2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 選修4-4.doc

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選修44　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1課時　坐　標(biāo)　系 理解極坐標(biāo)的概念，會正確進(jìn)行點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，能運(yùn)用極坐標(biāo)解決相關(guān)問題. ① 了解極坐標(biāo)系. ② 會正確將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程. ③ 會根據(jù)所給條件建立直線、圓的極坐標(biāo)方程，并能運(yùn)用極坐標(biāo)解題.
1. （選修44P11例5改編）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－，－），求點(diǎn)P的極坐標(biāo). 解：ρ＝＝2，tan θ＝＝，又點(diǎn)P在第三象限，得θ＝π，即P（2，）. 2. （選修44P17習(xí)題9改編）在極坐標(biāo)系中，已知A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，，求△AOB（其中O為極點(diǎn)）的面積. 解：由題意A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，，得△AOB的面積S△AOB＝OAOBsin∠AOB＝34sin＝3. 3. 在極坐標(biāo)系中，求圓ρ＝2cos θ的圓心到直線2ρsin＝1的距離. 解：圓的普通方程為（x－1）2＋y2＝1，直線的普通方程為x＋y－1＝0， ∴ 圓心到直線的距離為d＝. 4. （選修44P19例1改編）在極坐標(biāo)系中，求過圓ρ＝－2sin θ的圓心，且與極軸平行的直線的極坐標(biāo)方程. 解：由題意，圓ρ＝－2sin θ，可化為ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，即x2＋（y＋1）2＝1，圓心是（0，－1），所求直角坐標(biāo)方程為y＝－1，所以其極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝－1. 5. 在極坐標(biāo)系中，求圓ρ＝4上的點(diǎn)到直線ρ（cos θ＋sin θ）＝8的距離的最大值. 解：把ρ＝4化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝16， 把ρ（cos θ＋sin θ）＝8化為直角坐標(biāo)方程為x＋y－8＝0， ∴ 圓心（0，0）到直線的距離為d＝＝4， ∴ 直線和圓相切， ∴ 圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是8.
1. 極坐標(biāo)系是由距離（極徑）與方向（極角）確定點(diǎn)的位置的一種方法，由于終邊相同的角有無數(shù)個且極徑可以為負(fù)數(shù)，故在極坐標(biāo)系下，有序?qū)崝?shù)對（ρ，θ）與點(diǎn)不一一對應(yīng).這點(diǎn)應(yīng)與直角坐標(biāo)系區(qū)別開來. 2. 在極坐標(biāo)系中，同一個點(diǎn)M的坐標(biāo)形式不盡相同，M（ρ，θ）可表示為（ρ，θ＋2nπ）（n∈Z）. 3. 在極坐標(biāo)系中，極徑ρ可以為負(fù)數(shù)，故M（ρ，θ）可表示為（－ρ，θ＋（2n＋1）π）（n∈Z）. 4. 特別地，若ρ＝0，則極角θ可取任意角. 5. 建立曲線的極坐標(biāo)方程，其基本思路與在直角坐標(biāo)系中大致相同，即設(shè)曲線上任一點(diǎn)M（ρ，θ），建立等式，化簡即得. 6. 常見曲線的極坐標(biāo)方程 （1） 過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線的極坐標(biāo)方程為θ＝α（ρ∈R）或θ＝π＋α（ρ∈R）； （2） 過點(diǎn)（a，0）（a＞0），與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝a； （3） 過點(diǎn)，與極軸平行的直線的極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝a； （4） 圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝r； （5） 圓心為（a，0），半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2acos θ； （6） 圓心為，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2asin θ. 7. 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，平面內(nèi)任一點(diǎn)P的直角坐標(biāo)（x，y）與極坐標(biāo)（ρ，θ）可以互換，公式是 和


,　　　　　　　　　1　求極坐標(biāo)或極坐標(biāo)方程)
,　　　　　1)　在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，圓C的方程為ρ＝4sin θ（圓心為點(diǎn)C），求直線AC的極坐標(biāo)方程. 解：（解法1）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的平面直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4y， 即x2＋（y－2）2＝8，圓心C（0，2）. 點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（，）. 直線AC的斜率kAC＝＝－1. 所以直線AC的直角坐標(biāo)方程為y＝－x＋2， 極坐標(biāo)方程為ρ（cos θ＋sin θ）＝2， 即ρsin＝2. （解法2）在直線AC上任取一點(diǎn)M（ρ，θ），不妨設(shè)點(diǎn)M在線段AC上. 由于圓心為C，S△OAC＝S△OAM＋S△OCM， 所以22sin ＝2ρsin＋ρ2sin，即ρ（cos θ＋sin θ）＝2， 化簡，得直線AC的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2. 在極坐標(biāo)系中，求曲線ρ＝2cos θ關(guān)于直線θ＝（ρ∈R）對稱的曲線的極坐標(biāo)方程. 解：（解法1）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線ρ＝2cos θ的直角坐標(biāo)方程為（x－1）2＋y2＝1，且圓心C的坐標(biāo)為（1，0）， 直線θ＝的直角坐標(biāo)方程為y＝x. 因?yàn)閳A心C（1，0）關(guān)于y＝x的對稱點(diǎn)為（0，1）， 所以圓C關(guān)于y＝x的對稱曲線為x2＋（y－1）2＝1， 所以曲線ρ＝2cos θ關(guān)于直線θ＝對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. （解法2）設(shè)曲線ρ＝2cos θ上任意一點(diǎn)為（ρ′，θ′），其關(guān)于直線θ＝的對稱點(diǎn)為（ρ，θ），則 將（ρ′，θ′）代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2cos，即ρ＝2sin θ， 所以曲線ρ＝2cos θ關(guān)于直線θ＝（ρ∈R）對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ.
,　　　　　　　　　2　極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化)
,　　　　　2)?。?017蘇州期中）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)，r＞0）.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＋1＝0. （1） 求圓C的圓心的極坐標(biāo)； （2） 當(dāng)圓C與直線l有公共點(diǎn)時，求r的取值范圍. 解：（1） 由C：得（x－2）2＋（y－2）2＝r2， ∴ 曲線C是以（2，2）為圓心，r為半徑的圓，∴ 圓心的極坐標(biāo)為. （2） 由直線l：ρsin＋1＝0，得直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＋1＝0， 從而圓心（2，2）到直線l的距離d＝＝ . ∵ 圓C與直線l有公共點(diǎn)，∴ d≤r，即r≥ .
變式訓(xùn)練 （2017蘇州期初）自極點(diǎn)O任意作一條射線與直線ρcos θ＝3相交于點(diǎn)M，在射線OM上取點(diǎn)P，使得OMOP＝12，求動點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程，并把它化為直角坐標(biāo)方程. 解：設(shè)P（ρ，θ），M（ρ′，θ）， ∵ OMOP＝12，∴ ρρ′＝12. ∵ ρ′cos θ＝3，∴ cos θ＝3. 則動點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ. ∵ 極點(diǎn)在此曲線上， ∴ 方程兩邊可同時乘ρ，得ρ2＝4ρcos θ. ∴ x2＋y2－4x＝0.
,　　　　　　　　　3　曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用)
,　　　　　3)　在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝2acos θ（a>0），直線l：ρcos＝，C與l有且僅有一個公共點(diǎn). （1） 求a； （2） O為極點(diǎn)，A，B為C上的兩點(diǎn)，且∠AOB＝，求OA＋OB的最大值. 解：（1） 曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓； 直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－3＝0. 由直線l與圓C相切可得＝a，解得a＝1. （2） 不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ＋， 則OA＋OB＝2cos θ＋2cos ＝3cos θ－sin θ＝2cos， 當(dāng)θ＝－時，OA＋OB取得最大值2.
變式訓(xùn)練 在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x－）2＋（y＋1）2＝9，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （1） 求圓C的極坐標(biāo)方程； （2） 直線OP：θ＝（ρ∈R）與圓C交于點(diǎn)M，N，求線段MN的長. 解：（1） （x－）2＋（y＋1）2＝9可化為x2＋y2－2x＋2y－5＝0， 故其極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. （2） 將θ＝代入ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0， ∴ ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.
1. （2017蘇北四市期中）已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ＋）＝3，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C的直角坐標(biāo)方程. 解：由ρsin＝3，得ρsin θ＋ρcos θ＝3. 又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x＋y－6＝0. 2. （2017蘇錫常鎮(zhèn)一模）已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2. （1） 把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （2） 求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程. 解：（1） 由ρ＝2?ρ2＝4，所以x2＋y2＝4. 因?yàn)棣?－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0. （2） 將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x＋y＝1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin＝. 3. （2017蘇北三市模擬）在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，點(diǎn)B在直線l：ρcos θ＋ρsin θ＝0（0≤θ＜2π）上.當(dāng)線段AB最短時，求點(diǎn)B的極坐標(biāo). 解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（0，2），直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝0. AB最短時，點(diǎn)B為直線x－y＋2＝0與直線l的交點(diǎn)， 由解得 所以點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為（－1，1）.所以點(diǎn)B的極坐標(biāo)為. 4. （2017常州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知圓ρ＝4sin（θ＋）（ρ≥0）被射線θ＝θ0（θ0為常數(shù)，且θ0∈）所截得的弦長為2，求θ0的值. 解：圓ρ＝4sin的直角坐標(biāo)方程為（x－1）2＋（y－）2＝4，射線θ＝θ0的直角坐標(biāo)方程可以設(shè)為y＝kx（x≥0，k＞0）， 圓心（1，）到直線y＝kx的距離d＝. 根據(jù)題意，得2＝2，解得k＝， 即tan θ0＝.又θ0∈，所以θ0＝.
1. （2017南通、揚(yáng)州、泰州模擬）在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心在極軸上，且過極點(diǎn)和點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程. 解：（解法1）因?yàn)閳AC的圓心在極軸上且過極點(diǎn)， 所以可設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝acos θ. 又點(diǎn)在圓C上，所以3＝acos ，解得a＝6. 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ. （解法2）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（3，3）. 因?yàn)閳AC過點(diǎn)（0，0），（3，3）， 所以圓心在直線x＋y－3＝0上. 又圓心C在極軸上， 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為（x－3）2＋y2＝9. 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ. 2. 已知在極坐標(biāo)系下，圓C：ρ＝2cos與直線l：ρsin＝，點(diǎn)M為圓C上的動點(diǎn).求點(diǎn)M到直線l距離的最大值. 解：圓C：ρ＝2cos，即 x2＋y2＋2y＝0，x2＋（y＋1）2＝1，表示圓心為（0，－1），半徑等于1的圓. 直線l：ρsin＝，即ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即 x＋y－2＝0， 圓心到直線l的距離為＝， 故圓上的動點(diǎn)M到直線l的距離的最大值等于＋1. 3. 在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ. （1） 求出圓C的直角坐標(biāo)方程； （2） 已知圓C與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，若直線l：y＝2x＋2m上存在點(diǎn)P使得∠APB＝90，求實(shí)數(shù)m的最大值. 解：（1） 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0， 即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－2）2＋y2＝4. （2） l的方程為y＝2x＋2m，而AB為圓C的直徑， 故直線l上存在點(diǎn)P使得∠APB＝90的充要條件是直線l與圓C有公共點(diǎn)， 故≤2，于是實(shí)數(shù)m的最大值為－2. 4. 在極坐標(biāo)系中，已知直線2ρcos θ＋ρsin θ＋a＝0（a>0）被圓ρ＝4sin θ截得的弦長為2，求a的值. 解：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為2x＋y＋a＝0， 圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4y，即x2＋（y－2）2＝4. 因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，所以圓心（0，2）到直線的距離為＝， 即＝，因?yàn)閍>0，所以a＝－2.
1. 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 （1） 將極坐標(biāo)或極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)或直角坐標(biāo)方程，直接利用公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ即可.常用方法有代入法、平方法，還經(jīng)常用到同乘（或除以）ρ等技巧. （2） 將直角坐標(biāo)或直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)或極坐標(biāo)方程，要靈活運(yùn)用x＝ρcos θ，y＝ρsin θ以及ρ＝，tan θ＝（x≠0），同時要掌握必要的技巧，通常情況下，由tan θ確定角θ時，應(yīng)根據(jù)點(diǎn)P所在象限取最小正角.在這里要注意：當(dāng)x≠0時，θ角才能由tan θ＝按上述方法確定.當(dāng)x＝0時，tan θ沒有意義，這時又分三種情況：當(dāng)x＝0，y＝0時，θ可取任何值；當(dāng)x＝0，y>0時，可取θ＝；當(dāng)x＝0，y<0時，可取θ＝. 2. 求簡單曲線的極坐標(biāo)方程的方法 （1） 設(shè)點(diǎn)M（ρ，θ）為曲線上任意一點(diǎn)，由已知條件，構(gòu)造出三角形，利用正弦定理求解OM與θ的關(guān)系； （2） 先求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式，把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.[備課札記] 第2課時　參 數(shù) 方 程（對應(yīng)學(xué)生用書（理）202～205頁）

理解參數(shù)方程的概念，了解某些常用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或物理意義. ① 會正確將參數(shù)方程化為普通方程.② 會根據(jù)給出的參數(shù)，依據(jù)條件建立參數(shù)方程.
1. （選修44P45例1改編）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求此直線的傾斜角以及在y軸上的截距. 解：∵ ∴ y－2＝（x－1）. ∴ 此直線的斜率為，∴ 它的傾斜角為60. 令x＝0，得它在y軸上的截距為2－. 2. （選修44P45例2改編）已知點(diǎn)P（3，m）在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線（t為參數(shù)）上，求PF的值. 解：將拋物線的參數(shù)方程化為普通方程為y2＝4x，則焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝－1，又P（3，m）在拋物線上，由拋物線的定義知PF＝3－（－1）＝4. 3. （選修44P57習(xí)題3（4））選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，將普通方程4x2＋y2－16x＋12＝0化為參數(shù)方程. 解：由4x2＋y2－16x＋12＝0，得4（x－2）2＋y2＝4，選擇參數(shù)θ，令y＝2sin θ，則x＝2＋cos θ，故所求曲線的參數(shù)方程是（答案不惟一） 4. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝.若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長. 解：曲線C的普通方程為（x－）2＋y2＝4，表示以（，0）為圓心，2為半徑的圓.直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x. 所以圓心到直線的距離為， 所以線段AB的長為2＝. 5. 已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ－）＝3，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），設(shè)P點(diǎn)是曲線C上的任意一點(diǎn)，求P到直線l的距離的最大值. 解：由ρsin＝3，可得ρ（sin θ－cos θ）＝3， ∴ y－x＝6，即x－y＋6＝0. 由得x2＋y2＝4，圓的半徑為r＝2， ∴ 圓心到直線l的距離d＝＝3. ∴ P到直線l的距離的最大值為d＋r＝5.
1. 參數(shù)方程是用第三個變量（即參數(shù)）分別表示曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)x，y的另一種曲線方程的形式，它體現(xiàn)了x，y的一種間接關(guān)系. 2. 參數(shù)方程是根據(jù)其固有的意義（物理、幾何）得到的，要注意參數(shù)的取值范圍. 3. 一些常見曲線的參數(shù)方程 （1） 過點(diǎn)P0（x0，y0），且傾斜角是α的直線的參數(shù)方程為（l為參數(shù)）. l是有向線段P0P的數(shù)量. （2） 圓方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2的參數(shù)方程是（θ為參數(shù)）. （3） 橢圓方程＋＝1（a>b>0）的參數(shù)方程是（θ為參數(shù)）. （4） 雙曲線方程－＝1（a>0，b>0）的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）. （5） 拋物線方程y2＝2px（p>0）的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）. 4. 在參數(shù)方程與普通方程的互化中要注意變量的取值范圍. 　　　1　參數(shù)方程與普通方程的互化 　1（2017南京、鹽城期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：（t為參數(shù)）.現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長. 解：直線l：（t為參數(shù)）化成普通方程為4x－3y＝0， 圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝2cos θ化成直角坐標(biāo)方程為（x－1）2＋y2＝1， 則圓C的圓心到直線l的距離d＝＝， 所以AB＝2＝.
變式訓(xùn)練 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線（t為參數(shù)）與曲線（θ為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長. 解：將直線的參數(shù)方程化為普通方程，得y＝2x＋1?、? 將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，得 y＝1－2x2（－1≤x≤1）?、? 由①②，得或 所以A（－1，－1），B（0，1）或A（0，1），B（－1，－1）， 從而AB＝＝. 已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ－2cos θ.若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長.　 解：由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y－2x，標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋1）2＋（y－1）2＝2. 直線l的方程化成普通方程為x－y＋1＝0. 圓心到直線l的距離為d＝＝， 所求弦長AB＝2＝.
,　　　　　　　　　2　求曲線參數(shù)方程)
,　　　　　2)　如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程.
解：設(shè)P（x，y），則隨著θ取值變化，P可以表示圓上任意一點(diǎn)，由所給的曲線方程x2＋y2－x＝0，即＋y2＝，表示以為圓心，為半徑的圓，可得弦OP＝1cos θ， 所以從而 故已知圓的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）. 已知直線C1：（t為參數(shù)），曲線C2：（θ為參數(shù)）. （1） 當(dāng)α＝時，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2） 過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點(diǎn)，當(dāng)α變化時，求點(diǎn)P軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線. 解：（1） 當(dāng)α＝時，C1的普通方程為y＝（x－1），C2的普通方程為x2＋y2＝1，聯(lián)立構(gòu)成方程組解得C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，0），. （2） 依題意，C1的普通方程為xsin α－ycos α－sin α＝0，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（sin2α，－sin αcos α）， 故當(dāng)α變化時，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)）， 所以點(diǎn)P軌跡的普通方程為＋y2＝. 故點(diǎn)P的軌跡是圓心為，半徑為的圓.
,　　　　　　　　　3　參數(shù)方程的應(yīng)用)
,　　　　　3)　（2017南通、泰州模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線（l為參數(shù)）與曲線（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長. 解：（解法1）將曲線（t為參數(shù)）化成普通方程為y2＝8x， 將直線（l為參數(shù)）代入y2＝8x，整理得l2－8l＋24＝0， 解得l1＝2，l2＝6.則|l1－l2|＝4，所以線段AB的長為4. （解法2）將曲線（t為參數(shù)）化成普通方程為y2＝8x， 將直線（l為參數(shù)）化成普通方程為x－y＋＝0， 由得或所以AB的長為＝4. 已知直線l：（t為參數(shù)）恒經(jīng)過橢圓C：（φ為參數(shù)）的右焦點(diǎn)F. （1） 求m的值； （2） 設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求FAFB的最大值與最小值. 解：（1） 橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，得＋＝1. 因?yàn)閍＝5，b＝3，所以c＝4，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0）. 因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)（m，0），所以m＝4. （2） 將直線l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程，并整理得 （9cos2α＋25sin2α）t2＋72tcos α－81＝0. 設(shè)點(diǎn)A，B在直線參數(shù)方程中對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則 FAFB＝|t1t2|＝＝. 當(dāng)sin α＝0時，F(xiàn)AFB取最大值9； 當(dāng)sin α＝1時，F(xiàn)AFB取最小值.
,　　　　　　　　　4　極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用)
,　　　　　4)　（2017蘇錫常鎮(zhèn)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度，建立極坐標(biāo)系.已知曲線C1的參數(shù)方程為（α∈[0，2π]，α為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝a（a∈R），若曲線C1與曲線C2有且僅有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值. 解：曲線C1的方程為（x－）2＋（y－3）2＝4，圓心坐標(biāo)為（，3），半徑為2. ∵ 曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝a（a∈R）， ∴ 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2a＝0. ∵ 曲線C1與曲線C2有且僅有一個公共點(diǎn)， ∴ ＝2，解得a＝1或a＝5. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：（α為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cos θ＋sin θ）＋4＝0.求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離. 解：將l轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x＋y＋4＝0. 在C上任取一點(diǎn)A（cos α，sin α），α∈[0，2π），則點(diǎn)A到直線l的距離為d＝＝＝sin＋2. 當(dāng)α＝時，d取得最大值，最大值為2＋，此時A點(diǎn)為（，1）.
1. 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsin＝a，曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤t≤π）.當(dāng)C1與C2有公共點(diǎn)時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解：曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝a.若C1與C2有公共點(diǎn)，則a＝x＋y＝sin t＋cos t－2在t∈[0，π]上有解，又sin t＋cos t－2＝sin－2，因?yàn)閠∈[0，π]，所以t＋∈，sin∈， 所以a的取值范圍為[－3，－2]. 2. （2017蘇北四市期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.直線l：sin＝m（m∈R），圓C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.當(dāng)圓心C到直線l的距離為時，求m的值. 解：直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋m＝0， 圓C的普通方程為（x－1）2＋（y＋2）2＝9， 圓心C到直線l的距離為＝， 解得m＝－1或m＝－5. 3. （2016江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），橢圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長. 解：橢圓C的普通方程為x2＋＝1，將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1， 得＋＝1，即7t2＋16t＝0， 解得t1＝0，t2＝－. 所以AB＝|t1－t2|＝. 4. （2017揚(yáng)州期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝，試求直線l與曲線C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo). 解：將直線l的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程為y＝x， 將曲線C的參數(shù)方程化成普通方程為y＝2－x2（－1≤x≤1）. 由得x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2. 又－1≤x≤1，所以x＝1，所以直線l與曲線C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1，1）.
1. 在極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝（ρ∈R），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），求直線l與曲線C的交點(diǎn)P的直角坐標(biāo). 解：因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為θ＝（ρ∈R），所以直線l的普通方程為y＝x.　① 又曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y＝x2（x∈[－2，2]），?、? 聯(lián)立①②解方程組得或（舍去）. 故P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0，0）. 2. （2017蘇州期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ－4cos θ＝0，已知直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長. 解：因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin2θ＝4ρcos θ，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x. 將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2＝4x， 得＝4，即t2＋8t＝0， 解得t1＝0，t2＝－8. 所以AB＝|t1－t2|＝8. 3. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：（s為參數(shù)），直線l：（t為參數(shù)）.設(shè)曲線C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長度. 解：由消去s得曲線C的普通方程為y＝x2； 由消去t得直線l的普通方程為y＝3x－2. 聯(lián)立直線l的方程與曲線C的方程，即 解得交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，1），（2，4）. 所以線段AB的長度為＝. 4. （2017南京、鹽城模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：（t為參數(shù)）與曲線C：（k為參數(shù)）交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長. 解：（解法1）直線l的參數(shù)方程化為普通方程得4x－3y＝4， 將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y2＝4x. 聯(lián)立方程組解得或 所以A（4，4），B或A，B（4，4）. 所以AB＝＝. （解法2）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y2＝4x. 將直線l的參數(shù)方程代入拋物線C的方程得＝4，即4t2－15t－25＝0， 所以 t1＋t2＝，t1t2＝－. 所以AB＝|t1－t2| ＝ ＝＝.
1. 在直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）中t的幾何意義是表示在直線上過定點(diǎn)P0（x0，y0）與直線上的任一點(diǎn)P（x，y）構(gòu)成的有向線段P0P的長度，且在直線上任意兩點(diǎn)P1，P2的距離為P1P2＝|t1－t2|＝. 2. 參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)：一要熟練掌握常用技巧（如整體代換）；二要注意變量取值范圍的一致性，這一點(diǎn)最易忽視. [備課札記]