《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第十一章 計數(shù)原理、隨機(jī)變量及分布列學(xué)案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第十一章 計數(shù)原理、隨機(jī)變量及分布列學(xué)案.doc（64頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第十一章 計數(shù)原理、隨機(jī)變量及分布列
第1課時 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理
近幾年高考中兩個基本計數(shù)原理在理科加試部分考查，預(yù)測以后高考將會結(jié)合概率統(tǒng)計進(jìn)行命題，考查對兩個基本計數(shù)原理的靈活運(yùn)用，以實際問題為背景，考查學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、應(yīng)用基礎(chǔ)知識、解決實際問題的能力，難度將不太大.
① 理解兩個基本計數(shù)原理.
② 能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題.
1. （選修23P9習(xí)題4改編）一件工作可以用兩種方法完成，有18人會用第一種方法完成，有10人會用第二種方法完成.從中選出1人來完成這件工作，不同選法的總數(shù)是 Ｗ.
答案：28
解析：由分類計數(shù)原理知不同選法的總數(shù)共有18＋10＝28（種）.
2. （選修23P9習(xí)題8改編）從1到10的正整數(shù)中，任意抽取兩個數(shù)相加所得和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是 Ｗ.
答案：25
解析：當(dāng)且僅當(dāng)偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù)，從而不同情形有55＝25（種）.
3. （改編題）一只袋中有大小一樣的紅色球3個，白色球3個，黑色球2個.從袋中隨機(jī)取出（一次性）2個球，則這2個球為同色球的種數(shù)為 ?。?
答案：7
解析：2個球為紅色共3種，2個球為白色共3種，2個球為黑色共1種，由分類計數(shù)原理得共7種.
4. （選修23P10習(xí)題12改編）以正方形的4個頂點中某一頂點為起點、另一個頂點為終點作向量，可以作出不相等的向量個數(shù)為 ?。?
答案：8
解析：起點有4個，每一個起點都可選另外三個頂點中的某一個為終點，但正方形相對邊且方向相同的向量為同一向量，故共有不相等的向量個數(shù)為43－4＝8.
5. （選修23P10習(xí)題16改編）現(xiàn)用4種不同顏色對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有 種.
答案：
解析：設(shè)兩種不同顏色為a，b，則所有可能為（a，a，a），（a，a，b），（a，b，a），（a，b，b），（b，a，a），（b，a，b），（b，b，a），（b，b，b），共8種.其中滿足條件的有（a，b，a），（b，a，b），共2種，∴ 所求概率為.
2. （必修3P100例1改編）一個不透明的盒子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5的5個除序號外都相同的球，同時取出兩個球，則兩個球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為 ?。?
答案：
解析：從5個球中同時取出2個球的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10個.記“兩個球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”為事件A，則事件A中含有4個基本事件：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）.所以P（A）＝＝.
3. （必修3P103練習(xí)2改編）小明的自行車用的是密碼鎖，密碼鎖的四位數(shù)密碼由4個數(shù)字2，4，6，8按一定順序排列構(gòu)成，小明不小心忘記了密碼中4個數(shù)字的順序，隨機(jī)地輸入由2，4，6，8組成的一個四位數(shù)，能打開鎖的概率是 ?。?
答案：
解析：四位數(shù)密碼共有24種等可能的結(jié)果，恰好能打開鎖的密碼只有1種，故所求事件的概率為.
4. （必修3P101例3改編）連續(xù)2次拋擲一枚骰子（六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6），記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P（A）最大時，m＝ Ｗ.
答案：7
解析：m可能取到的值有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，對應(yīng)的基本事件個數(shù)依次為1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1，∴兩次向上的數(shù)字之和等于7對應(yīng)的事件發(fā)生的概率最大.
5. （必修3P103練習(xí)4改編）已知一個不透明的袋中有3個白球，2個黑球，第一次摸出一個球，然后放回，第二次再摸出一個球，則兩次摸到的都是黑球的概率為 Ｗ.
答案：
解析：把它們編號，白為1，2，3，黑為4，5.用（x，y）記錄摸球結(jié)果，x表示第一次摸到球號數(shù)，y表示第二次摸到球號數(shù).所有可能的結(jié)果為（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25種，兩次摸到的都是黑球的情況為（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），共4種，故所求概率P＝.
1. 概率的取值范圍是0≤P（A）≤1.當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時，P（A）＝1；當(dāng)A是不可能發(fā)生的事件時，P（A）＝0；當(dāng)A是隨機(jī)事件時，0
2a.
∵ 總事件數(shù)共36個，滿足b>2a的事件有（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），共6個，
∴ P（B）＝＝.
若先后拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，求：
（1） 點P（m，n）在直線x＋y＝4上的概率；
（2） 點P（m，n）落在區(qū)域|x－2|＋|y－2|≤2內(nèi)的概率.
解：（1） 由題意可知，（m，n）的取值情況有（1，1），（1，2），（1，3），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），共36種.而滿足點P（m，n）在直線x＋y＝4上的取值情況有（1，3），（2，2），（3，1），共3種，故所求概率為＝ .
（2） 由題意可得，基本事件n＝36.當(dāng)m＝1時，1≤n≤3，故符合條件的基本事件有3個；當(dāng)m＝2 時，1≤n≤4，故符合條件的基本事件有4個；當(dāng)m＝3時，1≤n≤3，故符合條件的基本事件有3個；當(dāng)m＝4時，n＝2，故符合條件的基本事件有1個.故符合條件的基本事件共11個，所以所求概率為.
3 用概率解決生活中的決策問題)
3) 某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎.
（1） 用球的標(biāo)號列出所有可能的摸出結(jié)果；
（2） 有人認(rèn)為：兩個箱子中的紅球總數(shù)比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認(rèn)為正確嗎？請說明理由.
解：（1） 所有可能的摸出結(jié)果是（A1，a1），（A1，a2），（A1，b1），（A1，b2），（A2，a1），（A2，a2）， （A2，b1），（A2，b2），（B，a1），（B，a2），（B，b1），（B，b2）.
（2） 不正確，理由如下：
由（1）知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4種，所以中獎的概率為＝，不中獎的概率為1－＝>，故這種說法不正確.
變式訓(xùn)練
某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下：
① 若xy≤3，則獎勵玩具一個；② 若xy≥8，則獎勵水杯一個；③ 其余情況獎勵飲料一瓶.
假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項活動.
（1） 求小亮獲得玩具的概率；
（2） 請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.
解：用數(shù)對（x，y）表示兒童參加活動兩次記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應(yīng)，因為S中元素個數(shù)是44＝16，所以基本事件總數(shù)n＝16.
（1） 記“xy≤3”為事件A.
則事件A包含的基本事件共有5個，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）.所以P（A）＝，即小亮獲得玩具的概率為.
（2） 記“xy≥8”為事件B，“3，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.
1. （2017蘇北四市期末）從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中一次隨機(jī)地取出2個數(shù)，則所取2個數(shù)的和能被3整除的概率為 ?。?
答案：
解析：從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中一次隨機(jī)地取出2個數(shù)，基本事件總數(shù)n＝15，所取2個數(shù)的和能被3整除包含的基本事件有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5個，所以所取2個數(shù)的和能被3整除的概率P＝＝.
2. 某校從2名男生和3名女生中隨機(jī)選出3名學(xué)生做義工，則選出的學(xué)生中男女生都有的概率為 ?。?
答案：
解析：從5名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生共有10種選法，男女生都有的共9種（即去掉選的是3名女生的情況），則所求的概率為.本題考查用列舉法解決古典概型問題，屬于容易題.
3. 箱子中有形狀、大小都相同的3只紅球和2只白球，一次摸出2只球，則摸到的2只球顏色不同的概率為 ?。?
答案：
解析：從5只球中一次摸出2只球，共有10種摸法，摸到的2只球顏色不同的摸法共有6種，則所求的概率為.
4. （2016新課標(biāo)Ⅰ文）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是 Ｗ.
答案：
解析：將4種顏色的花任選2種種在一個花壇中，余下2種種在另一個花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種法有4種，故概率為.
5. （2017全國卷Ⅱ）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為 Ｗ.
答案：
解析：將第一次抽取的卡片上的數(shù)記為a，第二次抽取的卡片上的數(shù)記為b，先后兩次抽取的卡片上的數(shù)記為（a，b），則有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25種抽取方法，其中第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的抽取方法有10種，所以所求概率P＝＝.
1. （2017揚(yáng)州期末）已知A，B∈{－3，－1，1，2}且A≠B，則直線Ax＋By＋1＝0的斜率小于0的概率為 ?。?
答案：
解析：所有的基本事件（A，B）為（－3，－1），（－3，1），（－3，2），（－1，1），（－1，2），（1，2），（－1，－3），（1，－3），（2，－3），（1，－1），（2，－1），（2，1）共12種，其中（－3，－1），（1，2），（－1，－3），（2，1）這4種能使直線Ax＋By＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率P＝＝.
2. （2016上海卷文）某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為 ?。?
答案：
解析：將四種水果每兩種分為一組，有6種方法，則甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為.
3. （2017山東卷）從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 Ｗ.
答案：
解析：每次抽取1張，抽取2次，共有98＝72（種）情況，其中滿足題意的情況有254＝40（種），所以所求概率P＝＝.
4. （2016新課標(biāo)Ⅲ文）小敏打開計算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是 ?。?
答案：
解析：開機(jī)密碼的前兩位可能是M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5，共15種，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是.
1. 解以代數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)知識為背景的概率題的策略是：讀懂題意，理解內(nèi)涵，尋求關(guān)系，突破入口；盡力脫去背景外衣，回首重溫概率定義；細(xì)心診斷事件類型，正確運(yùn)用概率公式.
2. 解較復(fù)雜的概率問題的關(guān)鍵是理解題目的實際含義，把問題轉(zhuǎn)化為概率模型.必要時可考慮分類討論、數(shù)形結(jié)合、正難則反等思想方法.[備課札記]
第5課時 幾何概型與互斥事件（對應(yīng)學(xué)生用書（文）166～168頁、（理）168～169頁）
幾何概型往往要通過一定的手段才能轉(zhuǎn)化到幾何度量值的計算上來，在解決問題時要善于根據(jù)問題的具體情況進(jìn)行轉(zhuǎn)化.對于比較復(fù)雜的概率問題，可利用其對立事件求解，或分解成若干小事件利用互斥事件的概率加法公式求解.
① 了解幾何概型的意義，并能正確應(yīng)用幾何概型的概率計算公式解決問題.② 了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計概率.③ 了解兩個互斥事件的概率加法公式.
1. （必修3P110習(xí)題1改編）在水平放置的長為5 m的木桿上掛一盞燈，則懸掛點與木桿兩端距離都大于2 m的概率是 .
答案：
解析：這是一個幾何概型題，其概率就是相應(yīng)的線段CD，AB（如圖）的長度的比值，∴ P＝.
2. （必修3P115練習(xí)1改編）把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是 ?。?（填序號）
① 對立事件；② 不可能事件；③ 互斥但不對立事件.
答案：③
解析：由互斥事件的定義可知，甲、乙不能同時得到紅牌.由對立事件的定義可知，甲、乙可能都得不到紅牌，即“甲或乙分得紅牌”的事件可能不發(fā)生.故填③.
3. （必修3P115練習(xí)2改編）一箱產(chǎn)品中有正品4件，次品3件，從中任取2件.
① 恰有1件次品和恰有2件次品；
② 至少有1件次品和全是次品；
③ 至少有1件正品和至少有1件次品；
④ 至少有1件次品和全是正品.
以上幾組事件中互斥事件有 組.
答案：2
解析：①④中的兩事件互斥，②③中的兩事件不互斥.
4. （必修3P109練習(xí)3改編）在500 mL的水中有一只草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2 mL 水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是 ?。?
答案：0.004
解析：由于取水樣的隨機(jī)性，所求事件A“在取出2 mL的水樣中有草履蟲”的概率等于水樣的體積與總體積之比，即＝0.004.
5. （必修3P110習(xí)題4改編）如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓.在扇形OAB內(nèi)任投一點，則此點落在陰影部分的概率是 ?。?
答案：1－
解析：設(shè)扇形的半徑為2，則其面積為＝π，如圖，由兩段小圓弧圍成的陰影面積為S1，另外三段圓弧圍成的陰影面積為S2，則S1＝2＝－1，S2＝22－212＋－1＝－1，故陰影部分的總面積為2＝π－2，因此任投一點，此點落在陰影部分的概率為＝1－.
1. 幾何概型的定義
對于一個隨機(jī)試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機(jī)會都一樣；而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗，稱為幾何概型.
2. 概率計算公式
在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P（A）＝.
3. 不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件.
4. 如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生的概率等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P（A＋B）＝P（A）＋P（B）Ｗ.
5. 一般地，如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，那么P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）Ｗ.
6. 若兩個互斥事件必有1個發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件；若事件A的對立事件記作，則P（A）＋P（）＝1，P（）＝1－P（A）Ｗ.
1 幾何概型)
1) （2017全國卷Ⅰ）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是 Ｗ.
答案：
解析：由于圓中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心（即圓心）對稱，所以圓中黑色部分的面積為圓的面積的一半.不妨設(shè)正方形的邊長為2，則所求的概率P＝＝.
變式訓(xùn)練
在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點M，求AM＜AC的概率.
解：如圖，過點C在∠ACB內(nèi)任作射線CM，則射線CM在∠ACB內(nèi)是等可能分布的，故基本事件的區(qū)域測度是∠ACB的大小，即90.在AB上取AC′＝AC，則∠ACC′＝＝67.5.記“AM < AC”為事件A，則事件A的概率P（A）＝＝，故AM < AC的概率是.
2 古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系)
2) 設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
（1） 若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；
（2） 若a是從區(qū)間[0，3]中任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率.
解：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”，
當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b.
（1） 基本事件共有12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值.
事件A中包含9個基本事件，故事件A發(fā)生的概率P（A）＝＝.
（2） 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}.
構(gòu)成事件A的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，即如圖所示的陰影區(qū)域，
所以所求的概率P（A）＝＝.
變式訓(xùn)練
已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）＝ax2－4bx＋1.
（1） 設(shè)集合A＝{－1，1，2，3，4，5}和B＝{－2，－1，1，2，3，4}，分別從集合A，B中隨機(jī)取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù)的概率；
（2） 設(shè)點（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù)的概率.
解：要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù)，需a＞0，且－≤1，即a＞0且2b≤a.
（1） 所有（a，b）的取法總數(shù)為66＝36（個），滿足條件的（a，b）有（1，－2），（1，－1），（2，－2），（2，－1），（2，1），（3，－2），（3，－1），（3，1），（4，－2），（4，－1），（4，1），（4，2），（5，－2），（5，－1），（5，1），（5，2），共16個，所以所求概率P＝＝.
（2） 如圖：
求得區(qū)域的面積為88＝32，由求得P，所以區(qū)域內(nèi)滿足a＞0且2b≤a的面積為8＝，所以所求概率P＝＝.
3 互斥事件)
3) 某保險公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法，對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：
賠付金額（元）
0
1 000
2 000
3 000
4 000
車輛數(shù)（輛）
500
130
100
150
120
?。?） 若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；
（2） 在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率.
解：（1） 設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率，得P（A）＝＝0.15，P（B）＝＝0.12.
由于投保金額為2 800元，所以賠付金額大于投保金額的概率為P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
（2） 設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4 000元”，
由已知，得樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.11 000＝100（輛），而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2120＝24（輛），
所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24.
由頻率估計概率得P（C）＝0.24.
如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：
所用時間（分鐘）
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
選擇L1的人數(shù)
6
12
18
12
12
選擇L2的人數(shù)
0
4
16
16
4
?。?） 分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；
（2） 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.
解：（1） 選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得：
所用時間（分鐘）
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的頻率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的頻率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
（2）設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.
由（1）知P（A1）＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P（A2）＝0.1＋0.4＝0.5，P（A1）>P（A2），
所以甲應(yīng)選擇路徑L1；
P（B1）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P（B2）＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P（B2）>P（B1），
所以乙應(yīng)選擇路徑L2.
1. （2016新課標(biāo)Ⅱ文）某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40 s.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈的概率為 .
答案：
解析：因為紅燈持續(xù)時間為40 s.所以這名行人至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈的概率為＝.
2. （2016天津卷文）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椤 。?
答案：
解析：甲不輸?shù)母怕蕿椋?
3. （2017蘇州市考前模擬）在區(qū)間[－1，1]上隨機(jī)取一個數(shù)x，cos 的值介于0到之間的概率為 Ｗ.
答案：
解析：在區(qū)間[－1，1]上隨機(jī)取一個數(shù)x，即x∈[－1，1]時，要使cos 的值介于0到之間，需使－≤≤－或≤≤.
∴ －1≤x≤－或≤x≤1，區(qū)間長度為.由幾何概型知cos 的值介于0到之間的概率為＝.
4. （2017南京、鹽城一模）在數(shù)字1，2，3，4中隨機(jī)選兩個數(shù)字，則選中的數(shù)字中至少有一個是偶數(shù)的概率為 ?。?
答案：
解析：在數(shù)字1，2，3，4中隨機(jī)選兩個數(shù)字，基本事件總數(shù)為6，選中的數(shù)字中至少有一個是偶數(shù)的對立事件是選中的兩個數(shù)字都是奇數(shù)，所以選中的數(shù)字中至少有一個是偶數(shù)的概率P＝1－＝.
5. （2017常州期末）男隊有號碼為1，2，3的三名乒乓球運(yùn)動員，女隊有號碼為1，2，3，4的四名乒乓球運(yùn)動員，現(xiàn)兩隊各出一名運(yùn)動員比賽一場，則出場的兩名運(yùn)動員號碼不同的概率為 ?。?
答案：
解析：男隊有號碼為1，2，3的三名乒乓球運(yùn)動員，女隊有號碼為1，2，3，4的四名乒乓球運(yùn)動員，現(xiàn)兩隊各出一名運(yùn)動員比賽一場，基本事件總數(shù)為34＝12（個），出場的兩名運(yùn)動員號碼不同的對立事件是出場的兩名運(yùn)動員號碼相同，所以出場的兩名運(yùn)動員號碼不同的概率P＝1－＝.
1. （2017揚(yáng)州市考前調(diào)研）在區(qū)間（0，5）內(nèi)任取一個實數(shù)m， 則滿足3＜m＜4的概率為 ?。?
答案：
解析：根據(jù)幾何概型的概率計算公式，得滿足3＜m＜4的概率為.
2. 設(shè)函數(shù)f（x）＝log2x，在區(qū)間（0，5）上隨機(jī)取一個數(shù)x，則f（x）<2的概率為 ?。?
答案：
解析：因為log2x＜2，解得0＜x＜4，所以P（f（x）<2）＝.
3. 甲、乙兩盒中各有除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球，現(xiàn)從兩盒中隨機(jī)各取一個球，則至少有一個紅球的概率為 ?。?
答案：
解析：從兩盒中各取一個球的基本事件數(shù)為9，沒有紅球的基本事件數(shù)為1，則至少有一個紅球的概率＝1－沒有紅球的概率＝1－＝.
4. （2017蘇州期末）若一架飛機(jī)向目標(biāo)投彈，擊毀目標(biāo)的概率為0.2，目標(biāo)未受損的概率為0.4，則目標(biāo)受損但未完全被擊毀的概率為 Ｗ.
答案： 0.4
解析：根據(jù)互斥事件的概率公式，得目標(biāo)受損但未完全被擊毀的概率為1－0.2－0.4＝0.4.
1. 對于幾何概型的應(yīng)用題，關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為概型中的長度、角度、面積、體積等常見幾何概型問題，構(gòu)造出隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的測度來求隨機(jī)事件的概率.
2. 分清古典概型與幾何概型的關(guān)鍵就是古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件是有限個，而幾何概型則是無限個.
3. 求較復(fù)雜的互斥事件的概率，一般有兩種方法：一是直接求解法，即將所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每個事件概率的計算通常為等可能事件的概率計算，這時應(yīng)注意事件是否互斥，是否完備；二是間接求解法，先求出此事件的對立事件的概率，再用公式P（A）＝1－P（）.若解決“至少”“至多”型的題目，用后一種方法就顯得比較方便.解題時需注意“互斥事件”與“對立事件”的區(qū)別與聯(lián)系，搞清楚“互斥事件”與“等可能性事件”的差異.[備課札記]
答案：48
解析：按A→B→C→D順序分四步涂色，共有4322＝48（種）.
1. 分類計數(shù)原理：如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，……在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.
2. 分步計數(shù)原理：如果完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同的方法.
3. 分類和分步的區(qū)別，關(guān)鍵是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分類；必須要連續(xù)若干步才能完成的則是分步.分類要用分類計數(shù)原理將種數(shù)相加；分步要用分步計數(shù)原理，將種數(shù)相乘.
[備課札記]
1 分類計數(shù)原理)
1) 在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？
解：（解法1）按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（個）.
（解法2）按個位上的數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個.由分類計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（個）.
變式訓(xùn)練
有A，B，C型高級電腦各一臺，甲、乙、丙、丁4個操作人員的技術(shù)等級不同，甲、乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作A型電腦.從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，則不同的選派方法有多少種？
解：第1類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會操作C型電腦，分2步安排這3人操作電腦，有22＝4（種）方法；第2類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會操作A型電腦，這時安排3人操作電腦，有2種方法；第3類，選甲、丙、丁3人，這時安排3人操作電腦只有1種方法；第4類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法.根據(jù)分類計數(shù)原理，共有4＋2＋1＋1＝8（種）選派方法.
2 分步計數(shù)原理)
2) 用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號為1，2，…，9的9個小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號為1，5，9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有 種.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案：108
解析：把區(qū)域分為三部分，第一部分1，5，9，有3種涂法；第二部分4，7，8，當(dāng)5，7同色時，4，8各有2種涂法，共4種涂法，當(dāng)5，7異色時，7有2種涂法，4，8均只有1種涂法，故第二部分共4＋2＝6（種）涂法；第三部分與第二部分一樣，共6種涂法.由分步計數(shù)原理，可得涂法共有366＝108（種）.
變式訓(xùn)練
有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有 種.
答案：9
解析：分四步完成：第一步：第1位教師有3種選法；第二步：第1位教師監(jiān)考的班的數(shù)學(xué)老師即第2位教師有3種選法；第三步：第3位教師有1種選法；第四步：第4位教師有1種選法.共有3311＝9（種）監(jiān)考的方法.
3 兩個基本原理的綜合應(yīng)用)
3) 已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B為集合M的非空子集.若對?x∈A，y∈B，x
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2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第一部分
基礎(chǔ)與考點過關(guān)
第十一章
計數(shù)原理、隨機(jī)變量及分布列學(xué)案
2019
高考
數(shù)學(xué)
一輪
復(fù)習(xí)
第一
部分
基礎(chǔ)
考點
過關(guān)
第十一
計數(shù)
原理
隨機(jī)變量
分布
列學(xué)案
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2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第十一章 計數(shù)原理、隨機(jī)變量及分布列學(xué)案.doc
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