的解析式;⑵如果t在任意-段看秒的時(shí)間內(nèi)，電流I=Asin(3t+Q都能取得最大值和最小值，那么①的最小正整數(shù)值是多少？解：⑴

16、由題圖知A=300,設(shè)tl=-—,t2=—, 900180則周期T=2（t2-tj=2（土+上）二土 18090075所以3二?二150兀.又當(dāng)t二僉時(shí)，I=0,即sin(150Ji?— 180所以0二?? 6故所求的解析式為I=300sin(150n (2) 依題意，周期TW志,即滂制3＞。),所以3N300兀＞942,又3仁N*,故所求最小正整數(shù)①=943. 即時(shí)訓(xùn)練2-1:交流電的電壓E(單位:V)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系可用 E=220V3sin(100兀t+-)來表示，求： 6 (1) 開始時(shí)的電壓； (2) 電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔； (3) 電壓的最大

17、值和第一次獲得最大值的時(shí)間. 解：⑴當(dāng)t=0時(shí),E=110V3, 即開始時(shí)的電壓為110必V. (2) T二嘉二土(s),即時(shí)間間隔為0.02s. 1001150 (3) 電壓的最大值為220V3V, 由100ITt+-=-,解得t=—. 62300 故當(dāng)t二&S時(shí)，電壓第一次取得最大值. OUU寸方法總結(jié) 在物理學(xué)中,物體做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)可用正弦型函數(shù)y=Asin(3x+Q表示物體振動(dòng)的位移y隨時(shí)間x的變化規(guī)律,A為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離,T二竺為周期，表示物體往復(fù)振動(dòng)一次所需的時(shí)間,f*為頻率，表示物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù). 三Q探究點(diǎn)三數(shù)據(jù)擬合模型

18、 ［例3］下表是某地某年月平均氣溫(華氏): 月份 1 2 3 4 5 6 平均 氣溫 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6  月份 7 8 9 10 11 12 平均 氣溫 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份為X軸(X二月份-1),以平均氣溫為y軸. (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出月份和溫度構(gòu)成的散點(diǎn)圖; (2)估計(jì)這個(gè)正弦曲線的周期T和振幅A; (3) 下面三個(gè)函數(shù)模型中，哪一個(gè)最適合這些數(shù)據(jù)? 解：(1)如圖. nx 6 7TX 6 日1r8070605040302010O ?% ?2 ? O It ? 8 ⑵最低氣溫為1月份21.4,最高氣溫為7月份73.0,故:二7-1二6,所以 T=12. 因?yàn)?A的值等于最高氣溫與最低氣溫的差， 即2A二73.0-21.4=51.6, 所以A二25.8. (3) 因?yàn)閤二月份-1, 所以不妨取x=2-l=l,y=26.0.代入①,得三二籍當(dāng)〉筋cos故①不適A25.86 合;代入②,得A^W：：6〈0Ucos三,故②不適合;代入③，得A25.86 絲二近性〉0且近竺&1,故③適合.所以應(yīng)選③. -A-25.8-25.8