2019高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題六 算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、概率與統(tǒng)計 第三講 概率教案 文.docx
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第三講 概率 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析及學(xué)科素養(yǎng) 2018 Ⅱ卷 古典概型T5 命題分析 高考對古典概型與幾何概型考查一般為選擇題,多考查互斥事件、對立事件與幾何概型的計算. 學(xué)科素養(yǎng) 主要是通過古典概率的求法考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象,數(shù)學(xué)建模及數(shù)據(jù)分析的學(xué)科素養(yǎng). Ⅲ卷 互斥事件的概率T5 2017 Ⅰ卷 幾何概型T4 Ⅱ卷 古典概型T11 2016 Ⅰ卷 古典概型求概率T3 Ⅱ卷 幾何概型求概率T8 頻數(shù)、頻率、平均值等T18 Ⅲ卷 古典概型求概率T5 幾何概型 授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第63頁 [悟通——方法結(jié)論] 幾何概型的兩個基本特征 (1)基本事件的無限性、等可能性. (2)其事件的概率為P(A) =,一般要用數(shù)形結(jié)合法求解. [全練——快速解答] 1.(2017高考全國卷Ⅰ)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖. 正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( ) A. B. C. D. 解析:不妨設(shè)正方形的邊長為2,則正方形的面積為4,正方形的內(nèi)切圓的半徑為1,面積為π.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱,所以黑色部分的面積為,故此點(diǎn)取自黑色部分的概率為=,故選B. 答案:B 2.(2018高考全國卷Ⅰ)如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則( ) A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 解析:∵S△ABC=ABAC,以AB為直徑的半圓的面積為π2=AB2, 以AC為直徑的半圓的面積為π2=AC2, 以BC為直徑的半圓的面積為π2=BC2, ∴SⅠ=ABAC,SⅢ=BC2-ABAC, SⅡ=- =ABAC. ∴SⅠ=SⅡ.由幾何概型概率公式得p1=,p2=. ∴p1=p2. 故選A. 答案:A 3.(2018福州四校聯(lián)考)如圖,在圓心角為90?的扇形AOB中,以圓心O為起點(diǎn)在A上任取一點(diǎn)C作射線OC,則使得∠AOC和∠BOC都不小于30?的概率是( ) A. B. C. D. 解析:記事件T是“作射線OC,使得∠AOC和∠BOC都不小于30?”,如圖,記A的三等分點(diǎn)為M,N,連接OM,ON,則∠AON=∠BOM=∠MON=30?,則符合條件的射線OC應(yīng)落在扇形MON中,所以P(T)===,故選A. 答案:A 【類題通法】 幾何概型的判斷關(guān)鍵是注意事件發(fā)生的種數(shù)具有無限性、等可能性,否則不為幾何概型,同時要注意分清是面積型、長度型,還是角度型. 古典概型 授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第64頁 [悟通——方法結(jié)論] 古典概型的兩個基本特征 (1)基本事件的有限性、等可能性. (2)其事件的概率為P(A)= =. [全練——快速解答] 1.(2017高考全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為( ) A. B. C. D. 解析:依題意,記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a,b,則一共有25個不同的數(shù)組(a,b),其中滿足a>b的數(shù)組共有10個,分別為(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率為=,選D. 答案:D 2.近期“共享單車”在全國多個城市持續(xù)升溫,某移動互聯(lián)網(wǎng)機(jī)構(gòu)對使用者進(jìn)行了調(diào)查,得到了使用者對常見的八個品牌的“共享單車”的滿意度指數(shù),并繪制出莖葉圖(如圖所示). (1)求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù); (2)某用戶從滿意度指數(shù)超過82的品牌中隨機(jī)選擇兩個品牌使用,求所選兩個品牌的滿意度指數(shù)均超過88的概率. 解析:(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)==83.875. 將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,易知這組數(shù)據(jù)最中間的兩個數(shù)為83,85,則其平均數(shù)為=84,故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為84. (2)滿意度指數(shù)超過82的品牌有五個,其滿意度指數(shù)分 別為83,85,89,91,94,依次記為a,b,c,d,e,從中任選兩個的選法為{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e},共10種; 滿意度指數(shù)超過88的有三個,分別為c,d,e,從中任選兩個的選法為{c,d},{c,e},{d,e},共3種. 故所選兩個品牌的滿意度指數(shù)均超過88的概率P==0.3. 【類題通法】 對于較復(fù)雜的古典概型問題,若直接求解比較困難,可利用逆向思維,先求其對立事件的概率,進(jìn)而可得所求事件的概率. 概率與統(tǒng)計的綜合問題 授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第64頁 [悟通——方法結(jié)論] (2017高考全國卷Ⅲ)(12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 ? 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率. 的概率. (2)設(shè)六月份一天銷售這種(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率. [學(xué)審題] 條件信息 想到方法 注意什么 信息?中頻率分布表 表中最高氣溫與天數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 1.讀表中數(shù)據(jù)要準(zhǔn)確. 2.注意條件中未售出的酸奶要當(dāng)天全部降價處理 信息?中估計概率 利用頻率與概率關(guān)系進(jìn)行估計 信息?中酸奶的利潤 想到進(jìn)貨成本與售價 [規(guī)范解答] (1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25, (2分) 由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25的頻率為=0.6, (4分) 所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. (5分) (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25,則Y=6450-4450=900; 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25), 則Y=6300+2(450-300)-4450=300; (7分) 若最高氣溫低于20, 則Y=6200+2(450-200)-4450=-100. 所以Y的所有可能值為900,300,-100. (10分) Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20的頻率為=0.8, 因此Y大于零的概率的估計值為0.8. (12分) 【類題通法】 解決概率與統(tǒng)計綜合問題的一般步驟 [練通——即學(xué)即用] (2018廣州五校聯(lián)考)某市為慶祝北京奪得2022年冬奧會舉辦權(quán),圍繞“全民健身促健康、同心共筑中國夢”主題開展全民健身活動.組織方從參加活動的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾,按他們的年齡分組:第1組[20,30),第2組[30,40),第3組[40,50),第4組[50,60),第5組[60,70],得到的頻率分布直方圖如圖所示. (1)若電視臺記者要從抽取的群眾中選一人進(jìn)行采訪,估計被采訪人恰好在第1組或第4組的概率; (2)已知第1組群眾中男性有3名,組織方要從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊,求至少有1名女性群眾的概率. 解析:(1)設(shè)第1組[20,30)的頻率為f1,則由題意可知, f1=1-(0.035+0.030+0.020+0.010)10=0.05. 被采訪人恰好在第1組或第4組的頻率為0.05+0.02010=0.25. ∴估計被采訪人恰好在第1組或第4組的概率為0.25. (2)第1組[20,30)的人數(shù)為0.05120=6. ∴第1組中共有6名群眾,其中女性群眾共3名. 記第1組中的3名男性群眾分別為A,B,C,3名女性群眾分別為x,y,z, 從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊包含(A,B),(A,C),(A,x),(A,y),(A,z),(B,C),(B,x),(B,y),(B,z),(C,x),(C,y),(C,z),(x,y),(x,z),(y,z),共15個基本事件. 至少有一名女性群眾包含(A,x),(A,y),(A,z),(B,x),(B,y),(B,z),(C,x),(C,y),(C,z),(x,y),(x,z),(y,z),共12個基本事件. ∴從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊,至少有1名女性群眾的概率P==. 授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第139頁 一、選擇題 1.(2018高考全國卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析:由題意可知不用現(xiàn)金支付的概率為1-0.45-0.15=0.4. 故選B. 答案:B 2.(2018云南模擬)在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)生成n個點(diǎn),其中在正方形ABCD內(nèi)切圓內(nèi)的點(diǎn)共有m個,利用隨機(jī)模擬的方法,估計圓周率π的近似值為( ) A. B. C. D. 解析:依題意,設(shè)正方形的邊長為2a, 則該正方形的內(nèi)切圓半徑為a,于是有≈, 即π≈,即可估計圓周率π的近似值為. 答案:C 3.(2018滄州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=,在區(qū)間(-1,4)上任取一點(diǎn),則使f′(x)>0的概率是( ) A. B. C. D. 解析:f′(x)=,由f′(x)>0可得f′(x)=>0,解得0<x<2,根據(jù)幾何概型的概率計算公式可得所求概率P==. 答案:B 4.在區(qū)間[0,1]上隨意選擇兩個實(shí)數(shù)x,y,則使≤1成立的概率為( ) A. B. C. D. 解析:如圖所示,試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成正方形區(qū)域,使得≤1成立的平面區(qū)域?yàn)橐宰鴺?biāo)原點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓的與x軸正半軸,y軸正半軸圍成的區(qū)域,由幾何概型的概率計算公式得,所求概率P==. 答案:B 5.已知向量a=(x,y),b=(1,-2),從6張大小相同分別標(biāo)有號碼1,2,3,4,5,6的卡片中,有放回地抽取兩張,x,y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號碼,則滿足ab>0的概率是( ) A. B. C. D. 解析:設(shè)(x,y)表示一個基本事件,則兩次抽取卡片的所有基本事件有66=36個,ab>0,即x-2y>0,滿足x-2y>0的基本事件有(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(5,2),(6,2),共6個,所以所求概率P==. 答案:D 6.(2018湖南五校聯(lián)考)在矩形ABCD中,AB=2AD,在CD上任取一點(diǎn)P,△ABP的最大邊是AB的概率是( ) A. B. C.-1 D.-1 解析:分別以A,B為圓心,AB的長為半徑畫弧,交CD于P1,P2,則當(dāng)P在線段P1P2間運(yùn)動時,能使得△ABP的最大邊是AB,易得=-1,即△ABP的最大邊是AB的概率是-1. 答案:D 7.(2018天津六校聯(lián)考)連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m,n,則向量a=(m,n)與向量b=(-1,1)的夾角θ>90?的概率是( ) A. B. C. D. 解析:連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)(m,n)的所有基本事件為(1,1),(1,2),…,(6,6),共36個. ∵(m,n)(-1,1)=-m+n<0, ∴m>n.符合要求的事件為(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共15個,∴所求概率P==. 答案:A 8.由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1,不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2,在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為( ) A. B. C. D. 解析:由題意作圖,如圖所示,Ω1的面積為22=2,圖中陰影部分的面積為2-1=,則所求的概率P==. 答案:D 二、填空題 9.(2018長沙模擬)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________. 解析:由題意,在正方體中與點(diǎn)O距離等于1的是個半球面,V正=23=8,V半球=π13=π, ==,∴所求概率P=1-. 答案:1- 10.如圖,在等腰直角△ABC中,過直角頂點(diǎn)C作射線CM交AB于M,則使得AM小于AC的概率為________. 解析:當(dāng)AM=AC時,△ACM為以A為頂點(diǎn)的等腰三角形,∠ACM==67.5?. 當(dāng)∠ACM<67.5?時,AM<AC, 所以AM小于AC的概率 P===. 答案: 11.某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎,抽獎方法是:從裝有2個紅球A1,A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1,a2和2個白球b1,b2的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個球,若摸出的2個球都是紅球則中獎,否則不中獎,則中獎的概率是________. 解析:由題意,所有可能的結(jié)果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2},共12種,其中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4種,所以中獎的概率為P==. 答案: 12.一只受傷的候鳥在如圖所示(直角梯形ABCD)的草原上飛,其中AD=3,CD=2,BC=5,它可能隨機(jī)落在該草原上任何一處(點(diǎn)),若落在扇形沼澤區(qū)域(圖中的陰影部分)CDE以外候鳥能生還,則該候鳥生還的概率為________. 解析:直角梯形ABCD的面積S1=(3+5)2=8,扇形CDE的面積S2=π22=π,根據(jù)幾何概型的概率公式,得候鳥生還的概率P===1-. 答案:1- 三、解答題 13.(2018寶雞模擬)為了解我市的交通狀況,現(xiàn)對其6條道路進(jìn)行評估,得分分別為5,6,7,8,9,10.規(guī)定評估的平均得分與全市的總體交通狀況等級如下表: 評估的平均得分 (0,6) [6,8) [8,10] 全市的總體交通狀況等級 不合格 合格 優(yōu)秀 (1)求本次評估的平均得分,并參照上表估計我市的總體交通狀況等級; (2)用簡單隨機(jī)抽樣的方法從這6條道路中抽取2條,它們的得分組成一個樣本,求該樣本的平均數(shù)與總體的平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率. 解析:(1)6條道路的平均得分為(5+6+7+8+9+10)=7.5,∴該市的總體交通狀況等級為合格. (2)設(shè)A表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”. 從6條道路中抽取2條的得分組成的所有基本事件為(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15個基本事件. 事件A包括(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共7個基本事件. ∴P(A)=. 故該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率為. 14.(2018西安八校聯(lián)考)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65),[65,75),[75,85]內(nèi)的頻率之比為4∶2∶1. (1)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率; (2)用分層抽樣的方法在區(qū)間[45,75)內(nèi)抽取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任意抽取2件產(chǎn)品,求這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)的概率. 解析:(1)設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為x,則質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65),[65,75)內(nèi)的頻率分別為4x,2x. 依題意得(0.004+0.012+0.019+0.030)10+4x+2x+x=1,解得x=0.05. 所以質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為0.05. (2)由(1)得,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[45,55),[55,65),[65,75)內(nèi)的頻率分別為0.3,0.2,0.1. 用分層抽樣的方法在區(qū)間[45,75)內(nèi)抽取一個容量為6的樣本,則在區(qū)間[45,55)內(nèi)應(yīng)抽取6=3件,記為A1,A2,A3; 在區(qū)間[55,65)內(nèi)應(yīng)抽取6=2件,記為B1,B2;在區(qū)間[65,75)內(nèi)應(yīng)抽取6=1件,記為C. 設(shè)“從樣本中任意抽取2件產(chǎn)品,這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)”為事件M,則所有的基本事件有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C),(B1,B2),(B1,C),(B2,C),共15種, 事件M包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10種,所以這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)的概率P==. 15.(2018長沙模擬)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研,力爭有效地改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術(shù)支援.現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計,獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米. (1)列出22列聯(lián)表,并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)? (2)為了改良玉米品種,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株,再從這5株玉米中選取2株進(jìn)行雜交試驗(yàn),則選取的植株均為矮莖的概率是多少? 附: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K2=,其中n=a+b+c+d. 解析:(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得22列聯(lián)表如下: 抗倒伏 易倒伏 總計 矮莖 15 4 19 高莖 10 16 26 總計 25 20 45 由于K2的觀測值k=≈7.287>6.635,因此可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為抗倒?fàn)钆c玉米矮莖有關(guān). (2)由題意得,抽到的高莖玉米有2株,設(shè)為A,B,抽到的矮莖玉米有3株,設(shè)為a,b,c,從這5株玉米中取出2株的取法有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc,共10種,其中均為矮莖的選取方法有ab,ac,bc,共3種,因此選取的植株均為矮莖的概率是. 算法、概率與統(tǒng)計中的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng) 授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第66頁 提分策略一 探究命題新情景考查應(yīng)用能力 此類問題多以現(xiàn)實(shí)中的生活實(shí)例或最新時事為背景考查概率、統(tǒng)計的求解及應(yīng)用. (2018合肥模擬)一家大型購物商場委托某機(jī)構(gòu)調(diào)查該商場的顧客使用移動支付的情況.調(diào)查人員從年齡(單位:歲)在[20,60]內(nèi)的顧客中,隨機(jī)抽取了180人,調(diào)查結(jié)果如下表: 年齡 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 使用人數(shù) 45 30 15 15 未使用人數(shù) 0 10 20 45 (1)為推廣移動支付,商場準(zhǔn)備對使用移動支付的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該商場預(yù)計有12 000人(年齡在[20,60]內(nèi))購物,試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計該商場當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋. (2)某機(jī)構(gòu)從被調(diào)查的使用移動支付的顧客中,按分層抽樣的方式選出7人進(jìn)行跟蹤調(diào)查,并給其中2人贈送額外禮品,求獲得額外禮品的2人的年齡都在[20,30)內(nèi)的概率. 解析:(1)由表可知,該日該商場使用移動支付的顧客人數(shù)與顧客總?cè)藬?shù)之比為7∶12, 若某日該商場有12 000人(年齡在[20,60]內(nèi))購物,則估計該商場要準(zhǔn)備環(huán)保購物袋的個數(shù)為12 000=7 000. (2)由題知,抽樣比為1∶15,所以應(yīng)從年齡在[20,30)內(nèi)的顧客中選出3人,[30,40)內(nèi)的顧客中選出2人,[40,50)內(nèi)的顧客中選出1人,[50,60]內(nèi)的顧客中選出1人. 記從年齡在[20,30)內(nèi)的顧客中選出的3人分別為A,B,C,其他4人分別為a,b,c,d,從7個人中選出2人贈送額外禮品,有以下情況: AB,AC,Aa,Ab,Ac,Ad, BC,Ba,Bb,Bc,Bd, Ca,Cb,Cc,Cd, ab,ac,ad, bc,bd, cd, 共21種, 其中獲得額外禮品的2人的年齡都在[20,30)內(nèi)的情況有3種, 所以獲得額外禮品的2人的年齡都在[20,30)內(nèi)的概率為=. [對點(diǎn)訓(xùn)練] 30名學(xué)生參加某大學(xué)的自主招生面試,面試分?jǐn)?shù)與學(xué)生序號之間的統(tǒng)計圖如下: (1)下表是根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)得到的頻率分布表,求出a,b的值,并估計這些學(xué)生面試分?jǐn)?shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表). 面試分?jǐn)?shù) [0,100) [100,200) [200,300) [300,400] 人數(shù) a 10 4 1 頻率 b (2)該大學(xué)的某部門從1~5號學(xué)生中隨機(jī)選擇兩人進(jìn)行訪談,求選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的概率. 解析:(1)面試分?jǐn)?shù)在[0,100)內(nèi)的學(xué)生共有30-10-4-1=15名, 故a=15,b==, 估計這些學(xué)生面試分?jǐn)?shù)的平均值為50+150+250+350=120分. (2)從1~5號學(xué)生中任選兩人的選擇方法有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種, 觀察題圖易知1號,4號,5號學(xué)生的面試分?jǐn)?shù)在100分以下, 故選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的選擇方法有(1,4),(1,5),(4,5),共3種, 故選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的概率為. 提分策略二 引入數(shù)學(xué)文化考學(xué)科素養(yǎng) 數(shù)學(xué)文化與算法、概率的融合命題是高考的熱點(diǎn),多為選擇、填空題. (2018鄭州模擬)我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題:“今有垣厚十尺,兩鼠對穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.問何日相逢?”現(xiàn)用程序框圖描述,如圖所示,則輸出結(jié)果n=( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:n=1,S=2;n=2,S=2++2=;n=3,S=++4=;n=4,S=++8>10,結(jié)束循環(huán).則輸出的n為4,故選B. 答案:B 點(diǎn)評 從中國古代文學(xué)作品中選取素材考查數(shù)學(xué)問題,豐富了數(shù)學(xué)文化題的取材途徑.插圖的創(chuàng)新是本題的一個亮點(diǎn),其一,增強(qiáng)了數(shù)學(xué)問題的生活化,使數(shù)學(xué)的應(yīng)用更貼近考生的生活實(shí)際;其二,有利于考生分析問題和解決問題,這對穩(wěn)定考生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果. [對點(diǎn)訓(xùn)練] 歐陽修的《賣油翁》中寫到:“(翁)乃取一葫蘆,置于地,以錢覆其口,徐以杓酌油瀝之,自錢孔入,而錢不濕.”可見“行行出狀元”,賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直 徑為3 cm的圓,中間有邊長為1 cm的正方形孔,若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計),則正好落入孔中的概率是________. 解析:依題意,所求概率為P==. 答案: 授課提示:對應(yīng)學(xué)生用書第141頁 一、選擇題 1.(2018福州模擬)如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代著名的《孫子算經(jīng)》.圖中的Mod(N,m)≡n表示正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n,例如Mod(10,3)≡1.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的i等于( ) A.23 B.38 C.44 D.58 解析:Mod(11,3)≡2成立,Mod(11,5)≡3不成立,i=12;Mod(12,3)≡2不成立,i=13;Mod(13,3)≡2不成立,i=14;Mod(14,3)≡2成立,Mod(14,5)≡3不成立,i=15;Mod(15,3)≡2不成立,i=16;Mod(16,3)≡2不成立,i=17;Mod(17,3)≡2成立,Mod(17,5)≡3不成立,i=18;Mod(18,3)≡2不成立,i=19;Mod(19,3)≡2不成立,i=20;Mod(20,3)≡2成立,Mod(20,5)≡3不成立,i=21;Mod(21,3)≡2不成立,i=22;Mod(22,3)≡2不成立,i=23;Mod(23,3)≡2成立,Mod(23,5)≡3成立,Mod(23,7)≡2成立,結(jié)束循環(huán).故輸出的i=23.故選A. 答案:A 2.(2018益陽、湘潭聯(lián)考)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法,如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)式值的一個實(shí)例.若輸入n,x的值分別為3,3,則輸出v的值為( ) A.15 B.16 C.47 D.48 解析:執(zhí)行程序框圖,n=3,x=3,v=1,i=2≥0,v=13+2=5,i=1≥0,v=53+1=16,i=0≥0,v=163+0=48,i=-1<0,退出循環(huán),輸出v的值. 答案:D 3.宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序框圖,若輸入的a,b分別為5,2,則輸出的n=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:程序運(yùn)行如下:n=1,a=5+=,b=4,a>b,繼續(xù)循環(huán); n=2,a=+=,b=8,a>b,繼續(xù)循環(huán); n=3,a=+=,b=16,a>b,繼續(xù)循環(huán); n=4,a=+=,b=32,此時,a<b. 輸出n=4,故選C. 答案:C 4.(2018福州模擬)在檢測一批相同規(guī)格質(zhì)量共500 kg的航空用耐熱墊片的品質(zhì)時,隨機(jī)抽取了280片,檢測到有5片非優(yōu)質(zhì)品,則這批航空用耐熱墊片中非優(yōu)質(zhì)品的質(zhì)量約為( ) A.2.8 kg B.8.9 kg C.10 kg D.28 kg 解析:由題意,可知抽到非優(yōu)質(zhì)品的概率為,所以這批航空用耐熱墊片中非優(yōu)質(zhì)品的質(zhì)量約為500=≈8.9 kg. 答案:B 二、填空題 5.甲、乙兩組各有三名同學(xué),他們在一次測驗(yàn)中的成績的莖葉圖如圖所示.如果分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué),則這兩名同學(xué)的成績相同的概率是________. 解析:由題意知甲組三名同學(xué)的成績?yōu)?8,92,93,乙組三名同學(xué)的成績?yōu)?0,91,92,則兩組中各任取一名共有9種結(jié)果,成績相同時只有一種結(jié)果,所以概率為. 答案: 6.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,也是古代東方數(shù)學(xué)的代表作.書中有如下問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步,問其內(nèi)接正方形邊長為多少步?”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)投豆子,則落在其內(nèi)接正方形內(nèi)的概率是________. 解析:如圖,設(shè)Rt△ABC的兩直角邊長分別為a,b,其內(nèi)接正方形CEDF的邊長為x, 則由△ADF∽△ABC,得=, 即=,解得x=. 從而正方形CEDF的面積為S正方形CEDF=2, 又Rt△ABC的面積為S△ABC=,所以所求概率為P====. 答案: 三、解答題 7.(2018福州模擬)隨著“互聯(lián)網(wǎng)+交通”模式的迅猛發(fā)展,“共享自行車”在很多城市相繼出現(xiàn).某“共享自行車”運(yùn)營公司為了了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務(wù)的滿意度,隨機(jī)調(diào)查了40名用戶,得到用戶的滿意度評分如下: 用戶編號評分 用戶編號評分 用戶編號評分 用戶編號評分 1 78 2 73 3 81 4 92 5 95 6 85 7 79 8 84 9 63 10 86 11 88 12 86 13 95 14 76 15 97 16 78 17 88 18 82 19 76 20 89 21 79 22 83 23 72 24 74 25 91 26 66 27 80 28 83 29 74 30 82 31 93 32 78 33 75 34 81 35 84 36 77 37 81 38 76 39 85 40 89 用系統(tǒng)抽樣法從40名用戶中抽取容量為10的樣本,且在第一分段里隨機(jī)抽到的評分?jǐn)?shù)據(jù)為92. (1)請你列出抽到的10個樣本的評分?jǐn)?shù)據(jù); (2)計算所抽到的10個樣本的均值和方差s2; (3)在(2)的條件下,若用戶的滿意度評分在(-s,+s)之間,則滿意度等級為“A級”.試應(yīng)用樣本估計總體的思想,估計該地區(qū)滿意度等級為“A級”的用戶所占的百分比是多少?(精確到0.1%) 參考數(shù)據(jù):≈5.48,≈5.74,≈5.92. 解析:(1)由題意得,通過系統(tǒng)抽樣分別抽取編號為4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的評分?jǐn)?shù)據(jù)為樣本,則樣本的評分?jǐn)?shù)據(jù)分別為92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. (2)由(1)中樣本的評分?jǐn)?shù)據(jù)可得 =(92+84+86+78+89+74+83+78+77+89)=83, 則有s2=[(92-83)2+(84-83)2+(86-83)2+(78-83)2+(89-83)2+(74-83)2+(83-83)2+(78-83)2+(77-83)2+(89-83)2]=33. (3)由題意知用戶的滿意度評分在(83-,83+),即(77.26,88.74)之間,滿意度等級為“A級”, 由(1)中容量為10的樣本評分在(77.26,88.74)之間的有5人,則該地區(qū)滿意度等級為“A級”的用戶所占的百分比約為100%=50.0%. 另解:由題意知用戶的滿意度評分在(83-,83+),即(77.26,88.74)之間,滿意度等級為“A級”,調(diào)查的40名用戶的評分?jǐn)?shù)據(jù)在(77.26,88.74)之間的共有21人,則該地區(qū)滿意度等級為“A級”的用戶所占的百分比約為100%=52.5%. 8.(2018湘中名校聯(lián)考)某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè),在一個開學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤50元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示,該同學(xué)為這個開學(xué)季購進(jìn)了160盒該產(chǎn)品,以x(單位:盒,100≤x≤200)表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,y(單位:元)表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤. (1)根據(jù)頻率分布直方圖估計這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量x的眾數(shù)和平均數(shù); (2)將y表示為x的函數(shù); (3)根據(jù)頻率分布直方圖估計利潤y不少于4 800元的概率. 解析:(1)由頻率分布直方圖得:最大需求量為150盒的頻率為0.01520=0.3. 這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量x的眾數(shù)估計值是150. 需求量為[100,120)的頻率為0.00520=0.1, 需求量為[120,140)的頻率為0.0120=0.2, 需求量為[140,160)的頻率為0.01520 =0.3, 需求量為[160,180)的頻率為0.012 520 =0. 25, 需求量為[180,200]的頻率為0.007 520=0.15. 則平均數(shù)= 1100.1+1300.2+1500.3+1700.25+1900.15=153. (2)因?yàn)槊渴鄢?盒該產(chǎn)品獲利潤50元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元, 所以當(dāng)100≤x≤160時,y=50x-30(160-x)=80x-4 800, 當(dāng)160<x≤200時,y=16050=8 000, 所以y=(x∈N). (3)因?yàn)槔麧櫜簧儆? 800元,所以80x-4 800≥4 800,解得x≥120. 所以由(1)知利潤不少于4 800元的概率P=1-0.1=0.9. 9.(2018洛陽模擬)霧霾天氣對人體健康有傷害,應(yīng)對霧霾污染、改善空氣質(zhì)量的首要任務(wù)是控制PM2.5,要從壓減燃煤、嚴(yán)格控車、調(diào)整產(chǎn)業(yè)、強(qiáng)化管理、聯(lián)防聯(lián)控、依法治理等方面采取重大舉措,聚焦重點(diǎn)領(lǐng)域,嚴(yán)格指標(biāo)考核.某省環(huán)保部門為加強(qiáng)環(huán)境執(zhí)法監(jiān)管,認(rèn)真進(jìn)行責(zé)任追究,派遣四個不同的專家組對A,B,C三座城市進(jìn)行治霾落實(shí)情況檢查. (1)若每個專家組隨機(jī)選取一個城市進(jìn)行檢查,四個專家組選取的城市可以相同,也可以不同,且每一個城市必須有專家組選取,求A城市恰有兩個專家組選取的概率; (2)在檢查的過程中專家組從A城市的居民中隨機(jī)抽取出400人進(jìn)行是否戶外作業(yè)人員與是否患有呼吸道疾病進(jìn)行了統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果如下: 分類 患呼吸道疾病 未患呼吸道疾病 合計 戶外作業(yè)人員 40 60 100 非戶外作業(yè)人員 60 240 300 合計 100 300 400 根據(jù)上面的統(tǒng)計結(jié)果,我們是否有超過99%的把握認(rèn)為“戶外作業(yè)”與“患呼吸道疾病”有關(guān)? 附:K2= P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析:(1)若每個專家組隨機(jī)選取一個城市進(jìn)行檢查,四個專家組選取的城市可以相同,也可以不同,且每一個城市必須有專家組選取,共有36種不同方法,若設(shè)四個專家組分別為1,2,3,4,則各種選取方法如下表所示: A B C A B C A B C 1,2 3 4 3 1,2 4 3 4 1,2 1,2 4 3 4 1,2 3 4 3 1,2 1,3 2 4 2 1,3 4 2 4 1,3 1,3 4 2 4 1,3 2 4 2 1,3 …… 3,4 1 2 1 3,4 2 1 2 3,4 3,4 2 1 2 3,4 1 2 1 3,4 其中,A城市恰有兩個專家組選取的有12種不同方法,如表中前三列所示. 故A城市恰有兩個專家組選取的概率P==. (2)K2的觀測值k== 16.16>6.635, 所以有超過99%的把握認(rèn)為“戶外作業(yè)”與“患呼吸道病”有關(guān).- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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