《2018年秋高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 3.3.1 函數(shù)的單調性與導數(shù)學案 新人教A版選修1 -1.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2018年秋高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 3.3.1 函數(shù)的單調性與導數(shù)學案 新人教A版選修1 -1.doc(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
3.3.1 函數(shù)的單調性與導數(shù)
學習目標:1.理解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系.(重點)2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間和其他函數(shù)的單調區(qū)間.(重點)3.能根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù).(難點)
[自 主 預 習探 新 知]
1.函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負的關系
定義在區(qū)間(a,b)內的函數(shù)y=f(x)
f′(x)的正負
f(x)的單調性
f′(x)>0
單調遞增
f′(x)<0
單調遞減
思考:若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內單調遞增,則f′(x)>0這個說法正確嗎?
[提示] 不正確,應該是f′(x)≥0.
2.函數(shù)圖象的變化趨勢與導數(shù)值大小的關系
一般地,設函數(shù)y=f(x),在區(qū)間(a,b)上
導數(shù)的絕對值
函數(shù)值變化
函數(shù)的圖象
越大
快
比較“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比較“平緩”(向上或向下)
[基礎自測]
1.思考辨析
(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0,則函數(shù)f(x)在定義域上單調遞增.
( )
(2)函數(shù)在某一點的導數(shù)越大,函數(shù)在該點處的切線越“陡峭”. ( )
(3)函數(shù)值在某個區(qū)間上變化越快,函數(shù)在這個區(qū)間上導數(shù)的絕對值越大.
( )
(4)在區(qū)間(a,b)內,f′(x)>0是f(x)在此區(qū)間上單調遞增的充要條件.
( )
[答案] (1) (2) (3)√ (4)
2.函數(shù)y=x3+x的單調遞增區(qū)間為( )
A.(0,+∞) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,+∞)
D [y′=3x2+1>0,故選D.]
3.若在區(qū)間(a,b)內,f′(x)>0,且f(a)≥0,則在(a,b)內有( )
【導學號:97792146】
A.f(x)>0 B.f(x)<0
C.f(x)=0 D.不能確定
A [由f′(x)>0知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內是增函數(shù),且f(a)≥0,故f(x)>0.]
[合 作 探 究攻 重 難]
函數(shù)的單調性與單調區(qū)間
(1)函數(shù)f(x)=3x2-2ln x的單調遞減區(qū)間為__________.
(2)設函數(shù)f(x)=x--aln x(a∈R),討論f(x)的單調性.
[思路探究] (1)求f′(x)?解不等式f′(x)<0
(2)求f′(x)?根據(jù)a的取值判斷f′(x)的正負號.
[解析] (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).
f′(x)=6x-=
令f′(x)<0,即<0,解得-
0,故00,g(x)=0的兩根都小于0.在(0,+∞)上,f′(x)>0.故f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
③當a>2時,Δ>0,g(x)=0的兩根為
x1=,x2=.
當00;當x1x2時,f′(x)>0.
故f(x)分別在,上單調遞增,在上單調遞減.
[規(guī)律方法]
求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間的步驟:
(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域;
(2)求導數(shù)y′=f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0,函數(shù)在定義域內的解集上為增函數(shù);
(4)解不等式f′(x)<0,函數(shù)在定義域內的解集上為減函數(shù).
[跟蹤訓練]
1.(1)函數(shù)y=x3-x2-x的單調遞增區(qū)間為( )
A.和(1,+∞)
B.
C.∪(1,+∞)
D.
A [y′=3x2-2x-1,令y′>0,得x<-或x>1,所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和(1,+∞),故選A. ]
(2)討論函數(shù)f(x)=x2+aln x(a∈R,a≠0)的單調性.
[解] 函數(shù)定義域為(0,+∞),f′(x)=x+.
①當a>0時,f′(x)=x+>0恒成立,這時函數(shù)只有單調遞增區(qū)間為(0,+∞);
②當a<0時,由f′(x)=x+>0,得x>;由f′(x)=x+<0,得0<x<,所以當a<0時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是(0,).
綜上,當a>0時,單調遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調遞減區(qū)間;當a<0時,單調遞增區(qū)間為(,+∞),單調遞減區(qū)間為(0,).
導數(shù)與函數(shù)圖象的關系
(1)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),若y=f′(x)的圖象如圖331所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是( )
圖331
(2)已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖332所示,則函數(shù)y=f′(x)的圖象可能是圖中的 ( )
【導學號:97792147】
圖332
[解析] (1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界點判斷原函數(shù)在此分界點兩側的圖象的上升和下降趨勢.由已知可得x的取值范圍和f′(x)的正、負,f(x)的增減變化情況如下表所示:
x
(-∞,0)
(0,2)
(2,+∞)
f′(x)
+
-
+
f(x)
↗
↘
↗
由表可知f(x)在(-∞,0)內遞增,在(0,2)內遞減,在(2,+∞)內遞增,滿足條件的只有D,故選D.
(2)由函數(shù)y=f(x)的圖象的增減變化趨勢判斷函數(shù)y=f′(x)的正、負情況如下表:
x
(-1,b)
(b,a)
(a,1)
f(x)
↘
↗
↘
f′(x)
-
+
-
由表可知函數(shù)y=f′(x)的圖象,當x∈(-1,b)時,函數(shù)圖象在x軸下方;當x∈(b,a)時,函數(shù)圖象在x軸上方;當x∈(a,1)時,函數(shù)圖象在x軸下方.故選C.
[答案] (1)D (2)C
[規(guī)律方法] (1)研究函數(shù)與導數(shù)圖象間對應關系的注意點
研究一個函數(shù)的圖象與其導函數(shù)圖象之間的關系時,注意抓住各自的關鍵要素,對于原函數(shù),要注意其圖象在哪個區(qū)間內單調遞增,在哪個區(qū)間內單調遞減;而對于導函數(shù),則應注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內大于零,在哪個區(qū)間內小于零,并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調區(qū)間是否一致.
(2)導數(shù)與函數(shù)圖象的關系
函數(shù)值增加得越來越快
函數(shù)值增加得越來越慢
f′(x)>0且越來越大
f′(x)>0且越來越小
函數(shù)值減少得越來越快
函數(shù)值減少得越來越慢
f′(x)<0且越來越小絕對值越來越大
f′(x)<0且越來越大絕對值越來越小
提醒:函數(shù)圖象變化得越快,f′(x)的絕對值越大,不是f′(x)的值越大.
[跟蹤訓練]
2.(1)設函數(shù)f(x)在定義域內可導,y=f(x)的圖象如圖333所示,則導函數(shù)y=f′(x)可能為( )
圖333
D [由函數(shù)的圖象知:當x<0時,函數(shù)單調遞增,導數(shù)應始終為正;當x>0時,函數(shù)先增后減再增,導數(shù)應先正后負再正,對照選項,只有D正確.]
(2)函數(shù)y=f(x)在定義域內可導,其圖象如圖334,記y=f(x)的導函數(shù)為y=f′(x),則不等式f′(x)<0的解集為__________.
圖334
∪(2,3) [根據(jù)導數(shù)和圖象單調性的關系知當x∈∪(2,3)時f′(x)<0.]
已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍
[探究問題]
1.在區(qū)間(a,b)內,若f′(x)>0,則f(x)在此區(qū)間上單調遞增,反之也成立嗎?
提示:不一定成立.比如y=x3在R上為增函數(shù),但其在x=0處的導數(shù)等于零.也就是說f′(x)>0是y=f(x)在某個區(qū)間上遞增的充分條件.
2.一般地,在區(qū)間(a,b)內函數(shù)的單調性與導數(shù)有什么關系?
提示:
函數(shù)的單調性
導數(shù)
單調遞增
f′(x)≥0且f′(x)不恒為0
單調遞減
f′(x)≤0且f′(x)不恒為0
常函數(shù)
f′(x)=0
已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1,
(1)若f(x)在區(qū)間(1,+∞)內為增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)若f(x)的單調遞減區(qū)間為(-1,1),求a的值.
[思路探究] (1)轉化為f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,求a的范圍;
(2)由f′(x)<0,求單調減區(qū)間,對比已知,求a的值.
[解] (1)因為f′(x)=3x2-a,且f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),
所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,即a≤3.
(2)f′(x)=3x2-a.
①當a≤0時,f′(x)≥0,無減區(qū)間,不滿足條件.
②當a>0時,令3x2-a=0,得x=;
當-<x<時,f′(x)<0.
因此f(x)在上為減函數(shù).
所以=1,即a=3.
[規(guī)律方法] 1.利用導數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路
(1)將問題轉化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分離參數(shù)或函數(shù)性質求解參數(shù)范圍,然后檢驗參數(shù)取“=”時是否滿足題意.
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出參數(shù)的取值范圍后,再驗證參數(shù)取“=”時f(x)是否滿足題意.
2.恒成立問題的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
[跟蹤訓練]
3.(1)若函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增,則k的取值范圍是__________.
【導學號:97792148】
[1,+∞) [由于f′(x)=k-,f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增?f′(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立.
由于k≥,而0<<1,所以k≥1.
即k的取值范圍為[1,+∞).]
(2)已知函數(shù)f(x)=x2+2aln x.
①試討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間
②若函數(shù)g(x)=+f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
[解]?、賔′(x)=2x+=,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).
Ⅰ.當a≥0時,f′(x)>0,
f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞);
Ⅱ.當a<0時,
f′(x)=,
當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(0,)
,+∞
f′(x)
-
0
+
f(x)
遞減
遞增
由上表可知,函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,);
單調遞增區(qū)間是(,+∞).
②由g(x)=+x2+2aln x,
得g′(x)=-+2x+,
由已知函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調減函數(shù),
則g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立,
即a≤-x2在[1,2]上恒成立,
令h(x)=-x2,
則h′(x)=--2x=-<0,
x∈[1,2],
所以h(x)在[1,2]上為減函數(shù),
h(x)min=h(2)=-,
所以a≤-.
故實數(shù)a的取值范圍為.
[當 堂 達 標固 雙 基]
1.下列函數(shù)中,在(0,+∞)內為增函數(shù)的是( )
A.y=sin x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=-x+ln x
B [對于y=xex,y′=ex+xex=ex(1+x)>0,
∴y=xex在(0,+∞)內為增函數(shù).]
2.在R上可導的函數(shù)f(x)的圖象如圖335所示,則關于x的不等式xf′(x)<0的解集為( )
圖335
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-2,-1)∪(1,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
A [當x>0時,f′(x)<0,此時00,此時x<-1,
因此xf′(x)<0的解集為(-∞,-1)∪(0,1).]
3.函數(shù)f(x)=(x-1)ex的單調遞增區(qū)間是________.
(0,+∞) [f′(x)=(x-1)′ex+(x-1)(ex)′=xex,
令f′(x)>0,解得x>0,故f(x)的增區(qū)間為(0,+∞).]
4.若函數(shù)f(x)=x3+x2+mx+1是R上的單調增函數(shù),則m的取值范圍是________.
[∵f′(x)=3x2+2x+m,由題意知f(x)在R上單調遞增,
∴Δ=4-12m≤0,∴m≥.]
5.設f(x)=,其中a為正實數(shù).若f(x)為R上的單調函數(shù),求a的取值范圍.
【導學號:97792149】
[解] 對f(x)求導得f′(x)=ex,
若f(x)為R上的單調函數(shù),
則f′(x)在R上不變號,結合a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,
因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,
由此并結合a>0,知0<a≤1.
即a的取值范圍為(0,1].
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