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1、
第一學(xué)期期末考試
高三數(shù)學(xué)（理科）試題
（考試時(shí)間120分鐘. 共150分）
第Ⅰ卷(選擇題，共60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每一小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，
只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是
A. B. C. D.
2.，，則
A . B. C. D.
3.等比數(shù)列 中，，則
A. B. C. D.
4.已知命題，命題，使得成立，
2、則下列命題是真命題的是
A. B. C. D.
5.從個(gè)英語(yǔ)教師和個(gè)語(yǔ)文教師中選擇名教師參加外事活動(dòng)，其中至少要有一名英語(yǔ)教師，則不同的選法共有
A. B.
C. D.
6.變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為
A. B. C. D.
7.若是不相同的空間直線，是不重合的兩個(gè)平面，則下列命題準(zhǔn)確的是
A . B.∥，∥
C.，，∥，∥∥
3、 D. ∥
8.將函數(shù)的圖像分別向左、向右各平移個(gè)單位后，所得的兩個(gè)圖像的對(duì)稱軸重合，則的最小值為
A . B. C. D.
9.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則該雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
10.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，該程序輸出的結(jié)果為，則空白處應(yīng)填入的條件是
A . B. C. D.
否
是
11.已知圓的半徑為，是圓
4、上任意兩點(diǎn)，且，是圓的一條直徑，若點(diǎn)滿足,則的最小值為
A. B. C. D.
12.已知函數(shù)在處取得極大值，則的取值范圍為
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.1,3,5
13.)的展開式中的系數(shù)為______.
14.已知對(duì)任意，點(diǎn)
在直線上,若，則=_________.
15.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 .
16.已知是定義在上且周期為的函數(shù)，在區(qū)間上，
，其中，若，則 .
三、
5、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）若函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸是直線，求函數(shù)的最小正周期
（2）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，， 求的值
18．（本小題滿分12分）
為了解某地臍橙種植情況，調(diào)研小組在該地某
臍橙種植園中隨機(jī)抽出棵，每棵掛果情況
編成如圖所示的莖葉圖（單位：個(gè)）：若掛果
在個(gè)以上（包括）定義為“高產(chǎn)”，
掛果在個(gè)以下（不包括）定義為“非高產(chǎn)”．
（1）如果用分層抽樣的方法從“高產(chǎn)”和“非高產(chǎn)”中抽取棵，再?gòu)倪@棵中選棵，那么至少有一棵是“高產(chǎn)”的概率是多少?
（
6、2）用樣本估計(jì)總體，若從該地所有臍橙果樹（有較多果樹）中選3棵，用表示所選棵中“高產(chǎn)”的個(gè)數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望．
19.（本小題滿分12分）
已知四棱錐中，為矩形，
，，為的中點(diǎn)，
、分別為上的點(diǎn)，且.
（1）證明：；
（2）求與平面所成角的余弦值．
20.(本小題滿分12分)
從拋物線：外一點(diǎn)作該拋物線的兩條切線（切點(diǎn)分別為），分別與軸相交于，若與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且（為拋物線的焦點(diǎn)）.
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：四邊形是平行四邊形.
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的圖像在處的切線方程
7、（2）證明：
（3）設(shè)，比較與的大小，并說(shuō)明理由
請(qǐng)考生在第（22）、（23）、（24）兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑，把答案填在答題卡上．
22.（本小題滿分10分）
如圖，是圓的直徑，是半徑的中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，
直線與圓相交于點(diǎn)（不與重合），與圓相切于點(diǎn)，連結(jié)
（1）求證：；
（2）若,，試求的大小．
23.（本小題滿分10分）
已知曲線的極坐標(biāo)方程是．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是
（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2
8、）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角的值．
24.（本小題滿分10分）
已知為正實(shí)數(shù)，若對(duì)任意，不等式 恒成立.
（1）求的最小值；
（2）試判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
贛州市2015～2016學(xué)年度第一學(xué)期期末考試
高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案
一、選擇題
1～5.CBDAB； 6～10.CADDA； 11～12.CB.
二、填空題
13.； 14.； 5.； 16..
三、解答題
17.
9、解：
………………………………………………………………3分
（1）由得：，
因?yàn)?，所以………………………………………………………?分
函數(shù)的最小正周期為……………………………………………6分
（2），………………………………7分
又 ，
…………………………………………9分
由…………………………………………………………………………10分
所以…………………………………………12分
18. 解：（1）根據(jù)莖葉圖，有“高產(chǎn)”棵，“非高產(chǎn)”棵，用分層抽樣的方法，每棵被抽中的概率是………………………………………………………………2分
所以選中的“高產(chǎn)”有棵，“非高產(chǎn)”有棵
10、，用事件表示至少有一棵“高產(chǎn)”被選中，則………………………………4分
因此至少有一棵是“高產(chǎn)”的概率是
（2）依題意，抽取棵中棵是“高產(chǎn)”，
所以抽取一棵是“高產(chǎn)”的頻率為………………………………………………5分
頻率當(dāng)作概率，那么從所有臍橙果樹中抽取一棵是“高產(chǎn)”的概率是，
又因?yàn)樗】傮w數(shù)量較多，抽取棵可看成進(jìn)行次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
所以服從二項(xiàng)分布……………………………………………………………6分
的取值為，，，，，，
，………………………9分
所以的分布列如下：
…………………………………………………11分
所以（或）…………
11、…12分
19.解：證法一：（1）如圖，取中點(diǎn)，連接…………………………1分
因?yàn)?，所以…………………………………………………?分
所以，所以……………………3分
因?yàn)?，所以……………4分
，所以
所以…………………………………………5分
，平面
所以……………………………………………………………………………6分
證法二：設(shè)，以為原點(diǎn)，射線， ，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系則 ， ，，，………3分
（1）證明：，……………………………………4分
因?yàn)椤?分
所以………………………………………………………………………
12、……6分
(2) ，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，所以……………………8分
取，得……………………………………9分
設(shè)與平面所成角為
…………………………………………10分
………………………………………………………………………………11分
所以與平面所成角的余弦值為……………………………………………12分
20. 解：（1）因?yàn)?
所以，即拋物線的方程是…………3分
（2）由得，………………4分
設(shè)，
則直線的方程為， ①…………………………………………5分
則直線的方程為，②…………………………………………6分
由①和②解得：，所以……………………7分
設(shè)點(diǎn)，則直
13、線的方程為………………………………………8分
由得
則……………………………………………………………9分
所以，所以線段被軸平分，即被線段平分，
在①中，令解得，所以，同理得，所以線段的中點(diǎn)
坐標(biāo)為，即……………………………………………………10分
又因?yàn)橹本€的方程為，所以線段的中點(diǎn)在直線上，
即線段被線段平分…………………………………………………………11分
因此，四邊形是平行四邊形…………………………………………………12分
21. 解：(1) 因?yàn)?
所以，…………………………………………………1分
又因，所以切點(diǎn)為………………………………………………2分
故所求
14、的切線方程為：，即………………………3分
（2）因?yàn)椋试谏鲜窃黾拥?，?上是減少的，
，……………………………………4分
設(shè)，則，故在上是增加的，
在 上是減少的，故，
所以對(duì)任意恒成立……………………………………7分
（3）
， ,故只需比較與的大小…………………8分
令，設(shè)，
則………………………9分
因?yàn)椋?，所以函?shù)在上是增加的，
故……………………………………………………………………10分
所以 對(duì)任意恒成立……………………………………………………11分
即,從而有……………………………12分
22.證明：（1）因與圓相交于點(diǎn)，
由切割線定理，…
15、………………………………2分
得…………………………………………………………………3分
設(shè)半徑，因，且，
則，………………………………3分
所以………………………………………………………………4分
所以…………………………………………………………………………5分
（2）由（1）可知，，且………………7分
故∽，所以………………………………………8分
根據(jù)圓周角定理得，，則……………9分
…………………………………………………………………………10分
23.解：（1）由
得圓C的方程為……………………………………………4分
（2）將代入圓的方程得…………5分
化簡(jiǎn)得
16、……………………………………………………………6分
設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則………………………7分
所以……………………8分
所以,,…………………………………10分
24.解：（1）因?yàn)?，，所以…………………?分
因?yàn)?，所以………………………………………………………?分
，所以……………………5分
所以的最小值為…………………………………………………………………6分
（2）因?yàn)椤?分
所以……………………………………………………………………………8分
即，所以點(diǎn)在橢圓的外部……………………10分
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