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03 導數(shù)及其應用
1.如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點P處的切線方程為x-y+2=0,則f(1)+f(1)=( ).
A.1 B.2
C.3 D.4
解析? 由條件知(1,f(1))在直線x-y+2=0上,且f(1)=1,∴f(1)+f(1)=3+1=4,故選D.
答案? D
2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則ab的值為( ).
A.-23 B.-2
C.-2或-23 D.2或-23
解析? 由題意知f(x)=3x2+2ax+b,
則f(1)=0,f(1)=10,
即3+2a+b=0,1+a+b-a2-7a=10,
解得a=-2,b=1或a=-6,b=9,
經檢驗a=-6,b=9滿足題意,故ab=-23,故選A.
答案? A
3.對于R上可導的任意函數(shù)f(x),若滿足1-xf(x)≤0,則必有( ).
A.f(0)+f(2)>2f(1)
B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1)
D.f(0)+f(2)≥2f(1)
解析? 當x<1時,f(x)<0,此時函數(shù)f(x)單調遞減;當x>1時,f(x)>0,此時函數(shù)f(x)單調遞增.即當x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值同時也取得最小值f(1).所以f(0)>f(1),f(2)>f(1),則f(0)+f(2)>2f(1).故選A.
答案? A
4.若函數(shù)y=-13x3+ax有三個單調區(qū)間,則a的取值范圍是 .
解析? y=-x2+a,若y=-13x3+ax有三個單調區(qū)間,則方程-x2+a=0應有兩個不等實根,Δ=4a>0,故a的取值范圍是(0,+∞).
答案? (0,+∞)
能力1
? 會應用導數(shù)的幾何意義
【例1】 (1)已知曲線f(x)=ax2x+1在點(1,f(1))處切線的斜率為1,則實數(shù)a的值為( ).
A.23 B.-32 C.-34 D.43
(2)曲線f(x)=x2+ln x在點(1,f(1))處的切線方程為 .
解析? (1)對函數(shù)f(x)=ax2x+1求導,可得f(x)=2ax(x+1)-ax2(x+1)2.
因為曲線f(x)=ax2x+1在點(1,f(1))處切線的斜率為1,
所以f(1)=3a4=1,得a=43,故選D.
(2)因為f(x)=2x+1x,
所以曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為f(1)=2+11=3.
因為f(1)=1,
所以切線方程為y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
答案? (1)D (2)3x-y-2=0
1.求曲線y=f(x)的切線方程的三種類型及方法:(1)已知切點P(x0,y0),求y=f(x)過點P的切線方程:先求出切線的斜率f(x0),由點斜式寫出方程.(2)已知切線的斜率k,求y=f(x)的切線方程:設切點P(x0,y0),通過方程k=f(x0)解得x0,再由點斜式寫出方程.(3)已知切線上一點(非切點),求y=f(x)的切線方程:設切點P(x0,y0),利用導數(shù)求得切線斜率f(x0),然后由斜率公式求得切線斜率,列方程(組)解得x0,再由點斜式或兩點式寫出方程.
2.利用切線(或方程)與其他曲線的關系求參數(shù):已知過某點的切線方程(斜率)或其與某直線平行、垂直,利用導數(shù)的幾何意義、切點坐標、切線斜率之間的關系構建方程(組)或函數(shù)求解.
1.設曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=1x(x>0)上點P處的切線垂直,則點P的坐標為 .
解析? ∵函數(shù)ye=x的導函數(shù)為ye=x,
∴曲線y=ex在點(0,1)處的切線的斜率k1=e0=1.
設P的坐標為(x0,y0)(x0>0),
∵函數(shù)y=1x的導函數(shù)為y=-1x2,
∴曲線y=1x(x>0)在點P處的切線的斜率k2=-1x02,
由題意知k1k2=-1,即1-1x02=-1,解得x02=1,
又x0>0,∴x0=1.
∵點P在曲線y=1x(x>0)上,∴y0=1,
故點P的坐標為(1,1).
答案? (1,1)
2.已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a= .
解析? (法一)令f(x)=x+lnx,求導得f(x)=1+1x,則f(1)=2.
又f(1)=1,∴曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.
設直線y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切的切點為P(x0,y0),
則當x=x0時,y=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-12.
又ax02+(a+2)x0+1=2x0-1,即ax02+ax0+2=0,當a=0時,顯然不滿足此方程,
∴x0=-12,此時a=8.
(法二)求出曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線方程為y=2x-1.
由y=2x-1,y=ax2+(a+2)x+1,得ax2+ax+2=0,
∴Δ=a2-8a=0,∴a=8或a=0(顯然不成立).
答案? 8
能力2
? 會利用導數(shù)解決函數(shù)的單調性問題
【例2】 (1)函數(shù)f(x)=x2ln x的單調遞減區(qū)間為( ).
A.(0,e) B.ee,+∞
C.-∞,ee D.0,ee
(2)若函數(shù)f(x)=lnx+ax2-2在12,2內存在單調遞增區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍是( ).
A.(-∞,-2] B.-18,+∞
C.-2,-18 D.(-2,+∞)
解析? (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
由題意得f(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),
令f(x)<0,解得0
g12=-2,所以a>-2.故選D.
答案? (1)D (2)D
利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性:(1)已知函數(shù)解析式求單調區(qū)間,實質上是求f(x)>0,f(x)<0的解集,求單調區(qū)間應遵循定義域優(yōu)先的原則;(2)含參函數(shù)的單調性要分類討論,通過確定導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性;(3)注意兩種表述“函數(shù)f(x)在(a,b)上為減函數(shù)”與“函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(a,b)”的區(qū)別.
1.已知函數(shù)f(x)=1-xax+lnx,若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),則正實數(shù)a的取值范圍為 .
解析? ∵f(x)=1-xax+lnx,
∴f(x)=ax-1ax2(a>0).
∵函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),
∴f(x)=ax-1ax2≥0對任意的x∈[1,+∞)恒成立,
∴ax-1≥0對任意的x∈[1,+∞)恒成立,
即a≥1x對任意的x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1.
答案? [1,+∞)
2.已知函數(shù)f(x)=12x2-2aln x+(a-2)x.
(1)當a=-1時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.
(2)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上單調遞增?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
解析? (1)當a=-1時,f(x)=12x2+2ln x-3x,
則f(x)=x+2x-3=x2-3x+2x
=(x-1)(x-2)x.
當02時,f(x)>0,f(x)單調遞增;當10時,求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(2)當a<0時,求函數(shù)f(x)在12,1上的最小值.
解析? (1)由函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx,可得f(x)=2ax+(1-2a)-1x=(2ax+1)(x-1)x.
令f(x)>0,∵a>0,x>0,∴2ax+1x>0,
∴x-1>0,得x>1,
∴f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,+∞).
(2)由(1)可得f(x)=2ax-1-2a(x-1)x.
已知a<0,令f(x)=0,得x1=-12a,x2=1.
①當-12a>1,即-120,因此f(x)在12,1上是增函數(shù),
∴f(x)的最小值為f12=12-34a+ln 2.
綜上,函數(shù)f(x)在12,1上的最小值為
f(x)min=12-34a+ln2,a<-1,1-14a+ln(-2a),-1≤a≤-12,1-a,-120,均有x(2ln a-lnx)≤a恒成立,求正數(shù)a的取值范圍.
解析? (1)f(x)=1x-ax2=x-ax2,x∈(0,+∞).
①若a≤0,則f(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,無極值.
②若a>0,當x∈(0,a)時,f(x)<0,f(x)在(0,a)上單調遞減;
當x∈(a,+∞)時,f(x)>0,f(x)在(a,+∞)上單調遞增.
故f(x)在(0,+∞)有極小值,無極大值,f(x)的極小值為f(a)=lna+1.
(2)若對任意x>0,均有x(2ln a-lnx)≤a恒成立,
則對任意x>0,均有2ln a≤ax+lnx恒成立,
由(1)可知f(x)的最小值為lna+1,
故問題轉化為2ln a≤lna+1,即lna≤1,解得00恒成立,
故f(x)>0恒成立,即f(x)在定義域上單調遞增,無極值點.故選A.
答案? A
4.如圖,可導函數(shù)y=f(x)的圖象在點P(x0,f(x0))處的切線為l:y=g(x),設h(x)=f(x)-g(x),則下列說法正確的是( ).
A.h(x0)=0,x=x0是h(x)的極大值點
B.h(x0)=0,x=x0是h(x)的極小值點
C.h(x0)=0,x=x0不是h(x)的極值點
D.h(x0)≠0
解析? 由題設有g(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0),
故h(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0),
所以h(x)=f(x)-f(x0).
因為h(x0)=f(x0)-f(x0)=0,
又當xx0時,有h(x)>0,
所以x=x0是h(x)的極小值點,故選B.
答案? B
5.若函數(shù)f(x)=2x3-3mx2+6x在區(qū)間(2,+∞)上為增函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為( ).
A.(-∞,2) B.(-∞,2]
C.-∞,52 D.-∞,52
解析? ∵f(x)=6x2-6mx+6,當x∈(2,+∞)時,f(x)≥0恒成立,即x2-mx+1≥0恒成立,∴m≤x+1x恒成立.令g(x)=x+1x,g(x)=1-1x2,∴當x>2時,g(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上單調遞增,∴m≤2+12=52.
答案? D
6.設函數(shù)f(x)=lnx+ax2-32x,若x=1是函數(shù)f(x)是極大值點,則函數(shù)f(x)的極小值為( ).
A.ln 2-2 B.ln 2-1
C.ln 3-2 D.ln 3-1
解析? ∵f(x)=lnx+ax2-32x,
∴f(x)=1x+2ax-32.
∵x=1是函數(shù)f(x)的極大值點,
∴f(1)=1+2a-32=0,∴a=14,
∴f(x)=lnx+14x2-32x.
∴f(x)=1x+x2-32=x2-3x+22x=(x-2)(x-1)2x(x>0),
∴當x∈(0,1)時,f(x)>0;
當x∈(1,2)時,f(x)<0;
當x∈(2,+∞)時,f(x)>0.
∴當x=2時,f(x)取極小值,極小值為ln 2-2.故選A.
答案? A
7.已知y=f(x)是奇函數(shù),當x∈(0,2)時,f(x)=lnx-axa>12,當x∈(-2,0)時,f(x)的最小值為1,則a的值等于( ).
A.14 B.13 C.12 D.1
解析? 由f(x)是奇函數(shù),當x∈(-2,0)時,f(x)的最小值為1知,當x∈(0,2)時,f(x)的最大值為-1.
令f(x)=1x-a=0,得x=1a.
當00;當x>1a時,f(x)<0.
∴f(x)max=f1a=-lna-1=-1,解得a=1.故選D.
答案? D
8.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx-ln x(a>0,b∈R),若對任意x>0,f(x)≥f(1),則( ).
A.lna<-2b B.lna≤-2b
C.lna>-2b D.lna≥-2b
解析? f(x)=2ax+b-1x,由題意可知f(1)=0,即2a+b=1,由選項可知,只需比較lna+2b與0的大小,而b=1-2a,所以只需判斷l(xiāng)na+2-4a的符號.構造一個新函數(shù)g(x)=2-4x+ln x,則g(x)=1x-4,令g(x)=0,得x=14.所以當014時,g(x)為減函數(shù),所以對任意x>0有g(x)≤g14=1-ln 4<0,所以有g(a)=2-4a+ln a=2b+ln a<0?ln a<-2b.
答案? A
二、填空題
9.已知函數(shù)f(x)=fπ4cos x+sinx,則fπ4的值為 .
解析? 因為f(x)=-fπ4sin x+cosx,
所以fπ4=-fπ4sin π4+cos π4,
所以fπ4=2-1,
故fπ4=fπ4cos π4+sin π4=1.
答案? 1
10.直線y=kx+1與曲線y=x3+bx2+c相切于點M(1,2),則b的值為 .
解析? 由直線y=kx+1與曲線y=x3+bx2+c相切于點M(1,2),知點M(1,2)滿足直線y=kx+1的方程,即2=k+1,解得k=1,即y=x+1.
由y=x3+bx2+c,知y=3x2+2bx,則y|x=1=3+2b=1,解得b=-1.
答案? -1
11.若函數(shù)f(x)=x3+ax-2在(1,+∞)上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是 .
解析? 由題意知f(x)=3x2+a,
已知f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),
則f(x)=3x2+a≥0對任意x∈(1,+∞)恒成立,
即a≥-3x2對任意x∈(1,+∞)恒成立,∴a≥-3.
答案? [-3,+∞)
12.若函數(shù)f(x)=-12x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不單調,則t的取值范圍是 .
解析? f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x,
由f(x)=0及判斷可知函數(shù)f(x)的兩個極值點為1,3,
則只要這兩個極值點有一個在(t,t+1)內,函數(shù)f(x)在[t,t+1]上就不單調,所以t<1
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微專題03
導數(shù)及其應用練習
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