2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc

1.3.3　函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解函數(shù)的最值的概念．(難點(diǎn))2.了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點(diǎn))3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最值．(重點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．函數(shù)的最大(小)值的存在性 一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值． 思考：函數(shù)的極值與最值的區(qū)別是什么？ [提示]函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值． 函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值． 當(dāng)連續(xù)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大值(或極小值)，則可以判定f(x)在該點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，這里(a，b)也可以是無窮區(qū)間． 2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟 (1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值．(　　) (2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值．(　　) (3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值一定在兩個(gè)端點(diǎn)處取得．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3) 2．函數(shù)f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　) A．無最值　　　　 B．有極值 C．有最大值 D．有最小值 A　[f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值，也無最值．] 3．函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[2,4]上的最小值為(　　) A．0 B． C． D． C　[f′(x)＝＝，當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，f′(x)＜0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上是單調(diào)遞減函數(shù)，故當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)有最小值.] 4．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值為1，則m＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：31062058】 [解析]　f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]． 令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2， 當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，f′(x)＜0， 當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)＞0， ∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有極小值，也是最小值． ∴f(0)＝m＝1. [答案]　1 [合 作 探 究攻 重 難] 求函數(shù)的最值 角度1　不含參數(shù)的函數(shù)最值 　求下列各函數(shù)的最值． (1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈. [解]　(1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)， 令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化狀態(tài)如下表： x －2 (－2，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2 f′(x) / ＋ 0 － 0 ＋ / f(x) －1 11 －1 11 從表中可以看出，當(dāng)x＝－2時(shí)或x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值－1. 當(dāng)x＝－1或x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值11. (2)f′(x)＝2cos 2x－1，令f′(x)＝0，得cos 2x＝， 又∵x∈，∴2x∈[－π，π]． ∴2x＝.∴x＝. ∴函數(shù)f(x)在上的兩個(gè)極值分別為 f＝－，f＝－＋. 又f＝－，f＝. 比較以上函數(shù)值可得f(x)max＝，f(x)min＝－. 角度2　含參數(shù)的函數(shù)最值 　a為常數(shù)，求函數(shù)f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號：31062059】 [解]　f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)． 若a≤0，則f′(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝0時(shí)，有最大值f(0)＝0.若a＞0，則令f′(x)＝0，解得x＝. ∵x∈[0,1]，則只考慮x＝的情況． (1)若0＜＜1，即0＜a＜1， 則當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示) x 0 (0，) (，1) 1 f′(x) ＋ 0 － f(x) 0 2a 3a－1 (2)若≥1，即a≥1時(shí)，則當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f′(x)≥0，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有最大值f(1)＝3a－1. 綜上可知，當(dāng)a≤0，x＝0時(shí)，f(x)有最大值0； 當(dāng)0＜a＜1，x＝時(shí)，f(x)有最大值2a； 當(dāng)a≥1，x＝1時(shí)，f(x)有最大值3a－1. [規(guī)律方法]　1.求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，需注意以下幾點(diǎn) (1)對函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)，并檢驗(yàn)f′(x)＝0的根是否在給定區(qū)間內(nèi). (2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值. (3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，確定最值. 2.由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，所以解決含參數(shù)的函數(shù)最值問題常常需要分類討論，并結(jié)合不等式的知識進(jìn)行求解. [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值． [解]　f′(x)＝3x2－2ax. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. ①當(dāng)≤0，即a≤0時(shí)， f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增， 從而f(x)max＝f(2)＝8－4a. ②當(dāng)≥2，即a≥3時(shí)， f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減， 從而f(x)max＝f(0)＝0. ③當(dāng)0＜＜2，即0＜a＜3時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增， 從而f(x)max＝ 綜上所述，f(x)max＝ 已知函數(shù)的最值求參數(shù) 　已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值. 【導(dǎo)學(xué)號：31062060】 [解]　由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常函數(shù)，與題設(shè)矛盾． 求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)當(dāng)a>0，且x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b b －16a＋b 由表可知，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極大值b，也就是函數(shù)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)， ∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2. (2)當(dāng)a<0時(shí)，同理可得，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極小值b，也就是函數(shù)在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29， f(2)＝－16a－29>f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2. 綜上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. [規(guī)律方法]　已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應(yīng)用. [跟蹤訓(xùn)練] 2．若函數(shù)f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為，則a的值為________． [解析]　f′(x)＝＝，當(dāng)x>時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)－<x<時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x＝時(shí)，f(x)＝＝，＝<1，不合題意．∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1. [答案]　－1 與最值有關(guān)的綜合問題 [探究問題] 1．對于函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立，則c滿足的條件是什么？ 提示：c≤f(x)min或c≥f(x)max. 2．對于函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，則c滿足的條件是什么？ 提示：c≤f(x)max或c≥f(x)min. 　設(shè)函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)． (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)<－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：31062061】 [思路探究]　(1)利用配方法，即可求出二次函數(shù)f(x)的最小值h(t)； (2)構(gòu)造函數(shù)g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范圍． [解]　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)， ∴當(dāng)x＝－t時(shí)，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1， 即h(t)＝－t3＋t－1. (2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m， 由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合題意，舍去)． 當(dāng)t變化時(shí)，g′(t)，g(t)的變化情況如下表： t (0,1) 1 (1,2) g′(t) ＋ 0 － g(t) 極大值1－m ∴g(t)在(0,2)內(nèi)有最大值g(1)＝1－m. h(t)<－2t＋m在(0,2)內(nèi)恒成立等價(jià)于g(t)<0在(0,2)內(nèi)恒成立，即等價(jià)于1－m<0.∴m的取值范圍為(1，＋∞)． 母題探究：1.(變條件)若將本例(2)的條件改為“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍如何求解？ [解]　令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m， 由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合題意，舍去)． 當(dāng)t變化時(shí)，g′(t)，g(t)的變化情況如下表： t 0 (0,1) 1 (1,2) 2 g′(t) ＋ 0 － g(t) －1－m 極大值 1－m －3－m ∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m， 存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立， 等價(jià)于g(t)的最小值g(2)<0. ∴－3－m<0，∴m>－3， 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－3，＋∞)． 2．(變條件)若將本例(2)的條件改為“對任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　∵h(yuǎn)(t)＝－t3＋t－1，t∈(0,2) ∴h′(t)＝－3t2＋1 由h′(t)＝0得t＝或t＝－(舍) 又當(dāng)0＜t＜時(shí)，h′(t)＞0， 當(dāng)＜t＜2時(shí)，h′(t)＜0. ∴當(dāng)t＝時(shí)，h(t)max＝－＋－1＝. 令φ(t)＝－2t＋m，t∈(0,2)， ∴φ(t)min＞m－4. 由題意可知 ≤m－4， 即m≥＋3＝. ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為. [規(guī)律方法]　分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．下列結(jié)論正確的是(　　) A．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有極小值，則極小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極小值一定是x＝a和x＝b時(shí)取得 D．若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 D　[函數(shù)f(x)在[a，b]上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．] 2．函數(shù)y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　) A．π－1　　　　　　　　 B．－1 C．π D．π＋1 C　[因?yàn)閥′＝1－cos x，當(dāng)x∈時(shí)，y′>0，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以y的最大值為ymax＝π－sin π＝π，故選C.] 3．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：31062062】 A．有最大值，但無最小值 B．有最大值，也有最小值 C．無最大值，但有最小值 D．既無最大值，也無最小值 D　[f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無最大值和最小值，故選D.] 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－－2x＋5，若對任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． [解析]　f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1，－. f(－1)＝5，f＝5，f(1)＝3，f(2)＝7， ∴m＜3. 【答案】　 5．已知函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號：31062063】 [解]　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 f(x) －40＋a 極大值a －8＋a 所以當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3. 所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取到最大值3.